中间主应力作用的分析及Coulomb准则的修正

571 中间主应力对岩样强度的影响

作为材料参数的岩石强度，其概念和定义似乎不很明确，通常所说的都是岩样的强度。即特定尺度、形状的岩石试样，在规定应力状态如围压恒定或正应力恒定下，达到破坏过程所经历的最大轴向应力或剪切应力。然而岩样在达到峰值应力之前部分材料已经屈服破坏；而峰值应力之后仍有部分材料保持完好。这就是说，岩样内部各处材料的强度不等，试验所得的峰值应力只是岩石材料的强度在该试样的宏观表现。但是有关理论分析都是基于局部微元体进行的，而中间主应力对岩石微元体和对岩样强度的影响可能是不同的。

岩石材料的破坏形式是拉伸断裂和剪切滑移。就某一确定的岩石微元体，在剪切破坏时Mohr强度准则是可信的，中间主应力对屈服破坏没有影响。不过从图1-5至图1-7岩石组构可以看到，岩样各个局部的材料不仅强度不等，而且产生剪切滑移的方向也不相同，中间主应力的增加可能使沿该方向屈服的微元体需要更高的轴向应力，也可能使该微元体改变滑移方向，即不是沿最弱承载断面屈服，从而该微元体的承载能力提高。这就是说，中间主应力对微元体强度的影响是材料的各向异性和应力的各向异性共同作用的结果。

中间主应力σ2从σ2=σ3开始增加时，微元体的强度增加，岩样强度也就随着中间主应力的增加而增加，但这种影响由于主要滑移方向σ3的存在将不会很大，岩石破坏主要由最大主应力和最小主应力控制的结论，在定性上不会因此而改变。另一方面，在中间主应力σ2较大时，岩石材料在σ2—σ3方向也会产生屈服破坏，中间主应力的继续增加可能造成岩样强度的降低。当然，不同岩石其强度降低的程度可能不同，但中间主应力增加，最终一定会造成强度降低，否则屈服面就会出现尖点。

σ2=σ3的常规三轴压缩和σ2=σ1的三轴伸长试验，是中间主应力变动范围的界限。这两种试验在实验室比较容易进行。关于粗面岩、白云岩、花岗岩和石英岩的试验结果表明，岩样的强度在σ2=σ3和σ2=σ1状态下差别不大［39］。一些文献据此判断，中间主应力对岩石破坏的影响甚小。不过，上述定性分析和试验结果（尽管还不够充分）均表明，岩样强度在中间主应力σ2从σ3增大到σ1的过程中，经历了一个增加再减小的过程，并不是在σ2=σ1时达到最大。换句话说，岩样的强度在σ2=σ3和σ2=σ1状态下差别不大是理所当然的，并不能据此充分说明中间主应力的作用不很明显。至于文献［19］所引4种岩石的试验结果，其常规三轴压缩强度都是小于三轴伸长强度，且差距明显，当然表明了中间主应力对强度存在影响。

不过也存在相反的实验现象。California的角页岩（Long Valley hornfels）的强度完全不受中间主应力的影响，试样单一断面破裂，在SEM下没有观察到微裂纹和扩容［41］。这与第54节讨论的Westerly花岗岩和KTB闪岩完全不同。

572 中间主应力对岩样变形的影响

中间主应力对岩样变形特性的作用也正是根源于这种强度特性。试验结果表明［36～38］，在最小主应力保持一定时，中间主应力增加岩样的强度有所增大，而延性明显降低，趋于脆性。即最小主应力增加，岩样破裂前的应变增加；而中间主应力增加，破裂前的应变减小，二者的作用恰好相反。这对白云岩、大理岩和花岗岩都是如此。

在中间主应力σ2最小，等于最小主应力σ3时，σ1增大，岩样各个方向都会同时发生均匀的屈服，产生的塑性变形当然较大。如果增大中间主应力，则σ2方向材料的承载能力增大，在相同的σ1作用下，原来屈服的部分材料将不会屈服，因而也就不产生塑性变形；或者说，这些材料的屈服需要更高的σ1。中间主应力使岩样的屈服在周向上局部化，岩样产生的塑性变形当然减小，从而趋于脆性。这就是说，中间主应力的提高尽管使岩样强度略有增加，但岩样达到最终破坏所需的能量却大大减少。

岩体工程中造成围岩破坏的能量源于自身储存的弹性应变能。对临空面的快速支护，在增大最小主应力、提高岩石强度的同时，也减小了其与中间主应力的差异，使围岩内部的岩石的屈服破坏趋于均匀，从而吸收更多的能量，有利于围岩的稳定。

573 Coulomb准则的修正公式

由于岩石材料的非均质性，对局部微元体分析得到的强度准则，如Griffith准则与岩样的试验结果难以一致。因此中间主应力对岩样强度的影响最好直接利用经验公式来描述。一般认为Coulomb 准则还是比较可信的，没有 D-P 准则那样明显的缺点。但是，Coulomb准则完全没有反映中间主应力对强度的影响，与试验结果稍有不符；并且屈服面存在角点，造成导数不连续，影响计算过程和收敛速度。为此提出了各种修正公式［3，42］。

在最小主应力σ3恒定、中间主应力σ2增加过程中，岩样的强度经历了一个从小变大又减小的过程，常规三轴压缩的强度A和三轴伸长的强度B是两个端点。考虑到对称性，只要强度曲线不存在角点，则在B点σ1对σ2的导数为-1，因而强度不在σ2=σ1时达到最大是必然的。如果经过试验，得到不同的最小主应力下中间主应力与强度的关系，即在σ2-σ1平面上是一簇曲线（图5-30）。

图5-30 中间主应力和最小主应力对强度的影响曲线

如果从σ2= 的A点减小σ2，则σ2成为最小主应力，σ3成为中间主应力。在最小主应力σ2=σ、中间主应力为 时，强度可以从图中最小主应力σ3=σ的强度曲线中得到，即如果不考虑坐标的顺序，点x和点y的应力状态实际上是完全相同的。于是可以得到在中间主应力恒定时，最小主应力对强度的影响曲线AC（图5-30）。

在 大于单轴压缩强度时，那么随着σ2的减小，σ1就可能达到 ，其后继续减小σ2，则 将成为最大主应力，此时σ1、σ2的关系同样可以通过图5-30中σ2= 与曲线簇的交点来确定。不过通常试验的围压一般都低于单轴压缩的强度。

根据对称性，从图5-30可以看到，强度准则在平行于坐标面的平面上的截线是一个卵型线，并不是椭圆。因而圆锥曲面不能正确描述岩石的强度准则。

由于常规三轴压缩的强度σC和三轴伸长的强度σB已经大致确定了岩石的强度特性，因而强度准则可以据此构造。在σ1≥σ2≥σ3时，可以认为最小主应力恒定时，中间主应力对强度的影响可以用抛物线来表示：

岩石的力学性质

利用A点σ2=σ3，σ1=σC和B点σ1=σ2=σB的边界条件，可以确定上式的系数，从而在最小主应力σ3一定时，中间主应力与强度的关系为

岩石的力学性质

或

（2σB-σ1-σ2）（σB-σ3）2=（2σB-σC-σ3）（σB-σ2）2

式中：σB和σC是σ3的函数，由常规三轴压缩和三轴伸长试验确定。因而上式实际上表示了σ1≥σ2≥σ3的屈服面。轮换应力坐标就可以得到封闭的曲面。在通常的应力范围内，假设

σC=Q+K1σ3=1+3σ3 （555）

σB=P+K2σ3=115+33σ3

二者相交于三轴等拉点。经过实际计算，可以得到σ3/σ0=05、10、15和20的平面对屈服面的截线（图5-31）。

只要σB和σC通过三轴等拉点，即要求

岩石的力学性质

能够满足，则将应力坐标的顶点平移到（-T，-T，-T），则σB和σC与最小主应力σ3成正比，且公式（554）的形式不变。因此屈服面在π平面上的形状相似，图5-32 是σB和σC为式（555）时的计算结果。

如果以常规三轴压缩和三轴伸长的试验结果为依据，确定岩石的3个材料参数，就可以利用公式（554）的抛物线来描述中间主应力对强度的影响。最小主应力对强度的影响也可以由公式（554）确定。从图5-31和图5-32可以看出，本文提出的强度准则不存在明显的缺点，建议大家进一步予以研究。

如果岩石强度满足①双轴压缩强度P大于单轴压缩压缩强度Q；②常规三压缩强度和三轴伸长强度随围压增加的速率K相同；③在恒定最小主应力σ3下，中间主应力从σ2=σ3增加时，强度首先增加，达到一个平台后再逐渐降低，那么公式［2］

图5-31 屈服面在平行于坐标面的平面上的截线

图5-32 屈服面在π平面上的形状

岩石的力学性质

可以描述岩石的强度特征。式中η表示是中间主应力的影响特性；变量k=tanθ在1～K之间，满足

岩石的力学性质

其几何含义如图5-33所示。公式（557）与Wiebols-Cook 准则［43］和修正Wiebols-Cook准则［44］特征相同。

图5-33 强度准则（557）的一个特例

图5-34 参数η和σ2对强度的影响

图5-33给出了强度准则（557）的一个特例，其中参数 K=4，P=125Q，η=05。对于给定的σ3，强度σ1与变量k是二次多项式，但σ1随σ2的变化是，先快速增加，在达到一个平台后缓慢降低。这与图5-22、图5-25和图5-28的试验结果具有相似的变化趋势。

图5-34给出了σ3=0时参数η对强度的影响，K=4，P=125 Q。中间主应力的影响程度随η增加。强度准则（557）具有K，P，Q 和η共4个材料参数，因而需要进行常规三轴压缩试验确定K和Q，进行σ3=0的双向压缩试验确定P和η。又，如果不同的最小主应力σ3下，中间主应力对强度的影响特征不同，可以假设参数η 随σ3变化。这就需要进行更多的真三轴试验。

过A点取两个微小脱离体Aac和Aab，如图28(b)所示。由于两个三角形微元体的斜边Ac(外法线为n1)和Ab(外法线为n2)上无面力作用，即，由平衡条件可知：

Aac微元体：(1)

Aab微元体:(2)

注：在式(1)与式(2)中，已考虑了斜面中点矩的平衡条件，即τxy=τyx，这一条件。事实上，式(1)与式(2)即为两斜面的应力边界条件。

应力分量的系数行列式为：

(3)

又因为且α和β不能同时为

当此时没有应力σx1，且σx=σx2=0，σy=τxy=0。

当此时没有应力σx2，且σx=σx1=0，σy=τxy=O。

当</span>]由式(3)可知，行列式不为零。因此，必有：

σx=σx1=σx2=0，σy=τxy=0 (4)

综上所述，A点的应力分量为：

σx=σy=τxy=0