卷积公式概率论是什么？

卷积公式是：z（t）=x（t）y（t）=∫x（m）y（t-m）dm。这是一个定义式。卷积公式是用来求随机变量和的密度函数（pdf）的计算公式。

注意卷积公式仅在Z与X、Y呈线性关系方可使用，因为小写z书写不方便，故用t代替。

方法就是将y（或x）用x和t表达，替换原密度函数的y，对x（或y）积分，这样就可以消掉x和y，只剩下t。

卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。F（g（x）f（x）） = F（g（x）)F（f（x）），其中F表示的是傅里叶变换。

在泛函分析中，卷积、旋积或褶积(英语：Convolution)是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。

如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。

卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。

离散情况下是数列相乘再求和。

连续情况下是函数相乘再积分。

卷积是两个函数的运算方式，就是一种满足一些条件（交换律、分配率、结合律、数乘结合律、平移特性、微分特性、积分特性等）的算子。用一种方式将两个函数联系到一起。

从形式上讲，就是先对g函数进行翻转，相当于在数轴上把g函数从右边翻转到左边去，然后再把g函数平移到n，在这个位置上对两个函数的对应点相乘，然后相加。这就是“卷”的过程。函数翻转，滑动叠加（积分、加权求和）。

有一种学术的说法：卷积是将过去所有连续信号经过系统的响应之后得到的在观察那一刻的加权叠加。

从打板子的例子来看结合前边提到的连续形式f和g的卷积，可以理解为f和g的卷积在n处的值是用来表示在时刻n 遭受的疼痛程度。

f(t)是在说t这一时刻的人打的力度，g(n-t)说的是现在站在n时刻开始统计 这个t时刻打的板子本身的疼痛程度变化成了什么样子。将所有积分计算出来 就可以知道到n时刻这个人有多痛。（至于积分上下限就不能用这个时刻来理解了，毕竟现在无法知道未来。）

不过从这个简单的例子中还是可以窥见一些卷积公式的奥秘，我们知道在实际推导时主要是在推导两个随机变量的和的时候推导出来的。

一、卷积公式

由于还没学习到二维卷积，所以我们这里只进行一维卷积的讨论。

离散卷积：

离散的数据，就好比是我们平时的考试成绩（0,1,2,…,100），离散卷积的公式如下：

这里i的定义域为负无穷到正无穷，当然具体的问题要具体分析，比如成绩（100分满分），那么i的定义域就是（0-100）。

连续卷积：

连续的数据，我们还是说成绩，但是这个老师比较牛，他打分甚至可以个给你打根号，也就是说是0-100之间的所有实数。连续卷积的公式如下：

这里定积分的下限是负无穷，上限是正无穷，同理，还是具体情况具体分析，如果还是那个打分情况，那么就是下限为0，上限为100。

注：这里的是卷积的符号，不是乘法。

公式说明：

我们可以从这两个公式中发现一个情况，就是无论是离散情况还是连续情况，都会有n = i + (n - i)和t = τ + (t - τ)，那么这个问题我们后续在卷积翻转的时候再说明

f(t)g(t)=∫t0f(u)g(tu)du(1)。

卷积的拉普拉斯变换=拉普拉斯变换后的乘积公式：L[f(t)g(t)]=F(s)G(s)5输入的拉普拉斯变换（Laplace）×传递系数。

卷积公式如下：

xy独立的情况下

z=x+y加法的卷积公式是f(x)f(z-x)

z=x-y减法的卷积公式是f(x)f(x-z)

z=xy乘法的卷积公式是

(1/|x|)f(x)f(z/x)

z=y/x除法的卷积公式是|x|f(x)f(xz)

Z=X-Y 的分布

假如x,y都是U(0,1)均匀分布，求z=x-y的分布

概率密度函数不再是均匀分布，会是三角形或者梯形