排列组合公式大全

排列组合公式大全

排列

排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，排列顺序不同即为不同的排列。若从n个不同元素中选取r个元素进行排列，称为n中取r的排列，记作Anr。其排列公式为：

Anr = n(n-1)(n-2)(n-r+1) = n!/(n-r)!。

组合

组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合，组合顺序不同仍视为同一种组合。若从n个不同元素中选取r个元素进行组合，称为n中取r的组合，记作Cnr。其组合公式为：

Cnr = n!/[(n-r)!r!]。

含有重复元素的排列

若从n个元素中选取r个元素进行排列，其中有k1个元素相同，有k2个元素相同，，有km个元素相同，则其排列公式为：

Anr = n!/(k1!k2!km!)(r1!r2!rm!)，其中ri为选取的元素中有ki个相同元素的排列数，有r1+r2++rm=r。

含有重复元素的组合

若从n个元素中选取r个元素进行组合，其中有k1个元素相同，有k2个元素相同，，有km个元素相同，则其组合公式为：

Cnr = (n+k-1)Cr，其中k=k1+k2++km。

其他应用

排列组合在数学上有广泛的应用。在组合选择问题中，排列和组合公式是解题基础。在计算机科学中，排列和组合问题也经常出现，例如算法中的搜索和排序等问题。在统计学中，排列和组合也是常用的数学工具。此外，在实际生活中，例如组队比赛、选举投票、抽奖、排队等问题中，排列和组合公式也有很大的作用。

排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列组合与古典概率论关系密切。

排列组合定义

从n个不同元素中，任取m（m≤n,m与n均为自然数）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m)表示。

排列组合公式

A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!

C-Combination 组合数

A-Arrangement 排列数

n-元素的总个数

m-参与选择的元素个数

!-阶乘

排列组合基本计数原理

加法原理与分布计数法

1、加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

2、第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。

3、分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。

乘法原理与分布计数法

1、乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。

2、合理分步的要求：任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

等差数列最重要最基本的几个公式就是：

an=a1+(n-1)d,an=am+(n-m)d

sn=(a1+an)n/2

am+an=ap+aq,(前提是m+n=p+q)

anm=n×（n-1）(n-2)（n-m+1）；anm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；ann（两个n分别为上标和下标）

=n！；0！=1；an1（n为下标1为上标）=n

组合（cnm(n为下标，m为上标)）

cnm=anm/amm

；cnm=n！/m！（n-m）！；cnn（两个n分别为上标和下标）

=1

；cn1（n为下标1为上标）=n；cnm=cnn-m

高中数学排列组合公式如下：

排列A(n,m)=n×（n-1）。（n-m+1）=n!/（n-m）!(n为下标,m为上标,以下同)。

组合C(n,m)=P(n,m)/P(m,m)=n!/m!（n-m）!。

例如A(4,2)=4!/2!=43=12。

C(4,2)=4!/(2!2!)=43/(21)=6。

加法原理与分布计数法：

1、加法原理:做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+ +m种不同方法。

2、第一类办法的方法属于集合A1,第二类办法的方法属于集合A2第n类办法的方法属于集合An,那么完成这件事的方法属于集合AUA2UAn。

3、分类的要求:每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重) ;完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。

　　排列P------和顺序有关

　组合C-------不牵涉到顺序的问题

　排列分顺序，组合不分

　例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法"排列"

　把5本书分给3个人，有几种分法"组合"

　1．排列及计算公式

　从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示

　p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n！/(n-m)！(规定0！=1)

　2．组合及计算公式

　从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号

　c(n，m)表示

　c(n，m)=p(n，m)/m！=n！/((n-m)！m！)；c(n，m)=c(n，n-m)；

　3．其他排列与组合公式

　从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n，r)/r=n！/r(n-r)！

　n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，nk这n个元素的全排列数为

　n！/(n1！n2！nk！)

　k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m)

　排列（Pnm(n为下标，m为上标)）

　Pnm=n×（n-1）（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n

　组合（Cnm(n为下标，m为上标)）

　Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）=1；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m

　2008-07-0813：30

　公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝987654321

　从N倒数r个，表达式应该为n（n-1)(n-2)(n-r+1)；

　因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r

　举例：

　Q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？

　A1：123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。

　上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988，997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有987个三位数。计算公式＝P（3，9)＝987，(从9倒数3个的乘积）

　Q2：有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？

　A2：213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

　上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3，9)=987/321

　排列、组合的概念和公式典型例题分析

　例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？

　解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．

　（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．

　点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．

　例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？

　解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：

　∴符合题意的不同排法共有9种．

　点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．

　例3判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．

　（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

　（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

　（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

　（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？

　分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．

　（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．

　（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．

　（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．

　（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．

　例4证明．

　证明左式

　右式．

　∴等式成立．

　点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．

　例5化简．

　解法一原式

　解法二原式

　点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．

　例6解方程：（1）；（2）．

　解（1）原方程

　解得．

　（2）原方程可变为

　∵，，

　∴原方程可化为．

　即，解得

排列组合计算公式如下：

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A（n,m）表示。

排列数：从n个中取m个排一下，有n(n-1)(n-2)(n-m+1)种，即n!/(n-m)!

组合数：从n个中取m个，相当于不排,就是n!/[(n-m)!m!]

定义及公式

排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。

其他排列与组合公式从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A（n，m）/m=n！/m（n-m）！。n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，nk这n个元素的全排列数为n！/（n1！×n2！×nk！）。k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C（m+k-1，m）。

-排列组合

1、c43排列组合公式。

2、排列组合p44怎么计算。

3、p42排列组合公式。

4、p41排列组合公式。

1p43意思是在4个数中挑选3个数并且排列不考虑顺序那么这三个数第一个数有4中选法，第二个数有3中选法（因为第一个数选掉了一个数字），第三个数有2中选法。

2所以是432=24。

3所以pxy=x(x-1)……(x-y+。