费马大定理

《费马大定理》

业余数学之王大笔一挥，让人类最有智慧的头脑忙碌了358年。

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专业解读人

韩正之。上海交通大学教授、博士生导师、研究生院原常务副院长。

你将获得

费马大定理说的是什么？

数学家们为了解开这个谜题,都经历了什么？

为什么一个困惑智者358年的谜题，到20世纪末才解开？

书中金句

数学是由未知海洋中的一个个知识孤岛组成的。

寻求费马大定理的证明牵动了这个星球上最有才智的人们，巨额的赏格，自杀性的绝望，黎明时的决斗。

到20世纪初，这个问题依然在数论家的心目中占有特殊的地位，不过他们对待费马大定理就像化学家对待炼金术一样，两者都是来自过去年代的荒谬和富有浪漫色彩的梦。

精华笔记

一、费马与数学

费马的本职工作是大法官,不过把业余时间都用在钻研数学上了，所以被称为“业余数学之王”。

费马在数论领域成就颇丰，他的主要课本是古希腊数学家丢番图写的《算术》。费马将自己推出的新结论写在这本书的空白处。不过，费马留在这本书旁边的常常只是结论，即使有证明也是含糊不清的。

费马去世后，他的儿子将父亲遗作出版，尤其是对那本记载着费马众多发现的《算术》整理出版。这本书共包括费马评注48个，其中第二个评注，就是我们所说的“费马大定理”。

费马的第二个评注，是写在毕达哥拉斯定理旁边的。毕达哥拉斯定理也就是勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方的和等于斜边的平方。可以表达成                           

费马将毕达哥拉斯方程中的指数2改成3，试图找它的解，没有成功，改成4也无解。于是在原书的问题旁边，费马写下了下面结论：

不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个4次幂写成两个4次幂之和；或者，总的说来，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。

最后一句话就是费马大定理。在这个注释的旁边，费马还加有一句充满挑逗性的话：

我有一个对这个命题十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。

费马提出的其他结论都陆续被后人证明，只有这个定理一拖到了1994年，因此也被称做“费马的最后定理”，英文就是这样写的：Fermat’s Last Theorem。

二、费马大定理证明进展

第一个在费马大定理中取得进展的科学家是欧拉。他从费马的遗作中发现，费马在那本带评注的《算术》的另一个地方，隐约地证明了指数等于4的时候费马大定理是成立的。他用费马的无穷递减法得到了指数等于3时的费马大定理的证明。然而欧拉没有能够将对于4和3的证明推广到一般情况。

法国的索菲•热尔曼是一个对费马大定理做出重要贡献的女性。热尔曼定义了一类质数，后人称为热尔曼质数。具体是：如果p和2p+1都是质数，那么这个p就是热尔曼质数。热尔曼证明了一个结论，如果费马大定理中的n是一个热尔曼质数，那么方程的解(x,y,z)中至少有一个数是n的倍数。她说，这个结论使得费马方程“大概”没有解。

热尔曼对费马大定理的证明没有进一步的贡献，但是狄利克雷和拉梅用热尔曼的方法分别证明了，指数是5和7时费马大定理成立。

在阶段性胜利之后，法国科学院为推进费马大定理的证明设置了3000法郎的丰厚奖金。拉梅和另一位杰出的数学家柯西，俩人竞争开了。然而，德国数学家库默尔给科学院寄了一封信，库默尔指出拉梅和柯西的证明基础都是错误的。库默尔的信件对当时所有在研究费马大定理的人来说都是巨大的打击，这些人都与拉梅和柯西一样像是蒸发了。

1908年6月，德国实业家保罗•沃尔夫斯凯尔，也是一位数学爱好者。他因为被心爱的姑娘拒绝而想到自杀。距离设定的自杀时间还有几小时，于是他找出库默尔的文章读起来。读着读着，沃尔夫斯凯尔突然发现库默尔实际上做了一个假设，但是却没有说明假设的合理性。沃尔夫斯凯尔一步一步地沿着库默尔的思路重新证明，希望找出库默尔的错误，并建立正确的结论。

不知不觉地天亮了，他错过了自己设定的自杀时间，但是证明了库默尔的这点小漏洞是可以弥补的。沃尔夫斯凯尔为自己的这一结论感到十分得意，生命的美好又呈现在面前，他撕碎了给朋友们的诀别信，并决定要设置奖金推进费马大定理的证明。所以，后人又称费马大定理为救命大定理。

奖金并没有助力费马大定理的进展，数学家们提供的往往都是负面的消息。

三、安德鲁·怀尔斯

我们的主角，揭开费马大定理谜底的人终于要登场了。安德鲁·怀尔斯，1973年，他毕业于牛津大学默顿学院，获数学学士学位。随后开始了他在剑桥大学克莱尔学院的研究生学习生涯，导师是澳大利亚人约翰•科茨教授。

科茨教授为怀尔斯制定了“椭圆曲线”的研究方向。怀尔斯研究的问题是，椭圆方程有没有整数解，和有多少组整数解。乍一看，除了整数这一点外，椭圆曲线问题与费马大定理没有什么关系。

战后的日本经济慢慢复苏，1950年代中期，日本出了两个杰出的年轻数学家：谷山和志村。他们在大学里相遇，两人研究了一种古怪的数学对象，称为模形式，这是19世纪提出的一个新概念。它是与加减乘除并存的一种运算形式，具有平移、旋转、中心对称和轴对称的性质。

一个椭圆方程，一个模形式，看上去似乎是两个相隔遥远的孤岛。1955年，在东京举行的一次国际性数学界的会议上，谷山提出：椭圆方程和模形式之间可能存在一一对应关系。这个问题后来就称为谷山-志村猜想。

谷山-志村猜想成为很多研究成果的基础，那些论文说，如果谷山-志村猜想成立，那么我们就可以证明这样那样的结论。其中有一个推断是弗赖提出的，他将费马方程和椭圆方程联系在一起了。弗赖说，如果谷山-志村猜想是对的，那么费马大定理就是对的。

在椭圆方程领域小有名气的怀尔斯跃跃欲试了，那是1986年夏，他已经有资格在美国普林斯顿做研究了。怀尔斯决定做独行大侠，他将自己封闭起来，不与别人讨论，也不想让别人知道他在挑战费马大定理。一来他是害怕不能最终解决费马大定理的证明而被贻笑大方，二来怕别人利用他的成果捷足先登。

怀尔斯花了18个月熟悉了这些年在椭圆方程和模形式的全部进展，他决定采用数学归纳法来证明。一开始，他的证明还是很顺利的。直到1991年，最后一步证明受阻。他碰到了导师科茨教授，无意中听到一种科利瓦金方法。怀尔斯花了几个月熟悉这种方法，可惜他不熟悉其中的代数知识，万不得已，他只得向他的同事凯兹寻求帮助。

1993年5月，在凯兹的帮助下，怀尔斯终于完成了最后证明，他挑选6月在剑桥举行的学术会议上宣布他的证明。怀尔斯宣布了自己已经成功证明了费马大定理，剑桥大学数学研究所的所长甚至事先准备好了香槟。当怀尔斯说到“我想我就在这里结束”时，会场爆发经久不息的掌声。

好事注定是多磨的。按照沃尔夫凯斯尔遗嘱的规定，怀尔斯的论文必须在杂志上发表，并经过两个月无人质疑才算正式证明了费马大定理，然后发奖。会议之后怀尔斯将论文递交给《数学发明》，编辑梅休尔选了六位审稿人。审稿人不断地将发现的疑问与怀尔斯讨论，这样延续了3个月。

8月间，审稿人发现了一个“稍微复杂一点”的错误，而对这个错误怀尔斯没有立即做出回应。到12月，论文还没有发表，数学家们已经没有了信心，报刊的记者更是大做文章，认为这又是一次乌龙。

1994年9月19日，怀尔斯决定对自己的证明做最后一次审查。他突然发现，一个长期被自己遗弃的工具，就是他的导师提及的科利瓦金方法可以用来解决这个错误。惊喜若狂，怀尔斯立即写下了证明。他回忆说，第二天早晨我又仔细检查一遍，到11点我完全放下心来了。

论文发表在1995年5月的《数学发现》上，长达130页。这次真的没有问题了。

策划编辑 | 陈艳

音频编辑 | 陈子夫

播音 | 张煜