我来解答一下吧，看你们理解的都不是很深刻。
首先你得明白刚体运动的描述方式，任何刚体的运动都可以描述成刚体绕着相对自身固定的转轴转动（定轴转动），叠加上该转轴相对惯性系的运动。
请注意定轴的概念。就是这个转轴永远相对刚体固定不变，不仅仅是转轴相对刚体的距离，而是刚体转动它也转动，刚体平动它也平动。回答者： 13_01 - 千总 五级所说的取穿过瞬心的转轴是错误的，因为刚体转动时，瞬心并不随之转动。尤其在瞬心与质心相对距离不固定时，此描述更是背离了定轴转动的描述前提。这是很严重的问题，你的描述规范，才能用已有的规范理论求解，描述不规范甚至不相干，还硬要套用规范理论，当然要出错。
现在来说规范理论，物理书中一般存在推导的这样几个公式：（注意都是定轴的）
第一就是你所说的转动定律，从它的推导情况或者说出身（质点系的角动量定理或者更基础的就是牛顿三定律）可以知道，仅仅在描述刚体转动的转轴相对惯性系是惯性运动时才成立，也就是说转轴在惯性系下应该是保持匀速或静止状态，刚体相对于这样的惯性转轴所做的转动描述可以使用此定律求解。
第二就是非惯性系下的转动定律，也就是考虑到了非惯性系下对刚体运动的描述，只要考虑到惯性力，上面所叙述的转动定律在非惯性系下也成立。
第三就是质心轴转动定律，也就是转轴通过刚体的质心，即使转轴的运动是非惯性的，由于惯性力对于通过质心的转轴产生的力矩恒为零，因此形式上不用考虑惯性力，结论就与第一种情况形式上一致。（但注意区别，一种是转轴任意取，但必须惯性运动才成立。一种是转轴必须通过质心，不管转轴怎么动都成立）
现在来解释你的疑惑。
选取通过小球质心的轴，由于转轴的运动在惯性系下的描述可能存在加速度，则可以套用上面第二种公式，由于注意到转轴通过质心，因此第三种公式也成立，惯性力的考虑是不必要的了。形式上与第一种公式一致，但千万不要以为是在用第一种公式，因为转轴的运动根本就不是惯性的。
选取任何一个没有穿过球心的其他垂直小球质心运动方向的轴，问题出来了，随着时间变化，这个轴你想认为怎么动？如果是停在那不动，那根本就不是定轴转动的描述，如果是跟着刚体一起动，即绕着刚体一起旋转，也跟着刚体一起平动，那么可以想象到，这跟转轴在惯性系下所做的运动是曲线轨迹，是非惯性运动。因此只适用于上面所说的第二种公式。必须考虑惯性力对转轴的力矩。惯性力的大小为ma，其中a为该转轴相对惯性系运动的瞬时加速度。
现在来说说你们所说的穿过瞬心的转轴，显然如果认为转轴相对地面不动，就根本不符合定轴转动的描述，因此以定轴转动的形式来描述小球的运动，实际上选取的转轴是正好与小球边缘相切，某个瞬时时刻转轴恰好转到贴着地面而已，我们也恰好在这个瞬时时刻来分析问题。毫无疑问这跟转轴只是上面那种情况的特例，转轴的运动是个曲线，即使转轴在这个特定的时刻相对地面速度为零，但不意味着它没有加速度，实际上转轴马上就要从地面上抬起，因此加速度不为零而是垂直地面向上的。那么它适用的理论只有第二种，因为转轴做的是非惯性运动，又没有穿过质心。可是为什么以第一种理论来推导依然正确呢？巧合！！！此时由转轴加速度可知此系统的惯性力方向恰好沿着转轴与质心连线方向，因此惯性力此刻对该转轴产生的力矩为零，第二种公式形式上退化到了与第一种公式一致。因此即使错误的套用了第一种公式依然有正确的结论。
现在来否定一下回答者： 13_01 - 千总 五级的回答。
他举例的两个计算中第一个计算正确，转轴的选取符合定轴转动地描述，转轴运动是非惯性的，适用第二种公式。
第二个计算就有错误了，根据前面所述，如果取转轴通过瞬心，只能当作转轴随刚体一起转动，在它恰好碰到地面的时刻分析问题，而不能当作转轴就在地面上不动，那就偏离了定轴转动描述的这个前提了，任何书中都没有公式来解释这种情况。那么看作定轴转动描述，这个显然属于转轴作非惯性运动，即使在此瞬时时刻转轴速度为零，但加速度不为零，按前面所述，加速度垂直地面向上。如果它穿过质心，即使错误的套用了第一种公式也会有正确结果，如果它不穿过质心，那么惯性力的力矩就不会为零，必须套用第二种公式。但是可以肯定地告诉你，在质心恰好转到球心的正上方或正下方时，由于惯性力矩为零，错误的套用第一种公式也能得出此特殊时刻的正确结论。
根据我前面所说的，回答者： 13_01 - 千总 五级 所说的那篇文章里所说的：“取瞬心做转轴的方法是不正确的,只有在刚体质心到瞬心的距离为定值时,才是正确的”这种说法是错误的，此结论根本无逻辑而言，实属特例中的特例的结论，没有什么理论价值。极易误导思维！！！学习物理要掌握的是普遍规律，而不是特殊规律，因为特殊是包含在普遍之中的。沉浸在特殊之中，思维会走极端的，建立在特殊之上的思考已经不是思考，而是生搬套用！！！
H1=L1（s1-s3）/D
+
（a1-a3）/2-----------------（1—9）
H2=（L1+L2）（
s1-s3）/D
+
（a1-a3）/2----------（1—10）式中H1
,H2---------支点1和支点2的调整量,（正值时为加垫负值时减垫）,mm；
s1,s3及a1,a3-------分别为0°和180°方位测得轴向和径向百分表读数,mm；
D---------------------------联轴器的计算直径(百分表触点,即测点到联轴器中心点的距离),mm；
L1--------------------------支点1到联轴器测量平面间的距离,mm；
L2--------------------------支点1与支点2之间的距离,mm；应用上式计算调整量时的几点说明： ①式中s1,s3,a1,a3是用百分表测的读数,应包含正负号一起代入计算公式
②H的计算值是由两项组成,前项L（s1－s3）/D中,L与D不可能出现负值,所以此项的正负决定于（s1－s3）S1－s3＞0时,前项为正值,此时联轴器的轴向间隙呈形状,称为“上张口”；S1－s3＜0时,前项为负值,联轴器的间隙呈形状,称为“下张口”当a1－a3＞0时,后项为正值,此时被测的半联轴器中心（主动轴中心）比基准的半联轴器中心（从动轴中心）偏低,当a1－a3＜0时,被测的半联轴器中心偏高,
③机器安装时,通常以主机转轴（从动轴）做基准,调整电机转轴（主动轴）电机低座四个支点于两侧对称布置,调整时,对称的两支点所加（或减）垫片厚度应相等
④若安装百分表的夹具（对轮卡）结构不同,测量轴向间隙的百分表触点指向原动机（触点与被测半联轴器靠结合面一侧的端面接触）时,百分表的读数值大小恰与联轴器间实际轴向间隙方向相反,所以H值的公式前项s1－s3应改为s3－s1,即s3－s1＞0时为“上张口”,s3－s1＜0时为“下张口”
您好 对于细杆
当回转轴过杆的中点并垂直于杆时；J=m(L^2)/12
其中m是杆的质量，L是杆的长度。
当回转轴过杆的端点并垂直于杆时：J=m(L^2)/3
其中m是杆的质量，L是杆的长度。
对于圆柱体
当回转轴是圆柱体轴线时；J=m(r^2)/2
其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。
对于细圆环
当回转轴通过中心与环面垂直时，J=mR^2；
当回转轴通过边缘与环面垂直时，J=2mR^2；
R为其半径
对于薄圆盘
当回转轴通过中心与盘面垂直时，J=﹙1/2﹚mR^2；
当回转轴通过边缘与盘面垂直时，J=﹙3/2﹚mR^2；
R为其半径
对于空心圆柱
当回转轴为对称轴时，J=﹙1/2﹚m[（R1）^2+（R2）^2]；
R1和R2分别为其内外半径。
对于球壳
当回转轴为中心轴时，J=﹙2/3﹚mR^2；
当回转轴为球壳的切线时，J=﹙5/3﹚mR^2；
R为球壳半径。
对于实心球体
当回转轴为球体的中心轴时，J=﹙2/5﹚mR^2；
当回转轴为球体的切线时，J=﹙7/5﹚mR^2；
R为球体半径
对于立方体
当回转轴为其中心轴时，J=﹙1/6﹚mL^2；
当回转轴为其棱边时，J=﹙2/3﹚mL^2；
当回转轴为其体对角线时，J=（3/16）mL^2；
L为立方体边长。
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只知道转动惯量的计算方式而不能使用是没有意义的。下面给出一些（绕定轴转动时）的刚体动力学公式。
角加速度与合外力矩的关系：
角加速度与合外力矩
式中M为合外力矩，β为角加速度。可以看出这个式子与牛顿第二定律是对应的。 角动量：
角动量
刚体的定轴转动动能：
转动动能
注意这只是刚体绕定轴的转动动能，其总动能应该再加上质心动能。
只用E=（1/2）mv^2不好分析转动刚体的问题，是因为其中不包含刚体的任何转动信息，里面的速度v只代表刚体的质心运动情况。由这一公式，可以从能量的角度分析刚体动力学的问题。
转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。转动惯量的表达式为I=∑ miri^2，若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成I=∫r^2dm=∫r^2ρdV(式中mi表示刚体的某个质元的质量，ri表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，求和号（或积分号）遍及整个刚体。)转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。
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平行轴定理：设刚体质量为m，绕通过质心转轴的转动惯量为Ic，将此轴朝任何方向平行移动一个距离d，则绕新轴的转动惯量I为：
I=Ic+md^2
这个定理称为平行轴定理。
一个物体以角速度ω绕固定轴z轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z轴且通过质心的固定轴的转动。也就是说，绕z轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加
垂直轴定理
垂直轴定理：一个平面刚体薄板对于垂直它的平面的轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。
垂直轴定理
表达式: Iz=Ix+Iy
式中Ix,Iy,Iz分别代表刚体对x,y,z三轴的转动惯量
对于非平面薄板状的刚体,亦有如下垂直轴定理成立[2]:
垂直轴定理
利用垂直轴定理可对一些刚体对一特定轴的转动惯量进行较简便的计算
刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。由此折算所得的质点到转轴的距离 ，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为 I=Mκ^2，式中M为刚体质量；I为转动惯量。谢谢望采纳
转动惯量J的值与转轴的选取有关，
一般情况下选取系统的质心为转轴位置，此时记转动惯量为Jc；
Jc=∫
r^2
dm
如果转轴不在质心处，则有公式：J=Jc+Md^2
这里的d是质心到转轴的位置，M是系统的总质量
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