求《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维数》这篇文章，文章作者曼德布罗（ Beonit Mandelbrot）

《英国的海岸线有多长？统计自相似和分数维度》（How Long Is the Coast of Britain Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension）是由本华·曼德博写的论文，最初在1967年于《科学》发表。在这篇论文内曼德博讨论了维度于1和2之间的自相似曲线。虽然曼德博没有用“分形”（fractal）这个词汇，但这些曲线都是分形。
论文的首部分，曼德博讨论了路易斯·弗赖·理查森对海岸线与其他自然地理边界的测量出来的长度如何依赖测量尺度的研究。理查森观察到，不同国家边界测量出来的长度L(G)是测量尺度G的一个函数。他从不同的好几个例子里搜集资料，然后猜想L(G)可以透过以下形式的一个函数来估计：
L(G)=MG1-D
曼德博将此结果诠释成显示海岸线和其他地理边界可有统计自相似的性质，而指数D则计算边界的豪斯道夫维度。透过这个看法，理查森的研究的例子的有着从南非海岸线的102到英国西岸的125的维度。
在论文的第二部分，曼德博描述了不同的关于科赫雪花的曲线，它们都是标准的自相似图形。曼德博显示计算它们的豪斯道夫维度的方法，它们的维度都是1和2之间。他亦提及填满空间、维度为2的皮亚诺曲线，但并未给出其构造。
这篇论文很重要，因为它既显示了曼德博早期对分形的思想，同时又是数学物件和自然形式的联结的例子——曼德博以后很多工作的主题。
英国的海岸线有多长？
--------------------------------------------------------------------------------

欧几里得几何学的研究对象是具有特征长度的几何物体：
一维空间：线段，有长度，没有宽度；
二维空间：平行四边形，有周长、面积；
三维空间：球，表面积、体积；
自然界中很多的物体具有特征长度，诸如：人有高度、山有海拔高度等。

有一类问题却比较特别，曼德布罗特Mandelbrot就提出了这样一个问题：英国的海岸线有多长？

也许你会认为，这个问题太简单了，要测量海岸线那还不容易，利用地图或航空测量都能获得答案。

但是，1967年在国际权威的美国《科学》杂志上发表了一篇划进代的的论文，它的标题就是《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维数》中，文章作者曼德布罗（Beonit Mandelbrot）是一位当代美籍法国数学家和计算机专家，当时正在纽约的IBM公司的活特生研究中心工作， 而他的答案却让你大吃一惊：他认为，无论你做得多么认真细致，你都不可能得到准确答案，因为根本就不会有准确的答案。英国的海岸线长度是不确定的！它依赖于测量时所用的尺度．

原来，海岸线由于海水长年的冲涮和陆地自身的运动，形成了大大小小的海湾和海岬，弯弯曲曲极不规则．

假如你乘一架飞机在10000m的高空沿海岸线飞行测量，同时不断拍摄海岸照片，然后按适当的比例尺并计算这些照片显示的海岸总长度，其答案是否精确呢？否！因为，你在高空不可能区别许多的小海湾和小海峡。

如果你改乘一架小飞机在500m高处重复上述的拍摄和测量，你就会看清许多原来没有看到的细部，而你的答案就会大大超过上次的答数。

现在再假设你就在地面上，测量其长度时如以公里为单位，则几米到几百米的弯曲就会被忽略不能计入在内，设此时得长度L1；用长度为10m的量规来测量海岸线的长度，那么那些在空中看不清的拐弯处就会使海岸线长度变得更大，L2＞L1；如如果你改到长度为1m的量规，上面忽略了的弯曲都可计入，结果将继续增大，但仍有几厘米、几十厘米的弯曲被忽略,此时得出的长度L3＞L2＞L1；如此等等，采用的量度越精密，海岸线就显露出更多的细节，而你获得的海岸线长度就越大（图19）．可以设想，用分子、原子量级的尺度为单位时，测得的长度将是一个天文数字．这虽然没有什么实际意义，但说明随测量单位变得无穷小，海岸线长度会变得无穷大，因而是不确定的．所以长度已不是海岸线的最好的定量特征，为了描述海岸线的特点，需要寻找另外的参量．

当然就人力而言，你可能会用1m量规测量后就停止测量，而物理学家可能会认为这种测量过程必须在原子层次上达到一个理论的极限，但从数学家理想化的观点看，这种越来越精细的测量过程则可以无限继续下去，这就意味着相应的测量结果将无限地增大，也就是说，所谓海岸线的长度并没有确切的数学定义，而通常我们谈论的海岸线长度只是在某种标度下的度量值。 Benoit Mandelbrot 说 ，其实任何海岸线的长度在某个意义下皆为无限长 ，或者说，海岸线的长度是依量尺的长短而定。

海岸线长度问题，曼德尔布罗特最初是在英国数学家理查逊（Lewis Fry Richardson）的遗稿中一篇鲜为人知的晦涩的论文中遇到的。这个问题引起他极大的兴趣，并进行了潜心的研究．其中他所摸索的一大堆争议性主题，后来成为混沌理论（Chaos Theory）的一部份。当初 Lewis Fry Richardson 为了想要了解一些国家锯齿形的海岸线长度，所以翻阅西班牙、葡萄牙、比利时与荷兰的百科全书，他发现书上在估计同一个国家的海岸线长度时，竟然有百分之二十的误差，Lewis Fry Richardson 指出 ：这种误差是因为他们使用不同长度的量尺所导致的。他同时发现海岸线长度 L 与测量尺度 s 的关系如下，其中，值得注意的是 log(1/s) 与 log(L) 呈线性关系，其斜率为一定值 d：, 即，其中lgk≈37，d≈024很明显，如果我们以对lgL作图，所得到的直线斜率为d。

曼德尔布罗特独具慧眼地发现了1961年理查逊得出的边界长度的经验公式L (r)= Kr1-a中的a就可以作为描述海岸线特征的这种参量，他称之为“量规维数”，这就是著名的分数维数之一．这一问题的研究，成为曼德尔布罗特思想的转折点，分形概念从这里萌芽生长，使他最终把一个世纪以来被传统数学视为“病态的”、“怪物类型”的数学对象，——康托尔三分集、科赫曲线等统一到一个崭新的几何体系中，让一门新的数学分支——分形几何学跻身于现代数学之林．

--------------------------------------------------------------------------------

不同量规测量海岸线长度的一个浅显的比喻

--------------------------------------------------------------------------------

显然，用人的脚步来测量，和让一只蚂蚁来测量，得出的结果将有天壤之别，因为蚂蚁会爬过比人多得多的弯曲，从而测量的结果将比人的结果大得多。假设有一种无限小的生物，那么测量结果将是无穷大。不要忘了，在蚂蚁眼中，我们是比鲸还要大的庞然大物。关于观察尺度，《格列佛游记》里面有精彩的描述。当格列佛到了巨人国，他发现没有一个女人是漂亮的，因为在他小小的眼睛里，女人每一个狰狞的毛孔他都看得清清楚楚。作为阅读对象的文本可以比作英国的海岸线，说文本无定解，不是说文本什么都不是，它是英国的海岸线，可是它究竟有多长，不同的读者有不同的测量结果。可是以谁为准？蚂蚁的结果就不算数吗？

--------------------------------------------------------------------------------

请你为联合国特使支招

--------------------------------------------------------------------------------

问题：A、B两国有一段共同的陆地边界线，并向B国呈弧形弯曲（图20） 横跨边界线有一战略高地原属两国所共有 20世纪80年代，A国对边界重新进行测量，测得的边界长度比原记载长度大，按新测长度这块高地完全落在A国境内 于是A国向B国提出，要求将高地全部归属A国，引起两国争端 为维护该地区和平，联合国派员往A、B两国斡旋，请你为联合国特使设计一调解方案

方案：向两国指出，国境线是一种分形曲线，用传统测量方法无法得到确定的长度，随着测量单位的减小，测得的长度会增大 A国新测得的长度比原记载长度大，正是她测量时采用了较原测量单位更小的码尺 所以一方面可用分形几何理论向两国解释，另一方面还可同两国到边界进行测量演示

思考：

1为什么长度已不是海岸线的特征量？

2为什么在测量海岸线长度时，随测量单位的减小，海岸线长度会越来越大？

3了解科赫雪花曲线的生成过程，并对其进行探究，体会曼德尔布罗特为什么把科赫雪花曲线作为海岸线的数学模型