平面几何的公理描述

欧几里得几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。

欧几里得平面几何的五条公理(公设)是：

任意两个点可以通过一条直线连接。

任意线段能无限延伸成一条直线。

给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

所有直角都相等。

若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

第五条公理称为平行公理（平行公设），可以导出下述命题：

通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。

平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里得几何，说明平行公理是不能被证明的（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何）。

从另一方面讲，欧几里得几何的五条公理(公设)并不完备。例如，该几何中的所有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。 因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。

欧几里得还提出了五个“一般概念”，也可以作为公理。当然，之后他还使用量的其他性质。

1与同一事物相等的事物相等。

2相等的事物加上相等的事物仍然相等。

3相等的事物减去相等的事物仍然相等。

4一个事物与另一事物重合，则它们相等。

5整体大于局部。

平行线的性质：

1、平行于同一直线的直线互相平行；

2、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等；

3、两平行直线被第三条直线所截，内错角相等；

4、两平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。

正平行线的性质与平行线的判定不同，平行线的判定是由角的数量关系来确定线的位置关系，而平行线的性质则是由线的位置关系来确定角的数量关系，平行线的性质与判定是因果倒置的两种命题。

扩展资料：

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。平行公理的推论体现了平行线的传递性，它可以作为以后推理的依据。 

在欧几里得的几何原本中，第五公设（又称为平行公理）是关于平行线的性质。它的陈述是：在平面内，如果两条直线被第三条直线所截，一侧的同旁内角之和大于两个直角，那么最初的两条直线相交于这对同旁内角的另一侧。

这条公理的陈述过于冗长。在1795年，苏格兰数学家Playfair提出了以下以下公理作为平行公理的代替，在被人们广泛的使用。

1同位角相等，两条线平行。

2内错角相等，两条线平行。

3同旁内角互补，两条线平行。

4经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

5如果两条直线都与第三条直线直线平行，那么这两条直线也互相平行。

平行线的判定定理：

（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。（内错角相等，两直线平行）

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（同旁内角互补，两直线平行）

（3）两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（若直线a平行于直线b，直线b平行于直线c，那么直线a也平行于直线c）（等量代换）。

扩展资料：

基本特征

平行线的定义包括三个基本特征：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交。 

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交。

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。平行公理的推论体现了平行线的传递性，它可以作为以后推理的依据。

参考资料：

是。平行线的传递性可以直接用，是平行公理的推论，平行公理的推论体现了平行线的传递性，可以作为证明题的依据。平行是在平面上两条直线、空间的两个平面以及空间的一条直线与一平面之间没有任何公共点。

平行线的判定总共有六种：

1同位角相等,

两直线平行（平行线的判定公理）

2内错角相等,

两直线平行（平行线的判定定理）

3同旁内角互补,

两直线平行（平行线的判定定理）

4如果两条直线都与第三条直线平行，

那么这两条直线也互相平行（平行公理的推论，也叫平行的传递性）

5如果两条直线都与第三条直线垂直，

那么这两条直线也互相平行(平行线的判定公理的推论)

6平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线

平行线的性质；

1两直线平行，同位角相等。

2两直线平行，内错角相等。

3两直线平行，同旁内角互补。

4在同一平面内的两线平行并且不在一条直线上的直线。

在八年级教材中主要掌握的是前三条。