一维连续小波变换cwt调用方式

（1）coefs=cwt（s，scales，‘wname’）

（2）coefs=cwt（s，scales，‘wname’，‘plot’）

说明：该函数为一维连续小波分析函数，其中coefs为连续小波变换后的返回系数Wf（a，b）矩阵，系数以行方向存储在矩阵中。

［例6-14］对MATLAB中所带有的noissin信号进行连续小波变换，尺度a分别为012，024，048，12，2，4，6，8，10，小波函数用db3，请求出连续小波变换后的系数。程序：

load noissin；%装载信号

s=noissin（1：100）

ls=length（s）；%计算信号点的个数ls

%对s进行一维连续小波变换，把返回系数存到矩阵w中

w=cwt（s，［1212，1024，1548，12，2：2：10］，‘db3’，‘plot’）

Xlabel（‘时间’）；

Ylabel（‘变换尺度’）；

Title（‘对应于尺度a=012，024…小波变换系数的绝对值’）；

执行程序后，返回矩阵为一个9×1000矩阵。在此为节省篇幅，我们不将结果打印出来，读者可自己上机运行该程序观察结果。

图6-41 一维离散小波变换dwt

式（6-21）说明，连续小波变换（CWTψf）（a，b）可看成是信号f（t）与小波ψa，b（t）的内积，即一种从L2（R）空间到L2（R2）空间的映射：

M：f（t）→＜f，ψa，b（t）＞

可以证明，这是一种等距映射｛ρ（x，y）=ρ（Tx，Ty）｝，即任何信号f（t）∈L2（R）在映射前后的总能量不变，仅差一个常数因子，可表示为

地球物理信息处理基础

式中

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它是式（6-22）规定的母小波应满足的允许条件。一般来说，若任意给定两个信号f（t）∈L2（R）和g（t）∈L2（R），则有下列关系

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成立。式中的常系数Cψ仍然应该满足式（6-22）的条件。这是因为：根据Parseval定理

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并且考虑到

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则有

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由于

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所以

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令 ，则有

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即得式（6-29）

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我们把式（6-28）或式（6-29）称为小波ψa，b（t）的“恒等分辨”（resolution of identity）性质，实质上它是内积不变或保内积性质。在式（6-28）中，若f（t）=g（t），则

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因此，可以把连续小波变换的模平方看成是信号能量在时间-尺度平面上的分布（密度）。

式（6-29）隐含着下式成立：

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事实上，我们比较一下式（6-31）和式（6-29），发现：只要能够证明

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成立，就可得到式（6-29）。为此，可以取g（τ）=δ（τ-t），则有

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那么

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所以有

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即

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这就是连续小波变换的逆变换公式。逆变换公式的存在说明连续小波变换是完备的，它保留了信号的全部信息，因而能够用它完全刻划信号的特征。只要小波的傅氏变换满足下面的稳定性：

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式中0＜A≤B＜∞，那么就可以用一种数值稳定的方法重构原信号。

小波一词由 Jean Morlet 和 Alex Grossman 在 1980年代 早期建立。他们用的是 法语 词ondelette - 意思就是小波。在英语里，后来将o de变为wave而成了wavelet。小波变换分成两个大类：离散小波变换 (DWT) 和 连续小波变换 (CWT）。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定孠集。小波理论和几个其他课题相关。

有小波变换可以视为 时域频域表示 的形式，所以和 调和分析 相关。所有实际有用的离散小波变换䠿用包含 有限脉冲响应 滤波器的滤波器段（filterbank）。构成CWT块小波受海森堡的测不准原理制约，或者说，离散小波基可以在测不准原理的其他形式的上下文中考虑。 简单来说（技术上有错），母小波函数ψ(t)必须满足下列条件：

∫│ψ(t)│^2 dt=1(积分区间负无穷到正无穷）。也即 ψ<[L(R)]^2。

并单位化∫│ψ(t)│dt=∞(积分区间负无穷到正无穷）。也即 ψ<L(R)。

∫ψ(t)dt=0(积分区间负无穷到正无穷）。

多数情况下，需要要求ψ连续且有一个矩为0的大整数M，也即对所有整数m<M。

∫t^m·ψ(t)dt=0(积分区间负无穷到正无穷）。

这表示母小波必须非0且均值为0。

技术上来讲，母小波必须满足可采纳性条件以使某个分辨率的恒等成立。

母小波的一些例子：

待添加

母小波缩放（或称膨胀）a倍并平移b得到（根据Morlet的原始形式）：

ψa,b(t)=ψ[(t-b)/a]/a^05

这些函数常常被错误的称为变换的埠函数。实际上，没有基函数存在。时域频域解释要用一个稍有区别的表述（由D lprat给出）。 小波只有时域表示，作为小波函数\psi (t) 例如墨西哥帽小波。

小波的发展和几条不同的思路相关@最早的是 Alfred Haar 在20世纪早期的工作。对小波理论有窠出贡献的有 Pierre Goupillaud,Alex Grossman 和 Jean Morlet 的表述，现在称为CWT （1982），Jan-Olov Str&ouml;mberg 在离散小波上的早期工作（1983），英格丽·多贝西 (Ingrid Daubechies）的紧支撑正交小波（1988），Stephane Mallat 的多分辨率框架（1989），Nathalie Delprat CWT的时域频域解释 （1991），David E Newland 的调和小波变换和之后的很多其他人㠂

时间线

- 第一个小波（Haar小波）由 Alfred Haar 给出 （1909年）

- 1950年代以来： Jean Morlet 和 Alex Grossman

- 1980年代以来： Yves Meyer,Stéphane Mallat，英格丽·多贝西 (Ingrid Daubechies),Ronald Coifman,Victor Wickerhauser

小波变换

存在着大量的小波变换，每个适合丠同的应用。完整的列表参看 小波相关的变换列表 ，常见的如下：

- 连续小波变换 (CWT)

- 离散小波变换 (DWT)

- 快速小波变换 (FWT)

- 小波包分解 (Wavelet packet decomposition) (WPD)