抛物线一些公式的证明，希望有人能替我解答一下，如下

设直线为

y=k(x-p/2) ①

抛物线为

y^2=2px ②

由上两式可得

k^2y^2/2p-y-pk/2=0 ③

由③可知

y1y2=-p^2

由①③可知

y1y2=k^2[x1x2-p/2(x1+x2)+p^2/4]

又x1+x2=(y1+y2)/k-p

由上带入可得

x1x2= p^2/4

弦长：|AB| = x1+x2+p不用说了吧，

至于|AB| = 2p/(sinθ)^2，由弦长公式

|AB|=√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2-4y1y2] ④

带入③式可得

|AB|=|2p(1+k^2/k^2 令k=tanθ

解得|AB|=2p/(sinθ)^2

1/|FA|+1/|FB|=(|FA|+|FB|)/|FA| |FB|=(x1+x2+p)/(x1+p/2)(x2+p/2)

=(x1+x2+p)/[x1x2+p/2(x1+x2)+p^2/4]

带入①③以及已证结论x1x2= p^2/4

解得1/|FA|+1/|FB|=2/p

还有疑问请提，For the lich king

抛物线的焦半径公式跟角度是有关的。

分析：

抛物线方程为y^2=2px(p>0)，即开口向右时，焦半径r=x+p/2;当抛物线方程为y^2=-2px，即开口向左时，焦半径r=-x+p/2;当抛物线方程为x^=2px，即开口向上时，焦半径r=y+p/2;当抛物线方程为x^=-2px，即开口向下时，焦半径r=-y+p/2。

焦半径公式

连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。

椭圆

设M（m ，n）是椭圆（a>b>0）的一点，r1和r2分别是点M与点F₁(-c，0)，F₂(c，0)的距离，那么(左焦半径)r₁=a+em，(右焦半径)r₂=a -em，其中e是离心率。

推导：r₁/∣MN1∣= r₂/∣MN2∣=e

可得：r1= e∣MN1∣= e（a2/ c+m）= a+em，r2= e∣MN2∣= e（a2/ c-m）= a-em

所以：∣MF1∣= a+em，∣MF2∣= a-em

双曲线

双曲线的焦半径及其应用：

1、定义：双曲线上任意一点P与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。

2、已知双曲线标准方程，且F1为左焦点，F2为右焦点，e为双曲线的离心率。

总说：│PF1│=|(ex+a)| ；│PF2│=|(ex-a)|（对任意x而言）

具体：

点P(x,y)在右支上

│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a

点P(x,y)在左支上

│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a)

抛物线

抛物线r=x+p/2

通径:圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦

双曲线和椭圆的通径

焦准距p=,在椭圆中，p=-c；在双曲线中，p=c-

抛物线的通径是2p

抛物线y2=2px (p>0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2

抛物线y^2-2x=0的焦点为(1/2,0)

直线L的方程为：y= x-1/2,

将此方程与y^2=2x联立化成关于x的方程得： x^2-3x+1/4=0

设A(m1,n1) B(m2,n2) 则m1+m2=3,m1m2=1/4

所以(n1)•(n2) =(m1-1/2) •(m2-1/2)=m1m2-1/2•(m1+m2)+1/4=-1

所以向量OA•OB=m1m2+n1n2=1/4-1=-3/4

举个例子,若P=3的

y²=2px=6x

所以p/2=3/2

F(3/2,0)

k=tan45=1

所以AB是y=x-3/2

代入

x²-3x+9/4=6x

x²-9x+9/4=0

x1+x2=9

准线x=-3/2

抛物线定义

A和B到焦点距离的等于到准线距离

A到准线距离=x1+3/2,B到准线距离=x2+3/2

所以AB=A到准线距离+B到准线距离

=x1+3/2+x2++3/2

=12

直径是12

r=6

AB中点横坐标(x1+x2)/2=9/2

在y=x-3/2

y=3

所以圆(x-9/2)²+(y-3)²=36

抛物线公式为y=ax^2+bx+c

⑴a 0

⑵a>0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下；

⑶极值点（顶点）：（ ， ）；

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ>0，图象与x轴交于两点：

（ ，0）和（ ，0）；

Δ=0，图象与x轴交于一点：

（ ，0）；

Δ<0，图象与x轴无交点；

(5)对称轴(顶点)在y 轴 左侧时 , a ,b 同号 ,对称轴 (顶点 ) 在 y 轴右侧时,a 、b 异号；对称轴(顶点)在y轴上时, b=0，抛物线的顶点在原点时, b=c=0。

(6)当x=0时，可通过与y轴交点判断c值，即若抛物线交y轴为正半轴，则c>0；若抛物线交y轴为负半轴，则c<0 

扩展资料

抛物线标准方程

右开口抛物线：y^2=2px

左开口抛物线:y^2= -2px

上开口抛物线：x^2=2py y=ax^2（a大于等于0）

下开口抛物线:x^2= -2py y=ax^2（a小于等于0）

[p为焦准距（p>0）]

线段AB的中点为M，点A，M，B在准线l的上的射影分别为A1，M1，B1

（1）一个结论：直线L过抛物线y²=2px的焦点F，且与其交于两点A,B则|AB|=|2p|/sin²a其中，角a是直线L的倾斜角。（2）该结论在做题时，可以直接应用。解：由题设可知，|AB|=4,a=60º∴由|AB|=|2p|/sin²a可得|2p|=|AB|sin²a=4×sin²60º=3∴2p=±3故抛物线方程为y²=±3x

　一、俯身臂屈伸

　哑铃俯身臂屈伸(Dumbbell Triceps Kickback)这个动作无法用杠铃来替代，一般是单臂做效果最好，可以站立俯身，但最好单膝支撑长凳更稳定。

　1哑铃俯身臂屈伸(Dumbbell Triceps Kickback),俯身单臂屈伸

　哑铃俯身臂屈伸(Dumbbell Triceps Kickback)这个动作无法用杠铃来替代，一般是单臂做效果最好，可以站立俯身，但最好单膝支撑长凳更稳定。

　目标锻炼部位：刻画三头肌线条

　动作要领：

　1起始姿势：向前屈体，单手握哑铃，另一手撑开或一手扶膝后腿上，让握铃的上臂贴靠身侧，与上体平行。屈肘，让前臂自然下垂。

　2动作过程：上体和上臂保持不动，收缩三头肌，把前臂向后上方挺伸，直到臂部完全伸直，同时彻底收缩三头肌。静止一秒钟，再屈肘，让前臂徐徐下垂到开始位置。

　3呼吸方法挺伸前臂时吸气，下垂时呼气。

　注意事项：

　1挺伸前臂时尽可能勿使上臂上下摆动。

　2臂部完全挺直后，还要把手腕往上抬，使三头肌达到顶峰收缩

　二、俯身单臂划船:

　主要练背部外侧和下背。俯身划船是增加背阔肌厚度的最佳方法，主要锻炼的是中部背阔肌。几种俯身划船中，单臂哑铃划船(One Arm Dumbbell Bent-over Row)能将两侧背阔肌独立分开来，对于抱怨自己背部不对称的锻炼者来说是个补偿的好机会。另外允许你将重量拉到更高，高度的加大让肌肉得到更加完整的收缩。

　1俯身划船：增加背阔肌厚度的最佳方法(详细动作)

　俯身划船是增加背阔肌厚度的最佳方法，主要锻炼的是中部背阔肌。几种俯身划船中，单臂哑铃划船(One Arm Dumbbell Bent-over Row)能将两侧背阔肌独立分开来，对于抱怨自己背部不对称的锻炼者来说是个补偿的好机会。另外允许你将重量拉到更高，高度的加大让肌肉得到更加完整的收缩。

　正握引体向上(Chin-up)动作大全,反握宽距、窄握引体向上

　卧姿直腿侧平举(Lying Hip Abduction)

　目标锻炼部位：背阔肌中部(即内侧)

　动作要领：

　1屈体用正握法抓住哑铃，另一只手扶在长凳上支住身体，另一只膝盖也弯曲支在长凳上，身体几乎与地面平行，抬头挺胸。

　背阔肌(03)：单臂哑铃划船

　2把重量放到尽量地低，掌向身体将重量拉起;尽量保持身体静止，用背而不是用手臂将哑铃拉到体侧;缓慢地放下，保持对重量的控制，一侧练完再练另一边。

　史密斯机俯身划船(Smith Bent-over Row),增加背阔肌厚度

　耸肩,锻炼斜方肌、及颈肌、上背肌群动作

　注意事项：

　1初始不使用大重量，技术稳定后在逐步增重

　2训练时腰背不够平直会损害脊椎，放在平凳上的手臂要保持肘关节微屈，放在地面上的腿保持膝关节微屈，动作太快会降低训练效果，幅度过大会增加身体扭动，增加受伤的可能性。

　三、哑铃上斜推举

　目标锻炼部位：胸大肌

　基本雷同平板哑铃卧推，但需注意斜板的角度控制在30-45度之间，角度太大对三角肌前束的压力也越大，会影响到胸大肌的发力。

　动作要领：

　基本雷同平板哑铃卧推，但需注意斜板的角度控制在30-45度之间，角度太大对三角肌前束的压力也越大，会影响到胸大肌的发力。

　注意事项：(所有三种姿势)

　1哑铃卧推是自由器械进行的卧推，手臂力量不够无法控制哑铃稳定性是容易造成受伤的`，为了安全起见，初级健身者不推荐哑铃卧推，最好采用史密斯机进行杠铃卧推。

　2卧推过程中不要把背和臀部拱起或憋气，这样会使肌肉失去控制，是危险的。

　3确保哑铃正确的运动轴线很重要：平板哑铃卧推应将其置于乳头上方;上斜卧推则应将其置于上胸部;下斜卧推应将其置于下胸部。这样才能有效锻炼相应的胸大肌部位，否则锻炼没有效果。

　4一定要注意将两肘展开，做卧推时双臂在体侧张开，因而能基本上只靠胸大肌用力来完成动作。下放时，掌心逐渐向前至肩两侧，这时，要两臂自然下垂，成手、肘面与地面垂直，上推时肱三头肌不要主动用力。

　5注意宽间距卧推主要锻炼胸大肌，窄间距卧推主要锻炼三头肌。当然如果肱三头肌力量不够，也不能卧推大重量，也就不能练出发达的胸大肌，所以哑铃卧推需要强大的三头肌做基本保障。

　6为了平衡发展胸大肌，在一次胸肌训练中，平板、上斜、下斜应该各安排几组哑铃卧推。

　7哑铃卧推是个有风险的动作，必须配备较好的训练手套和护腕来保护手部，冲击大重量时，如果自我保护意识差的一定要有人保护

　四、平卧推举：

　目标锻炼部位：胸大肌中部 (即增加胸肌厚度和围度)

　上推时用鼻子呼气，还原时用口吸气。

　1平板哑铃卧推(推举)-胸肌训练动作4a

　哑铃卧推是锻炼胸大肌最经典的动作，但要求很高。自由卧推中，哑铃卧推比杠铃卧推好处就是没有横杠限制，可以充分拉伸胸大肌。但这一动作难度比较大，如果不正确，很容易伤到肩膀，因此锻炼胸大肌时，哑铃卧推应放在前面做。

　哑铃握推(dumbbell press)主要分平板、上斜、下斜三种情形，分别锻炼胸大肌不同部位，其他锻炼部位涉及肱三头肌、三角肌。

　目标锻炼部位：胸大肌中部 (即增加胸肌厚度和围度)

　动作要领：

　1仰卧在平凳上，两脚平踏在地上;两肘弯曲，握住哑铃，拳眼相对，手心朝腿部的方向，哑铃的轴线位于乳头上方(胸肌中部)，抵住胸部。

　2向上推起，两肘内收，夹肘的同时夹胸。哑铃向上的同时略向前偏，呈抛物线的运动轨迹。两臂伸直时，哑铃重心接近处于肩关节的支撑点上。但不要正好位于肩关节的支撑点上，这样会使骨骼支撑住哑铃的重量(这种由骨骼而不是肌肉支撑重量的情况称为“锁定”)，使得胸肌放松，影响锻炼效果。然后，使两直臂向两侧张开，两臂慢慢弯屈，哑铃垂直落下，下降至最低处时，即做上推动作。重复。

　3呼吸方法：上推时用鼻子呼气，还原时用口吸气。

　注意事项：(所有三种姿势)

　1哑铃卧推是自由器械进行的卧推，手臂力量不够无法控制哑铃稳定性是容易造成受伤的，为了安全起见，初级健身者不推荐哑铃卧推，最好采用史密斯机进行杠铃卧推。

　2卧推过程中不要把背和臀部拱起或憋气，这样会使肌肉失去控制，是危险的。

　3确保哑铃正确的运动轴线很重要：平板哑铃卧推应将其置于乳头上方;上斜卧推则应将其置于上胸部;下斜卧推应将其置于下胸部。这样才能有效锻炼相应的胸大肌部位，否则锻炼没有效果。

　4一定要注意将两肘展开，做卧推时双臂在体侧张开，因而能基本上只靠胸大肌用力来完成动作。下放时，掌心逐渐向前至肩两侧，这时，要两臂自然下垂，成手、肘面与地面垂直，上推时肱三头肌不要主动用力。

　5注意宽间距卧推主要锻炼胸大肌，窄间距卧推主要锻炼三头肌。当然如果肱三头肌力量不够，也不能卧推大重量，也就不能练出发达的胸大肌，所以哑铃卧推需要强大的三头肌做基本保障。

　6为了平衡发展胸大肌，在一次胸肌训练中，平板、上斜、下斜应该各安排几组哑铃卧推。

　7哑铃卧推是个有风险的动作，必须配备较好的训练手套和护腕来保护手部，冲击大重量时，如果自我保护意识差的一定要有人保护，哑铃上法也要注意安全

　五、平卧哑铃飞鸟(平卧哑铃飞鸟的呼吸方法)

　重点锻炼部位：胸大肌和三角肌{是锻炼胸大肌中部和中缝的}。

　仰卧在平的卧推凳上，两手各持哑铃，掌心相对，推起至两臂伸直，支撑在胸部上方。动作过程：两手持哑铃平行地向两侧落下，手肘稍微弯屈，哑铃落下至感到胸部两侧肌肉有充分的拉伸感，并使上臂落下至低于肩部水平线。当哑铃落下时，要深深吸气。持铃循原路举起回原位时呼气。

　1平卧哑铃飞鸟

　A重点锻炼部位：胸大肌和三角肌{是锻炼胸大肌中部和中缝的}。

　B开始位置：仰卧在平的卧推凳上，两手各持哑铃，掌心相对，推起至两臂伸直，支撑在胸部上方。

　C动作过程：两手持哑铃平行地向两侧落下，手肘稍微弯屈，哑铃落下至感到胸部两侧肌肉有充分的拉伸感，并使上臂落下至低于肩部水平线。当哑铃落下时，要深深吸气。持铃循原路举起回原位时呼气。

　D训练要点：如果哑铃向两侧落下时，两臂如呈伸直状态，胸部肌肉便很难得到拉伸和肌肉收缩的感觉。

　2呼吸方法

　①中、小重量：扩胸时吸气，还原时呼气。

　②大重量：动作开始前，先做几次深呼吸，最后一口憋住不吐，直到连续扩胸动作完成后再吐气;也可采用开始前先吸半口(不吸足)气，当扩胸至最大部位(向外)时，迅速呼(吐)气，并立即再吸半口气，待动作还原时再换气。

　详细步骤

　仰卧窄凳(宽20～25厘米)上，双手持铃，小臂与大臂呈135度左右的夹角，动作过程中不要为了助力而勾起颈部使头离开凳面。

　下放哑铃时注意力集中在胸缝处，靠胸肌的张力控制住哑铃缓慢下放，同时充分吸气、挺胸，幅度要完全到位。上举时要靠胸肌的收缩带动双臂向上环抱，直至哑铃相触，这样可避免肩背过分参与用力。为了使动作更加准确，可想像去抱一个大的啤酒桶，职业明星麦尔文·安东尼在做此动作时就不断在心里念叨着“抱住它!抱住它!”

　该动作除了小臂与大臂之间保持135度的夹角外，整个臂形应撑圆，手腕略内收，形若环抱。如果仅以手臂紧张僵硬地勾住哑铃，发力就很容易以肩部为起动点，虽然看起来是在努力做飞鸟动作，其实是“貌合神离’，主要锻炼的是肩部三角肌前束，对胸肌中缝部的作用很小。

　为了充分牵拉胸肌纤维，采用的重量也要适度，以8～15次/组为宜。第一组应为15次左右，然后做3组10～12次，最后一组可降至8次，一共完成5组左右。飞鸟练习有别于卧推，卧推可在多组训练后将次数降至1～3次，效果仍很好。飞鸟则需要以一定的次数来累积刺激中缝肌肉，过重的负荷既影响动作幅度、拉伸的效果，又容易对肩肘部造成伤害(6次以内职业运动员也很少采用，而且支撑困难，有一定的危险)。

　训练中有人喜欢勾住颈部，将头抬离凳面助力。这是一种很不好的习惯。抬头必然窝肩做动作，不利于充分吸气、挺胸。窝肩发力主要是肩背部，对胸部几乎没什么锻炼作用。为了纠正这一错误，可先降低重量，将次数定在12次左右，刻意体验一下正确的发力方式，待动作定型后再逐渐增重。

　六、交替弯举

　相比杠铃弯举，哑铃弯举(Dumbbell Curl)一般采用交替上举，这是其独有的优势。哑铃交替弯举(Alternating Dumbbell Curl)可减少借力，使注意力更集中在目标肌上。

　1哑铃交替弯举(坐姿、站立、上斜仰卧)动作图解

　相比杠铃弯举，哑铃弯举(Dumbbell Curl)一般采用交替上举，这是其独有的优势。哑铃交替弯举(Alternating Dumbbell Curl)可减少借力，使注意力更集中在目标肌上。

　哑铃弯举可以坐姿、站立，也可上斜仰卧。

　目标锻炼部位：肱二头肌、肱肌

　雕塑和分离肱二头肌，增加肱二头肌的围度、突出肌峰。

　动作要领：

　(1)直立哑铃弯举(Standing Dumbbell Curl)和坐立哑铃弯举(Seated Dumbbell Curl)：

　身体直立(也可坐在凳端或垂直靠背凳上)，双手持哑铃垂于体侧，掌心相对，两肘贴靠身体两侧。

　以肘关节为支点，向上弯举，同时前臂外旋掌心朝上，举至最高点收紧肱二头肌，稍停。

　然后控制性还原。接着另一臂做相同动作。前臂和腕外旋是为了充分收缩肱二头肌和锻炼肱二头肌内侧头，更好地分离肱二头肌。

　类似器械上的练习：

　(2)上斜仰卧哑铃弯举(Incline Dumbbell Curl)：

　仰卧在斜凳上，双手持哑铃垂于体侧，两膝弯曲，双脚放地上，上臂紧贴身体两侧。

　弯举哑铃，收缩肱二头肌至极限，然后缓慢还原。

　可双手同时练习，也可单手交替练习。

　类似器械上的练习：

　注意事项：

　向上弯举时，前臂外旋掌心朝上，否则就变成主要锻炼二头肌外侧的哑铃侧弯举这个动作了(如下图)，注意两者的区别。

　七、单臂哑铃弯举

　哑铃单臂弯举注意事项：

　1身体不能摇晃，下放哑铃时上臂不能完全放松，整个过程保持紧张。

　2动作过程中，意念集中-专注肱二头肌的发力过程。

　1哑铃单臂弯举，强化锻炼肱二头肌

　哑铃单臂弯举动作：坐于长凳上，低手持哑铃，肘部靠在大腿内侧。

　吸气弯举哑铃，完成动作呼气。

　哑铃单臂弯举借助托臂，既可让肱二头肌得到更针对的刺激，还可以举起更大的重量。此动作主要锻炼肱二头肌、肱肌和肱桡肌。

　哑铃单臂弯举注意事项：1身体不能摇晃，下放哑铃时上臂不能完全放松，整个过程保持紧张。

　2动作过程中，意念集中-专注肱二头肌的发力过程。

　八、哑铃深蹲

　哑铃深蹲过程中，人体内分泌的生长激素最多，因此大重量深蹲不仅能促进腿部肌肉增长，还能带动全身肌肉的增长。

　1深蹲的好处，怎么做杠铃、哑铃深蹲更有效

　练腿之道在于练肺活量，提高心脏功能。可以说大腿肌肉的发达程度与肺活量和心脏功能成正比。

　众所周知，深蹲是练大腿的王牌动作。而深蹲恰好是最需要大肺活量和强健心脏的动作。蹲得越深，需要的肺活量越大，心脏功能越强。显然，下半蹲的肺活量大于上半蹲。

　肩负重的垂直深蹲比其他深蹲(硬拉式杠哑铃深蹲、手托杠铃深蹲和斜蹲)所需肺活量更大，心脏功能更强。因为杠铃是垂直压在心脏上方的。

　蹬举比蹲举举量大的主要原因就是蹬举所需的肺活量小，大约是蹲举的1/2，心脏承受的压力也小，所以蹬举量是蹲举量的2倍。但蹬举时膝关节移动距离较大，影响大腿的受力。卧推举时肘关节移动距离也较大，影响上臂的受力。所以蹬举类似于卧推举。

　九、哑铃箭步蹲

　哑铃箭步蹲

　2一脚向前迈出一步下蹲使膝关节与踝关节在同一垂线上，另一腿向后伸直，重量均匀分布在两腿上。沉髋、后腿屈膝下蹲至膝关节接近地面，稍顿循原路还原。

　注意事项：

　1 上身要始终保持正直，让重心垂直向下。身体不能后仰或前倾。垂直下蹲时，前腿小腿垂直地面，膝盖不要超过脚尖。

　箭步蹲Lunget:哑铃、杠铃锻炼股四头肌

　箭步蹲(Lunget)和分腿蹲有些类似，但稍微复杂一些，多了一个跨步动作，锻炼效果基本类似，也是一项综合锻炼动作。箭步蹲可用杠铃也可用哑铃。

　杠铃箭步蹲

　哑铃箭步蹲

　目标锻炼部位：以股四头肌为主，对臀大肌、股二头肌及小腿肌群也有锻炼效果。

　动作要领：

　1双手各持一哑铃自然直臂垂于体侧或肩负杠铃，双手持哑铃屈肘置于肩上，两脚开立与髋同宽，眼视前方，挺胸收腹紧腰

　哑铃箭步蹲

　2一脚向前迈出一步下蹲使膝关节与踝关节在同一垂线上，另一腿向后伸直，重量均匀分布在两腿上。沉髋、后腿屈膝下蹲至膝关节接近地面，稍顿循原路还原。

　注意事项：

　1 上身要始终保持正直，让重心垂直向下。身体不能后仰或前倾。垂直下蹲时，前腿小腿垂直地面，膝盖不要超过脚尖。

　2箭步蹲的作用还体现在用于维持做此动作时身体平衡的肌肉锻炼上。因此，初始时身体的不平衡属于锻炼的切入点，应加以关注。

　3跨距不可太小以免重心不稳，腿部动作受限而得不到锻炼;跨距大时，下蹲过程中后腿应尽量保持绷直;跨距小时，前腿的膝盖可向前冲出。

　4箭步蹲动作过程中，双腿不同跨距锻炼的肌肉侧重有所区别，跨距越大越偏重于股四头肌、股二头肌和臀大肌的同时锻炼，跨距越小越集中锻炼股四头肌。

　5其他类似动作：

　(1)跨步箭步蹲(农夫行走)：负重或不负重，做两脚交替向前迈进的箭步蹲动作。每迈一步都要完成一次完整的箭步蹲过程，一般须待双腿蹬直后方可移重心迈腿进入下步练习，这个练习实际上是连续的箭步蹲。

AB=AF+BF

准线x=-p/2

由抛物线定义

AF=A到准线距离

BF=B到准线距离

所以[x1-(-p/2)]+[x2-(-p/2)]=x1+x2+p=8

斜率=tan45=1

F(p/2,0)

所以y=x-p/2

代入

x²-3px+p²/4=0

x1+x2=3p

所以3p+p=8

p=2