关于两种数学方法

　数学思维方法分为两种，形象思维方法和抽象思维方法。小学数学要培养学生的形象思维能力，并在此基础上，为发展抽象思维能力打下坚实的基础。下面，让我为你们讲解这两种数学方法。

　 关于两种数学方法

　一、形象思维方法

　形象思维方法是指人们用形象思维来认识、解决问题的方法。它的思维基础是具体形象，并从具体形象展开来的思维过程。

　形象思维的主要手段是实物、图形、表格和典型等形象材料。它的认识特点是以个别表现一般，始终保留着对事物的直观性。它的思维过程表现为表象、类比、联想、想象。它的思维品质表现为对直观材料进行积极想象，对表象进行加工、提炼进而提示出本质、规律，或求出对象。它的思维目标是解决实际问题，并且在解决问题当中提高自身的思维能力。

　1、实物演示法

　利用身边的实物来演示数学题目的条件和问题，及条件与条件，条件与问题之间的关系，在此基础上进行分析思考、寻求解决问题的方法。

　这种方法可以使数学内容形象化，数量关系具体化。比如：数学中的相遇问题。通过实物演示不仅能够解决“同时、相向而行、相遇”等术语，而且为学生指明了思维方向。再如，在一个圆形(方形)水塘周围栽树问题，如果能进行一个实际操作，效果要好得多。

　二年级数学教材中，“三个小朋友见面握手，每两人握一次，共要握几次手”与“用三张不同的数字卡片摆成两位数，共可以摆成多少个两位数”。像这样的有关排列、组合的知识，在小学教学中，如果实物演示的方法，是很难达到预期的教学目标的。

　特别是一些数学概念，如果没有实物演示，小学生就不能真正掌握。长方形的面积、长方体的认识、圆柱的体积等的学习，都依赖于实物演示作思维的基础。

　所以，小学数学教师应尽可能多地制作一些数学教(学)具，而且这些教(学)具用过后要好好保存，可以重复使用。这样可以有效地提高课堂教学效率，提升学生的学习成绩。

　绩。

　2、图示法

　借助直观图形来确定思考方向，寻找思路，求得解决问题的方法。

　图示法直观可靠，便于分析数形关系，不受逻辑推导限制，思路灵活开阔，但图示依赖于人们对表象加工整理的可靠性上，一旦图示与实际情况不相符，易使在此基础上的联想、想象出现谬误或走入误区，最后导致错误的结果。比如有的数学教师爱徒手画数学图形，难免造成不准确，使学生产生误解。

　在课堂教学当中，要多用图示的方法来解决问题。有的题目，图画出来了，结果也就出来的;有的题，图画好了，题意学生也就明白了;有的题，画图则可以帮助分析题意、启迪思路，作为其他解法的辅助手段。

　例1把一根木头锯成3段需要24分钟，锯成6段需要多少分钟(图略)

　思维方法是：图示法。

　思维方向是：锯几次，每次用几分钟。

　思路是：锯3段锯了几次，每次用几分钟，锯6段锯了几次，需要多少分钟。

　例2 判断:等腰三角形中，点D是底边BC的中点，图甲的面积比图乙的面积大，图甲的周长比图乙的周长长。(图略)

　思维方法：图示法。

　思维方向：先比较面积，再比较周长。

　思路：作条辅助线。图甲占的面积大，图乙所占面积小，所以“图甲的面积比图乙的面积大”是正确的。线段AD比曲线AD短，所以“图甲的周长比图乙的周长长”是错误的。

　3、列表法

　运用列出表格来分析思考、寻找思路、求解问题的方法叫做列表法。列表法清晰明了，便于分析比较、提示规律，也有利于记忆。它的局限性在于求解范围小，适用题型狭窄，大多跟寻找规律或显示规律有关。比如，正、反比例的内容，整理数据，乘法口诀，数位顺序等内容的教学大都采用“列表法”。

　用列表法解决传统数学问题：鸡兔同笼问题。制作三个表格：第一张表格是逐一举例法，根据鸡与兔共20只的条件，假设鸡只有1只，那么兔就有19只，腿共有78条……这样逐一列举，直至寻找到所求的答案;第二张表格是列举了几个以后发现了只数与腿数的规律，从而减少了列举的次数;第三张表格是从中间开始列举，由于鸡与兔共20只，所以各取10只，接着根据实际的数据情况确定列举的方向。

　4、探索法

　按照一定方向，通过尝试来摸索规律、探求解决问题思路的方法叫做探究法。我国著名数学家华罗庚说过，在数学里，“难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前，怎样去找出公式来。”苏霍姆林斯基说过：在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者，而在儿童的精神世界中，这种需要特别强烈。“学习要以探究为核心”，是新课程的基本理念之一。人们在难以把问题转化为简单的、基本的、熟悉的、典型的问题时，常常采取的一种好方法就是探究、尝试。

　第一、探究方向要准确，兴趣要高涨，切忌胡乱尝试或形式主义的探究。例如，教学“比例尺”时，教师创设“学生出题考老师”的教学情境,师：“现在我们考试好不好”学生一听：很奇怪，正当学生疑惑之时，教师说：“今天改变过去的考试方法，由你们出题考老师，愿意吗”学生听后很感兴趣。教师说：“这里有一幅地图，你们用直尺任意量出两地的距离，我都能很快地告诉你们这两地之间的实际距离，相信吗”于是学生纷纷上台度量、报数，教师都一个接一个地回答对应的实际距离。学生这时更感到奇怪，异口同声地说：“老师您快告诉我们吧，您是怎样算的”教师说：“其实呀，有一位好朋友在暗中帮助老师，你们知道它是谁吗想认识它吗”于是引出所要学习的内容“比例尺”。

　第二、定向猜测，反复实践，在不断分析、调整中寻找规律。

　例3 找规律填数。

　(1)1、4、 、10、13、 、19;

　(2)2、8、18、32、 、72、 。

　第三，独立探究与合作探究结合。独立，有自由的思维时空;合作，可以知识上互补，方法上互相借鉴，不时还能碰撞出智慧的火花。

　小学数学教学活动中，教师应尽量创设让学生去探究的情景，创造让学生去探究的机会，鼓励有探究精神和习惯的学生。

　5、观察法

　通过大量具体事例，归纳发现事物的一般规律的方法叫做观察法。巴浦洛夫说:"应当先学会观察,不学会观察永远当不了科学家”

　小学数学“观察”的内容一般有：①数字的变化规律及位置特点;②条件与结论之间的关系;③题目的结构特点;④图形的特点及大小、位置关系。

　如：观察一组算式：25×4=4×25，62×11=11×62，100×6=6×100……归纳出乘法交换率：在乘法算式里，交换两个因数的位置，积不变。

　“观察”的要求：

　第一、观察要细致、准确。

　例4 找出下列各题错在哪里，并改正。

　(1)25×16=25×(4×4)=(25×4)×(25×4);

　(2)18×36+18×64=(18+18)×(36+64)

　例5 直接写出下列各题的得数：

　(1)36+64 (2)36+604

　(3)125×57×004 (4)(351-37-13)÷5

　第二、科学观察。科学观察渗透了更多的理性因素,它是有目的,有计划地察看研究对象。比如，在教学长方体的认识时，要做到“有序”观察：(1)面——形状、个数、面与面之间的关系;(2)棱——棱的形成、条数、棱与棱之间的关系(相对的棱相等;相对的棱有四条;长方体的棱可以分为三组);(3)顶点——顶点的形成、个数，认识顶点的一个重要作用是引出长方体长、宽、高的概念。

　第三， 观察必定与思考结合。

　6、典型法

　针对题目去联想已经解过的典型问题的解题规律，从而找出解题思路的方法叫做典型法。典型是相对于普遍而言的。解决数学问题，有些需要用一般方法，有些则需要用特殊(典型)方法。比如，归一、倍比和归总算法、行程、工程、消同求异、平均数等。

　运用典型法必须注意：

　(1)要掌握典型材料的关键及规律。

　例7已知爸爸比儿子大30岁，爸爸今年的年龄正好是儿子的7倍。爸爸、儿子今年分别是多少岁关键点在：爸爸比儿子大30岁，爸爸的年龄比儿子多几倍。典型题都有典型解法，要想真正学好数学，即要理解和掌握一般思路和解法，还要学会典型解法。

　(2)熟悉典型材料，并能敏捷地联想到所适用的典型，从而确定所需要的解题方法。

　例8见到“某城市有一条公共汽车线路，长16500米，平均每隔500米设一个车站。这条线路需要设多少个车站”这样题目，就应该联想到上面所讲到的“锯木头用多少分钟”的典型问题。

　(3)典型和技巧相联系。

　例9甲乙两个工程队共有82人，如果从乙队调8人到甲队，两队人数正好相等。甲乙两队原来各有多少人这题目的技巧：调前、调后两队总人数没变。先算调后各队人数，再算原来各队人数。

　7、放缩法

　通过对被研究对象的放缩估计来解决问题的方法叫做放缩法。放缩法灵活、巧妙，但有赖于知识的拓展能力及其想象能力。

　例16求12和9的最小公倍数。

　求两个数的最小公倍数一般的方法是“短除式”方法，它是根据这两个数的质因数情况来求出它们的最小公倍数的。但也有两个典型方法：一是“如果两个数是互质数，那么这两个数的最小公倍数就是它们的乘积”;二是“如果大数是小数的倍数，那么这两个数的最小公倍数就是大数”。现在我们根据典型方法二，进行扩展运用，放大“大数”来求12和9的最小公倍数。

　12不是9的倍数，就把它放大2倍，得24，仍然不是9的倍数，放大3倍，得36，36是9的倍数，那么，12和9的最小公倍数就是36。这种方法的关键点在于，如果大数不是小数的倍数，就把大数翻倍，但一定从2倍开始，如果一下子扩大6倍，得数是它们的公倍数，而不是最小的了。

　例17期末考试，小刚的语文成绩和英语成绩的和是197分;语文和数学成绩加起来是199分;数学和英语成绩加起来是196分。想一想，小刚的哪科成绩最高你能算出小刚的各科成绩吗

　思路一：“放大”。通过观察发现，语、数、外三科成绩在题目中各出现两次，我们求197+199+196的和，这个和是“语数外成绩的2倍”，除以2得三科成绩之和，再减去任意两科的成绩，就得到第三科的成绩。

　思路二：“缩小”。我们用语数成绩的和减去语外的成绩，199-197=2(分)，这是数学减英语成绩的差。数学和英语的和是196分，再求数学的分数就不难了。

　放缩法有时运用在估算和验算上。

　例18 检验下列计算结果是否正确

　(1)187×69=1373; (2)17485÷66=3609

　对于(1)用总体估计，放大至19×7=133，估计得数要小于133，所以本题结果错误。对于(2)用最高位估计，把17看作18，把66看作6，18÷6=3，显然答数的最高位不会是3，故本题结果也不正确。

　例19把鸡和兔放在一起，共有48个头，114只足，问鸡、兔各有几只。

　这是一道鸡兔同笼的典型问题，我们也用放缩法，不妨把鸡和兔的足数缩小2倍，那么，鸡的足数和它的头数一样，而兔的足数是它的只数的2倍。所以，总的足数缩小2倍后，鸡和兔的总足数与它们的总只数相差数就是兔的只数。

　8、验证法

　你的结果正确吗不能只等教师的评判，重要的是自己心里要清楚，对自己的学习有一个清楚的评价，这是优秀学生必备的学习品质。

　验证法应用范围比较广泛，是需要熟练掌握的一项基本功。应当通过实践训练及其长期体验积累，不断提高自己的验证能力和逐步养成严谨细致的好习惯。

　(1)用不同的方法验证。教科书上一再提出：减法用加法检验，加法用减法检验，除法用乘法验算，乘法用除法验算。

　(2)代入检验。解方程的结果正确吗用代入法，看等号两边是否相等。还可以把结果当条件进行逆向推算。

　(3)是否符合实际。“千教万教教人求真，千学万学学做真人”陶行知先生的话要落实在教学中。比如，做一套衣服需要4米布，现有布31米，可以做多少套衣服有学生这样做：31÷4≈8(套)

　按照“四舍五入法”保留近似数无疑是正确的，但和实际不符合，做衣服的剩余布料只能舍去。教学中，常识性的东西予以重视。做衣服套数的近似计算要用“去尾法”。

　(4)验证的动力在猜想和质疑。牛顿曾说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”“猜”也是解决问题的一种重要策略。可以开拓学生的思维、激发“我要学”的愿望。为了避免瞎猜，一定 学会验证。验证猜测结果是否正确，是否符合要求。如不符合要求，及时调整猜想，直到解决问题。

　二、抽象思维方法

　运用概念、判断、推理来反映现实的思维过程，叫抽象思维，也叫逻辑思维。

　抽象思维又分为：形式思维和辩证思维。客观现实有其相对稳定的一面，我们就可以采用形式思维的方式;客观存在也有其不断发展变化的一面，我们可以采用辩证思维的方式。形式思维是辩证思维的基础。

　形式思维能力：分析、综合、比较、抽象、概括、判断、推理。

　辩证思维能力：联系、发展变化、对立统一律、质量互变律、否定之否定律。

　小学数学要培养学生初步的抽象思维能力，重点突出在：(1)思维品质上，应该具备思维的敏捷性、灵活性、联系性和创造性。(2)思维方法上，应该学会有条有理，有根有据地思考。(3)思维要求上，思路清晰，因果分明，言必有据，推理严密。(4)思维训练上，应该要求：正确地运用概念，恰当地下判断，合乎逻辑地推理。

　9、对照法

　如何正确地理解和运用数学概念小学数学常用的方法就是对照法。根据数学题意，对照概念、性质、定律、法则、公式、名词、术语的含义和实质，依靠对数学知识的理解、记忆、辨识、再现、迁移来解题的方法叫做对照法。

　这个方法的思维意义就在于，训练学生对数学知识的正确理解、牢固记忆、准确辨识。

　例20个连续自然数的和是18，则这三个自然数从小到大分别是多少

　对照自然数的概念和连续自然数的性质可以知道：三个连续自然数和的平均数就是这三个连续自然数的中间那个数。

　例21判断：能被2除尽的数一定是偶数。

　这里要对照“除尽”和“偶数”这两个数学概念。只有这两个概念全理解了，才能做出正确判断。

　10、公式法

　运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法。它体现的是由一般到特殊的演绎思维。公式法简便、有效，也是小学生学习数学必须学会和掌握的一种方法。但一定要让学生对公式、定律、规则、法则有一个正确而深刻的理解，并能准确运用。

　例22计算59×37+12×59+59

　59×37+12×59+59

　=59×(37+12+1)　…………运用乘法分配律

　=59×50　　　　　 …………运用加法计算法则

　=(60-1) ×50　　 …………运用数的组成规则

　=60×50-1×50　 …………运用乘法分配律

　=3000-50　　　　 …………运用乘法计算法则

　=2950　　　　　　 …………运用减法计算法则

　11比较法

　通过对比数学条件及问题的异同点，研究产生异同点的原因，从而发现解决问题的方法，叫比较法。

　比较法要注意：

　(1)找相同点必找相异点，找相异点必找相同点，不可或缺，也就是说，比较要完整。

　(2)找联系与区别，这是比较的实质。

　(3)必须在同一种关系下(同一种标准)进行比较，这是“比较”的基本条件。

　(4)要抓住主要内容进行比较，尽量少用“穷举法”进行比较，那样会使重点不突出。

　(5)因为数学的严密性，决定了比较必须要精细，往往一个字，一个符号就决定了比较结论的对或错。

　例23填空：075的最高位是( )，这个数小数部分的最高位是( );十分位的数4与十位上的数4相比，它们的( )

　相同，( )不同，前者比后者小了( )。

　这道题的意图就是要对“一个数的最高位和小数部分的最高位的区别”，还有“数位和数值”的区别等。

　例24六年级同学种一批树，如果每人种5棵，则剩下75棵树没有种;如果每人种7棵，则缺少15棵树苗。六年级有多少学生

　这是两种方案的比较。相同点是：六年级人数不变;相异点是：两种方案中的条件不一样。

　找联系：每人种树棵数变化了，种树的总棵数也发生了变化。

　找解决思路(方法)：每人多种7-5=2(棵)，那么，全班就多种了75+15=90(棵)，全班人数为90÷2=45(人)。

　12、分类法

　俗语：物以类聚，人以群分。

　根据事物的共同点和差异点将事物区分为不同种类的方法，叫做分类法。分类是以比较为基础的。依据事物之间的共同点将它们合为较大的类，又依据差异点将较大的类再分为较小的类。

　分类即要注意大类与小类之间的不同层次，又要做到大类之中的各小类不重复、不遗漏、不交叉。

　例25自然数按约数的个数来分，可分成几类

　答：可分为三类。(1)只有一个约数的数，它是一个单位数，只有一个数1;(2)有两个约数的，也叫质数，有无数个;(3)有三个约数的，也叫合数，也有无数个。

　 数学应用题教学方法

　一、影响小学生数学应用题解题水平的因素

　通过多年的教学发现，导致小学生数学应用题解题能力无法提高的因素有：

　(一)文字理解能力差

　应用题的特点是用语言、文字叙述日常生活、实际事情，一般由已知条件和问题两部分组成，解题的过程就是理解题目中表达的意思，并对所含数量关系进行分析整理，最终正确解答题目。然而学生的应用题解题成绩易受数学应用题陈述不一致、语法、句子结构以及多余信息的影响。例如学生在解决比较问题中出现的主要错误为转换错误，在不一致问题中出现的错误比一致问题中出现的错误多。多余信息、增加一个额外的解题步骤、隐含条件都增加了小学生的解题困难。部分学生不能用自己的话正确地复述测试题的题意更无法提取已知条件、未知条件、隐含条件。

　(二)问题分析能力不足

　问题分析能力在解答应用题过程中发挥着很重要的作用，学生解答应用题错误率高的原因主要是对问题的分析能力的不足。学生思维缺乏逻辑性，不能根据题意来明确解题思路，不会安排解题步骤。

　(三)缺乏解题策略

　部分学生在数学应用题解题策略上存在问题，表现在评价自己解决问题的能力、确定和选择适当的解题策略、对计算结果的检查等方面。学生在解题策略方面确实存在很大的问题，表现在思路不清晰，无法确定题意。

　(四)计算能力和书写能力较差

　通过长期的教学发现一些学生在解答应用题时计算却经常出现错误，但列出的算式却是正确的，还有部分同学由于书写的不规范、不工整导致计算失误。

　(五)学习兴趣是解决应用题的前提

　数学源于生产劳动，应用题更是数学问题在生活中的体现，创设一定的情境呈现给学生。创设一幅生活场景，或用图表、文字叙述等形式呈现数量关系。通过这种教学可以让学生在熟悉的生活背景中感知数学，激发学习数学应用题的兴趣，进而增强学习的积极性，这也有助于提高学生用所学数学知识解决实际问题的能力。

　二、提高学生应用题解题能力的策略

　小学数学应用题教学就是学生在教师的指导下将应用题的教学过程转变为分析综合、比较概括、抽象推理等思维方法的训练过程，以达到培养学生能力、智力的目的。下面结合自己多年的教学经验,根据小学生解答应用题的一般步骤，针对每个环节中存在的问题，采取对应的教学策略，以提高学生数学应用题解题能力。

　(一)培养学生的审题习惯

　准确解答应用题的首要条件是细致地审题，弄明白题意。因此，在教学中要重视培养学生良好的审题习惯。解应用题时，可引导学生找出题所含的直接、间接条件，建立起问题与条件之间的联系，从而确定数量关系。审题时要求学生边读题边思考，分析问题中的已知量与未知量之间的关系，划线标出。

　(二)教学生分析应用题的方法

　传授解题过程中，许多学生不明白怎样解题，很多学生习惯于模仿例题和教师的解答方法，遇到练习过的类型能解答，换新类型就无从下手。究其原因，学生没有掌握正确的解题方法，很多学生可能无法理解题目的意思，难以表述出题目中的数量关系。因此，教给学生分析应用题的推理方法，借助于表格、情境图和漫画等方法分析应用题的数量关系，让学生明确解题思路至关重要。

　(三)培养学生掌握正确的解题步骤

　应用题教学中培养良好的解题习惯，同时检查验算和写好答案的习惯至关重要，要注意引导学生按正确的解题步骤解答，让学生进行自我评价、总结，强化对的解题方法，找出错的原因所在。列式计算只解决了“如何解答”的问题，“为何这样解答”的问题没有解决。因此，教师应教给学生检查验算的方法，最终发展成学生独立完成。

　(四)帮助学生联系生活，激发学习兴趣

　数学知识来源于生活实际，学习数学的目的是解决生活中的实际问题。兴趣是学习的动力，激发学生解应用题的兴趣，让学生在轻松的环境中解答应用题，可起到事半功倍的作用。《标准》在教学要求中增加了“使学生感受数学与现实生活的联系”，这不仅要求教学要尊重教材、明确教材内容中的知识要素;而且培养了“数学生活化”思想，要从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事物出发，选取应用题选材，创设教学情景，把生活问题数学化，数学问题生活化。通过周围熟悉的事物中学习数学和理解数学，使学生感受到数学的趣味和作用，使枯燥的数学问题变为活生生的生活现实。综上所述，在教学中，教师要不断探索和改进教学方法，根据数学应用题的特点教学，引导学生理解、掌握数学应用题解题思路和方法，进而充分调动起小学生的学习兴趣，激发学生的学习动机，最终达到提高学生分析现实问题、解决实际问题能力的目的。

逐点分析法---在输入端输入不同频率的等幅信号，然后逐一测出输出信号，根据各测量点的值连成曲线。

图示法就是利用扫频仪产生等幅的连续频率的信号，通过放大器件后，在屏幕上显示一条连续的输出特性曲线。

详情可以参考中国电子DIY之家有关资料

从作用点做起，沿着力的方向画一条线段，使线段的长度跟力的大小成一定比例来表示成正比例

力的图示法口诀 你要表示力，办法很简单。选好比例尺，再画一段线， 长短表大小，箭头示方向，注意线尾巴，放在作用点

描述力的两种方法，示意图粗略描述，粗略体现力的大小和方向，加了力的大小不算错。图示法更精确，体现了力的三要素--大小，方向和作用点

。还有比例尺（标度），较准确的表现力的大小。