悬臂梁的挠度与最大位移的关系

与截面的惯性矩成反比。

解析:悬臂梁端部的最大位移为

正比:与荷载成正比;与跨度的L的4次方成正比。

反比:与材料的弹性模量E成反比;与截面的惯性矩I成反比。

固体力学可以分为若干个次级分支学科，它们在研究对象方面各有侧重，但又不能截然分开。它们的研究思路、基本假设和研究方法不尽相同，所得的结果和结论也有所不同。 材料力学是固体力学中最早发展起来的一个分支，它研究材料在外力作用下的力学性能、变形状态和破坏规律，为工程设计中选用材料和选择构件尺寸提供依据。它研究的对象主要是杆件，包括直杆、曲杆(如挂钩、拱)和薄壁杆等，但也涉及一些简单的板壳问题。在固体力学各分支中，材料力学的分析和计算

方法一般说来最为简单，但材料力学对于其他分支学科的发展起着启蒙和奠基的作用。 弹性力学又称弹性理论，是研究弹性物体在外力作用下的应力场、应变场以及有关的规律。弹性力学首先假设所研究的物体是理想的弹性体，即物体承受外力后发生变形，并且其内部各点的应力和应变之间是一一对应的，外力除去后，物体恢复到原有形态，而不遗留任何痕迹。弹性力学研究的最基本思想是假想把物体分割为无数个微元体，考虑这些微元体的受力平衡和微元体间的变形协调。此外，还要考虑物体变形过程中应力和应变间的函数关系。

弹性力学的理论可分为线性理论和非线性理论两类。前者依据的方程都是线性方程，后者依据的方程中有非线性方程。位移和应变之间的非线性称为几何非线性；应力和应变之间的非线性称为物理非线性。弹性力学也可分为数学弹性力学和应用弹性力学。前者是经典的精确理论；后者是在前者各种假设的基础上，根据实际应用的需要，再加上一些补充的简化假设而形成的应用性很强的理论。从数学上看，应用弹性力学粗糙一些；但从应用的角度看，它的方程和计算公式比较简单，并且能满足很多结构设计的要求。 塑性力学又称塑性理论，是研究固体受力后处于塑性变形状态时，塑性变形与外力的关系，以及物体中的应力场、应变场以及有关规律。物体受到足够大外力的作用后，它的一部或全部变形会超出弹性范围而进入塑性状态，外力卸除后，变形的一部分或全部并不消失，物体不能完全恢复到原有的形态。

一般地说，在原来物体形状突变的地方、集中力作用点附近、裂纹尖端附近，都容易产生塑性变形。塑性力学的研究方法同弹性力学一样，也从进行微元体的分析入手。在物体受力后，往往是一部分处于弹性状态，一部分处于塑性状态，因此需要研究物体中弹塑性并存的情况。这样，可以充分地发挥材料的性能并能更准确地估计物体的承载能力。塑性力学也分为数学塑性力学和应用塑性力学，其含义同弹性力学的分类是一样的。 研究细长杆、杆系结构、薄板壳以及它们的组合体在各种形式的压力作用下产生变形，以至丧失原有平衡状态和承载能力的问题。弹性结构丧失稳定性，是指结构受压力后由和原来外形相近似的稳定平衡形式向新的平衡形式急剧转变或者丧失承载能力，对应的压力载荷即是所谓的临界载荷。在设计结构时除按要求计算其强度外，还必须考虑失稳时的应力水平和失稳变形的大小，并需求出临界载荷。结构稳定性理论可分经典线性理论（小挠度理论）和非线性理论（大挠度理论）两类，经典线性理论在数学上作线性化处理，但实验表明，薄板壳按线性理论处理后得到的一些结果和实验不一致，为此又提出了非线性失稳的概念。对于弹性薄壳，主要应考虑几何非线性。若壳体在失稳前发生塑性变形，则应同时考虑物理非线性和几何非线性以及两者的相互影响。研究结构失稳前状态的理论叫作前屈曲理论，研究失稳后状态的理论叫作后屈曲理论。工程结构是不完善的，存在各种初始缺陷，因此初始缺陷理论也在不断发展。

研究稳定性问题的方法一般分为静力学法、动力学法和能量法。静力学法主要用于研究挠度微分方程的积分；动力学法主要用于研究外压力增加时结构系统的自由振动；能量法则以最小势能原理为基础进行研究，它在工程结构，特别是复杂工程结构的研究中被广泛采用。 振动理论是研究物体的周期性运动或某种随机的规律的学科。最简单、最基本的振动是机械振动，即物体机械运动的周期性变化。振动会使物体变形、磨损或破坏，会使精密仪裹精度降低。但是又可利用振动特性造福于人类。例如机械式钟表、各种乐器、振动传输机械等都是利用振动特性的制品。因此，限制振动的有害方面和利用其有利方面，是研究振动理论的目的。

机械振动有多种分类法，最基本的分为自由振动、受迫振动和自激振动。自由振动是由外界的初干扰引起的；受迫振动是在经常性动载荷(特别是周期性动载荷)作用下的振动；自激振动是振动系统在受系统振动控制的载荷作用下的振动。在工程实践中，对振动系统主要研究它的振型、振幅、固有频率。研究转动系统的转子动力学也属于振动理论的范畴。 断裂力学又称断裂理论，研究工程结构裂纹尖端的应力场和应变场，并由此分析裂纹扩展的条件和规律。它是固体力学最新发展起来的一个分支。

许多固体都含有裂纹，即使没有宏观裂纹，物体内部的微观缺陷(如微孔、晶界、位错、夹杂物等)也会在载荷作用、腐蚀性介质作用，特别是交变载荷作用下，发展成为宏观裂纹。所以，断裂理论也可说是裂纹理论，它所提出的断裂韧度和裂纹扩展速率等，都是预测裂纹的临界尺寸和估算构件寿命的重要指标，在工程结构上得到广泛应用。研究裂纹扩展规律，建立断裂判据，控制和防止断裂破坏是研究断裂力学的目的。 复合材料力学是研究现代复合材料(主要是纤维增强复合材料)构件，在各种外力作用和不同支持条件下的力学性能、变形规律和设计准则，并进而研究材料设计、结构设计和优化设计等。它是20世纪50年代发展起来的固体力学的一个新分支。

复合材料力学的研究必须考虑复合材料的各向异性性质和非均匀性。复合材料的力学性能决定于各组成材料的力学性能以及它们的形状、含量、分布状况以及铺层厚度、方向和顺序等多种因素。

纤维增强复合材料的比强度(强度/密度)和比刚度(刚度/密度)均高于传统的金属材料，而且其力学性能可设计，此外还具有良好的耐高温性能、抗疲劳性能、减振性能以及容易加工成型等一系列优点。这些优点都是力学工作者所追求和研究的。复合材料力学的触角已伸入到材料设计、材料制作工艺过程和结构设计中，并在很多方面得到了广泛的应用。

青海师专学报(教育科学)

JOURNA L OF QINGHAI JUNIOR TEACHERS ’COLLEGE

(Education Science)

　2004年第5期N o5 2004　　

固体力学中的加权余量法简介

张晓哲1, 王燕昌2

(1 2 宁夏大学, )

　摘　要:加权余量法(Weighted Residual Method ) , 当前岩土工程计算中, 许多流行算法如有限元法、无网格法、, 本文对加权余量法进行了简要概述, 阐述了该方法的理论基础, 权函数、　关键词:; ;　中图分类号:A　文章编号:1007-0117(2004) 05-0049-03

1　引言

2

∫v (k T +q v ) wdV =0　　　　　　　(2 4)

加权余量法(Weighted Residual Method ) 在固体力学中, 是求解线性、非线性微分方程的一种有效方法[1], 它是基于等效积分形式的近似方法[2], 也是通用的数值计算方法 有限元法、边界元法、无网格法都是加权余量法的特殊情况, 由于这三种方法各有其特点, 所以都各自发展为一种独立的方法, 加权余量法最早是用于流体力学, 传热等科学领域, [3-5]后在固体力学中得到了更大的发展, 本文将就加权余量法所涉及的问题作简要概述 2　加权余量法的理论基础

同理, 若边界条件式(2 2) 和(2 3) 在各自边界上任一点都满足, 则对任意函数w ,w 都有下面式子成立:

(T -T ) wd Г∫=0　　　　　　　　　(2 5) Г1

(q -q ) wd Г∫=0Г2

　　　　　　　　(2 6)

综合(2 4) , (2 5) , (2 6)

2

(T -T ) wd Г得:　　∫v (k T +q v ) wdV +∫Г1

(q -q ) wd Г　　+∫=0Г2

2

　∫v (k T +q v ) wdV

　　　　　(2 7)

在一般工程、科学计算问题中, 最终问题的解决往往可归结为在一定边界条件、初始条件下求解微分方程组 在数学上, 一般把微分方程形式称为强形

式(strong form ) , 在求数值解时, 往往把微分方程边界条件转换成变分形式(weak form ) [6]

下面将以一稳态热传导方程为例, 来介绍微分方程所对应的弱形式 稳态热传导方程, 边界条件如下:

(2 1) k 2T +q v =0在域V 内

T -T =0

(T -T ) wd Г　　+∫=0　　　　　　(2 8) Г1

2

　∫v (k T +q v ) wdV

(q -q ) wd Г　　+∫=0Г2

　　　　　(

2 9)

在边界Г1上　　　　(2 2)

q -q =0　　　　在边界Г2上　　　　(2 3)

式中T 为边界Г1上已知温度,q 为边界Г2上已知热流,q ≡T n ,n 是有关边界上的外法线方向 由于微分

方程(2 1) 在域内任意一点都满足, 所以下式成立:

收稿日期:2004-05-25

作者简介:张晓哲(1980-) , 男, 山西浮山人, 宁夏大学2002级固体力学专业硕士

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青海师专学报(教育科学)

Ω+∫　　∫w Rd Г=0　　　　　(3 6) ΩwRd Г

式(3 5) , (3 6) 的意义是通过选择待定系数a i , 强迫余量在某种平均意义上等于零,w ,w 称为权函数, 余量的加权积分为零可得到一组方程, 用来求解待定系数a , 进而得到原问题的近似解答 求解方程(3 6) 的展开形式为:

Ω+∫Г∫w 1B (Na ) d Г=0, Ωw 1A (Na ) d

Ω+∫Г∫w 2B () d Г=0…Ωw 2A (Na ) d

∫() d Г=0　　(3 7) Ωw (Na ) 4Г是域Ω的边界

, 常见权函数选择有如下几种:4 1　配点法:以笛拉克函数δ(Dirac dalta function ) 作为权函数, 对一维问题配点法为:

δ(x -x i ) dx =R (x i ) ∫V Rw i dV =∫V R

(i =1,2,3, …,n )

对于二维问题配点法为:

δ(x -x i ) δ(y -y i ) dxdy∫∫V Rw i dxdy =∫∫V R (x ,y )

　　　　　=R (x i ,y i ) (i =1,2, …,n )

图1域Ω和边界Г

在求解域Ω中, 若场函数u 为精确解 则在域Ω中, 任一点都满足微分方程(3 1) , 同时还在边界Г上任一点都满足边界条件(3 2) 式 则等效积分形式(2 7) , (2 8) , (2 9) 必然也严格得到满足, 但对于复杂的实际问题, 这样的精确解往往很难找到, 因此需要我们寻找具有一定精度的近似解

对于微分方程(3 1) , 边界条件(3 2) 所要表达的问题, 未知函数u 可用近似函数来表示, 近似函数为一族带有待定参数的已知函数, 一般形式为:

　　u =u =6N i a i =Na　　　　　(3 3)

i =1n

配点法的实质就是在n 个点上使其余量为零

4 2　子域法:在n 个子域Ωj 内w j =I , 在子域Ωj 以外,w j =0 实质上强迫余量在n 个子域Ωj 上积分为零

4 3　最小二乘法:当近似解取为:u =∑N i a i 时, 权

i =1n

函数w j =

(

A ∑N a ) , 9a j i =1i i

n i =1

n

2

Ω取最此方法的实质是使得I (a i ) =∫N i a i ) d ΩA (∑

小值

即要求=0(i =1,2, …,n )

9a i

i

4 4　力矩法:对一维问题有∫V Rx dV =0(i =0,1,2, …,n -1)

i i

对二维问题有∫∫V R (x ,y ) x y dV =0

　　　　　　　(i =0,1,2, …,n -1)

此方法的实质是强迫余量的各次矩为零, 通常又称此法为积分法

4 5　伽辽金法:是大家比较熟悉的方法, 按加权余

式中a i 为待定参数,N i 称之为试探函数的已知函

数, 它取自于完全函数系列, 是线性独立的所谓的完全函数系列是指任一函数都可用此序列表示, 近似函数通常选择使之满足强制边界条件和连续性要求

显然, 通常n 取有限项数的情况下近似解是不能满足微分方程(3 1) 及边界条件(3 2) , 将产生余量R ,R , 即　　　　A (Na ) =R ,B (Na ) =R　　　(3 4) 余量R 及R 也称之为残差, 由(2 7) 式即得近似的等效积分形式:

Ω+∫∫wB (Na ) d Г=0　　　(3 5) ΩwA (Na ) d Г

写成余量形式为:50

量法的观点理解, 伽辽金法中的权函数、试函数为取自同一系列的函数 5　试函数的选择

在加权余量法中, 试函数选择十分重要, 试函数

必须完备, 并且各试函数项之间应该线性无关 根据使用情况, 试函数大致如下:(1) 多项式; (2) 三角

张晓哲, 王燕昌:固体力学中的加权余量法简介

级数; (3) 样条函数, 一般为三次或五次样条函数; (4) 梁振动函数; (5) 杆稳定函数; (6) 正交多项式, 如:切比雪夫多项式, 勒让德多项式; (7) 贝塞耳函数; (8) 克雷洛夫函数 6　算例分析例:一条跨度为l , 受均布载荷作用的梁, 两端均为固定支撑(如图2) , 梁的挠度微分方程为:4　　　　EI 4-q =0　　　　　　　(6 1)

dx

式中E 为弹性模量,I 为梁的惯性矩,w 为挠度 我们

2 用配点法消除余量:从(6 3) 中令余量R I =0即得到与(6 4) 相同的C 值, 现在我们设另外一种试函

数:

w =C 0+C 1x +C 2x 2+C 3x 3+C 4x 4　　　(6 6) 将(6 6) 代入边界条件和控制方程

得　　　C 0=C 1=0,C 2=q l 2/24EI ,

　C

3=q l /12EI ,C 4=q/24EI

得到与(6 5) 用子域法、伽辽, 所以这个解是, , 做法在此不选择挠度试函数为:

　　　w =Cx 2(1-x ) 2　　　　　　(6 2)　w =0,dw/dx =0 将(6 2) 代入(6 得:　　　R I =EI 4q =24EIC -q　　(6 3)

解:1用最小二乘法消除余量:l

∫dV =∫v R I 0(24EIC -q ) 24EIdx =0dc

由此得到:C=q/24EI　　　　　　(6 4) 将(6 4) 代入(6 2)

图2两端固支受均布荷载的梁

7　结语

通过理论基础介绍, 实际算例分析可看出, 加权余量法是目前许多流行算法的基础, 深刻理解、领会、掌握加权余量法, 对于固体力学数值计算工作者有着重要意义

得　　　w =qx 2(l -x ) 2/24EI　　　

参考文献:

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[2]王勖成, 邵敏 有限单元法基本原理和数值方法(第2版) [M]北京:清华大学出版社,2002 [3]Z ienkiewicz O C The Finite E lement Method ,McG raw -Hill Book C o UK,1978 [4]陆明万, 罗学富 弹性理论基础[M]北京:清华大学出版社,1990 [5]胡海昌 弹性力学的变分原理及应用[M]北京:科学出版社,1981

[6]荣延玉 弹性力学分裂模量变分原理[J]西南交通大学学报,1981, (1) :48-56 [7]殷有泉 固体力学非线性有限元导论[M]北京:北京大学出版社,1987

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Weighted R esidual Method I n Solid Mechanics ZHANG Xiao -zhe 1, WANG Yan -chang 2

(1 2 Ningxia University ,Y inchuan Ningxia 750021,China )

Abstract :Weighted Residual Method is an im portant numerical method in s olid mechanics At present , s ome popular numerical method , such as finite element method , meshless , boundary element method , all regard it as the basic As the result , these methods develop rapidly This article tries to introduce W R M to reader sim plely , including the theory basic and the select of weight function and trial func 2tion Finally , though numerical exam ples , dem onstrate the use in the engineering practice

K ey w ords :Weighted residual method ; weight function ; trial function

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