《数学故事》读后感400字

《数学故事》读后感400字（通用7篇）

　当品读完一部作品后，大家一定都收获不少，此时需要认真地做好记录，写写读后感了。那么读后感到底应该怎么写呢？以下是我帮大家整理的《数学故事》读后感400字（通用7篇），仅供参考，欢迎大家阅读。

《数学故事》读后感400字1

　数学的真谛在于创新，而不在于死记硬背。——题记

　“数学王子”高斯从小家里就穷，在他七岁的时候，小高斯上小学了。教师名字叫布特纳，是当地小有名气的“数学家”。这位来自城市的青年教师，总认为乡下的孩子都是笨蛋，自己的才华无法施展。他在发了一通脾气之后，在黑板上写下了一个长长的算式：81297+81495+81693+……+100701+100899=？孩子很都被难倒了，布特纳很是得意。不料，小高斯却算出了答案。原来，小高斯不是像其他孩子那样一个数一个数地加，而是细心地观察，动脑筋，找规律。他发现一头一尾两个数依次相加，每次加得的和都是182196，求50个182196的和可以用乘法很快算出。

　小高斯这种细心观察，乐于动脑的精神我们也要学会，数学不只是纸上死气沉沉的公式，而是一个个跳动的数字，我们要让数学活起来，才能使我们的思维能力提高，才能攻略更多的难题。如果我们的脑袋里只有各种僵硬的公式，而没有半点活跃的思维的话，即使做再多的题目也是没有用的！

　所以，不要让你的脑袋塞满机械的公式。留出一点空间，让数字活起来；让思维活起来；让数学活起来！

《数学故事》读后感400字2

　读了《李毓佩数学故事集》这本书，我了解到这本书一共讲了四个故事，共196页。每个题的做题方法都不同，有时需要利用逆向思维来解答，我十分喜欢这本书。

　《巧遇数学猴》这个故事的主人公是猪八戒，虽然他不会做题，但是他遇到了数学猴，每一次遇到不会做的题他都会请他来帮忙。

　《被困聪明国》这个故事的主人公是丁丁和当当，他们来到聪明国遇到了麻烦，最后两人用数学知识一起逃离了聪明国。

　《爱克斯探长》这个故事的主人公是爱克斯，他是一位大名鼎鼎的侦探，与众多犯罪集团打交道，解开了许多数学谜团，维护了和平城的安全。

　《行侠仗义猴》这个故事的主人公是在武，他和花崎是好朋友。与他们作对的人是老狐狸，他们爱思考数学问题，发现老狐狸欺负大家，就教训了他。但老狐狸不服气，到老虎大王那里去告状，结果他失败了，还被老虎大王狠狠得惩罚了一顿。

　每一个故事里都有一个问题，每一个问题都有不同的解题思路。我是一个爱动脑筋的男孩，所以我很喜欢这一本书。

《数学故事》读后感400字3

　只有喜欢数学、爱上数学、才能学好数学。——题记

　第一次看到《数学故事》是在我妈妈的书架上，那时候我被一些数学题难住，心烦意乱。妈妈看我这样，便把这本书送给了我，让我好好读完它。不知为什么，我一翻开书，那颗浮躁的心便沉静下来，开始了在数学海洋里的遨游。

　有的人说数学很难、很枯燥，我开始也是这么认为的，可看完《数学故事》后，我发现，数学是多么有趣啊！这本书的故事精彩，语言通顺易懂，版式生动活泼，把一些理念设计了一个个精彩的小故事，把一些不易理解的知识点放在一个个小故事中，让原先对数学不怎么感冒的我，立马产生了浓浓的兴趣。

　数学是什么？——“数学的本质在于它的自由。”康托尔这样说道。数学是一门艺术，是一门让我们的头脑变得更灵敏的学科，它不仅能让我们尝到知识，而且还能让我们的思维更完美，所以我们应该喜欢数学。所以，我们更不应该把它当做敌人，而是要把它当做朋友，当成一门艺术，只有真正的喜欢数学，真正的爱上数学，我们才能把数学学好。

　《数学故事》就是这样一本书，它会带领我们走进一个神奇的世界，它会让我们爱上数学，打开它，我们就会打开数学知识的大门。

《数学故事》读后感400字4

　这个暑假中 ，我读了一本书，名叫《不一样的数学故事》。

　这本书里讲述的是一位从外星球来的“怪怪老师”和班里的同学的数学故事。其中，有又淘气又喜欢恶作剧的皮豆；有乖巧漂亮的蜜蜜；有霸气外露的班长女王；有俊朗帅气的十一；还有天才儿童博多；以及一只怪怪老师从外星球带来的一只流浪狗，叫乌鲁鲁。

　怪怪老师的教学方法很奇特，因为怪怪老师有魔法。在第一课“ 四舍五入”的时候，怪怪老师把同学带到了一扇神奇的门前，这时候，同学们犯难了，因为52约等于50，那么必须有2个人留下，可是留下谁呢？这时候，女王想到了一个好办法把：乌鲁鲁叫来，让他分身成两个，在加上怪怪老师，正好55个人按照四舍五入，全班同学都可以进去了。还有怪怪老师让画平行线，皮豆和十一一组，结果画到了古代，成了交。还有用生命在搞鬼的怪怪老师将同学们变成棋子来教授乘法交换定侓。在悬空山上与小数点大战一场之后，又拿起尺子给楼房量体裁衣，还掉进了温度计里感受正负温度的变化······

　我很喜欢这本书，因为它寓教于乐，不但让我读了一些由重点要点编成的小故事，还让我学习了知识，让我觉得学习更加简单了。

《数学故事》读后感400字5

　《数学故事专辑》的作者李毓佩教授巧妙地利用了童话与数学相结合的形式，让我们既增加了语文的好词好句，又提高了数学的思维能力，使抽象变成形象，让内容更生动地展现在儿童的面前，让数学这门枯燥无味的学科知识显得更通俗易懂，使儿童们爱不释手。

　数字专辑一共有6本，其中《荒岛历险》是我最喜欢读的一本书。在这本书中，中国代表队准备去和美国华盛顿参加竞赛，罗克和队员们乘上了飞机，可是很不幸，飞机在途中坠毁了。但是，罗克并没有死，他被岛上的居民医治好了。岛上有许多没有解开的秘密，如选首领，捉内奸，抵御外敌入侵等等。罗克用自己的聪明才智帮助他们解决了很多数学问题，如选首领用一笔画的原理，捉内奸用十进制方法确定内奸洞口，而抵御外侵是由十进制、九宫格、方程式揭开了外敌团队有多少人，怎么打开房门等问题。最后，罗克在岛上居民的带领下造了一艘船，漂洋过海，终于到了美国华盛顿参加竞赛。

　这个故事告诉我们要懂得感恩帮助过你的人。更要多学数学，因为数学对于我们在学习上、工作上、生活上等都有非常大的帮助。同学们，让我们一起多阅读，多思考，成为小小数学家吧!

《数学故事》读后感400字6

　皮豆他们的班里来了一位怪怪老师，自称是外太空最聪明、最帅的一个种族，不过同学们都不信。他还拥有神奇的能力，比如时空转移、和动物沟通等。

　这本书的第一章主要讲了“质量及质量的单位”。常用的`质量单位有：克、千克和吨。克与千克的进率是1000，即1千克=1000克。千克与吨之间的进率也是1000，即1吨=1000千克。称较轻物品时可用“克”作单位，称重或很重的物品时，用千克和吨作单位。

　第二章主要讲了在单位制中，长度的标准单位是“米”，用符号“m”表示。长度之间的进率是1千米=1000米，1米=10分米，1分米=10厘米，1厘米=10毫米。

　第三章主要讲了当一个也没有时那就是“0”。0乘以任何数都得0。后面还讲了估算是把不是整数的数看成整十整百的数来算，还有加减法叫第一级运算，乘除法叫第二级运算，有两级运算时，先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的等等，还有很多很多知识。

　这本书所讲的内容我们已经学习过，通过书本里怪怪老师的讲课，不但让我复习了学过的知识，还让我在学习数学中产生了浓厚的兴趣，我爱数学！

《数学故事》读后感400字7

　寒假里妈妈送给我了三本书，其中有《不一样的数学故事》这本书，我发现这本书的时候就被这书名给吸引了。我很喜欢这本书。

　这本书的作者是张秀丽，书里写了这几个主要的人物，它们是：怪怪老师，皮豆，蜜蜜，女王，十一和乌鲁鲁。这本书每章都有数学知识。我来给大家说说这本书的主要内容吧！

　这本书讲了怪怪老师回到阿瓦星球充电，皮豆他们还是在数学的世界了遨游，又一次，皮豆是东西是在零食包里发现了一张卡片。上面写着集齐10000张卡片就可以得到宇宙飞船的船票，于是皮豆他们向乌鲁鲁要了40000张，因为他们有四个人。所以要了40000张。第二天他们和乌鲁鲁一起出发前往宇宙飞船，当他们见到宇宙飞船时个个都很兴奋。就在这时乌鲁鲁却在一边大声地叫着说：“这不是真的，这是3D**“。大家一下子就没有了兴奋劲，感觉上当受骗了。

　他们一起回到家打电话给了报社，把工厂骗人的事情和报社的人说了。之后关于工厂骗人的新闻就上了头条。他们虽然是上当受骗了，但是他们却从中学到了计数单位。他们也和怪怪老师学到了四则运算。他们在打假的同时也学到了很多的知识。

　我突然很想很想能成为皮豆他们这样子。这样真好啊！

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　　关于阅读音乐教育书籍的读后感篇一

　最近看了一本《李岚清音乐笔谈》，让我爱不释手。它以经典音乐作品为中心，追溯了从维瓦尔弟到格什温等50位西方音乐大师的人生历程和心灵乐史，凝聚300多年的欧洲经典音乐于笔端，非常得别开生面。

　这是一本普及欧洲经典音乐的通俗读物，它通过对跨越300多年的不同历史时期、不同国家民族、不同风格流派的50位著名作曲家的生平、思想和创作的评述，以及他们各自的一部代表性作品的介绍，在一定程度上，较全面、系统地概括了欧洲经典音乐的面貌。

　李岚清原本是一个中央领导同志，并不是专业从事音乐工作的。这本书就是“一名音乐爱好者为广大音乐爱好者写的书”(李岚清语)。它的的最明显的优点，那就是不过分专业和过分生僻，而是言简意明，通俗易懂，读起来十分流畅。当然，接触欧洲经典音乐，必然要遇到若干无法回避的专业术语或概念，对此，书末特别附录了“音乐常识与名词解释”栏目，供读者查阅，解除疑难。李岚清原本是一位的领导者，其知识、经验、视野必然不同一般，现在以一名普通人的身份与人们平等谈心，使人倍感亲切，因此也更有吸引力。

　作者从自己上小学时因为“贝多芬与盲女”的故事而爱上音乐这一切身体会，在写作中尤其注重通过生动的故事来引导读者的兴趣。书中的音乐家生平介绍和作品解读化为情节曲折的美丽故事娓娓道来，沁人心脾;高深难懂的阳春白雪变得兴味盎然，让人豁然开朗。像交响曲《告别》，因乐手们渴望休假，海顿灵机一动，一个寓意明显的“告别”乐章诞生，海顿的幽默个性也跃然纸上。肖邦的《雨滴》，是在某个等待乔治·桑归来的夜晚，静听窗外梧桐更兼细雨，滴滴思念，在琴键上化为乐史流芳的经典，也成了忧郁肖邦的最佳诠释。面对故友的画作，穆索尔斯基在钢琴上倾诉着不尽的思念，于是名曲《图画展览会》降临人世。对照意境，读析乐曲，作品中乐器声部的变化、持续雨滴的模拟、信步画廊的主题无一不是洋洋盈耳，经久难忘。

　加强美育，以美引善，以美启真，以美怡情。本书奏响了西方经典音乐的瑰丽乐章，引导着知识分子和大学生畅游乐海，共同构建华夏礼乐文明的和谐社会。

关于阅读音乐教育书籍的读后感篇二

　《音乐教育》一个综合性音乐刊物,所涉及内容包括音乐教育、音乐理论、音乐作品、音乐史料、音乐技术、音乐评论、学术交流、答疑解惑等多方面的内容，音乐教育读后感。

　《音乐教育》中刊登大部分国外音乐教育理论都是在原著发表后不久就被中国音乐学家译介的,这些文章开阔了我们音乐教育工作者的专业视野,对我的教学工作和教学理念产生了积极的影响;而刊载的学术研究文章和对某一“主题”所展开的讨论性文章,则对我的音乐理论与音乐研究的提高起到了一定的积极作用。

　通过阅读《中小学音乐教育》,使我对新课程背景下音乐教学论的理论观点又有了新的认识，同时结合自己的教学实际也明白了许多，下面谈谈自己读后所想到的点滴感悟。

　以学生为主体，让学生生动活泼地、主动地得到发展，是素质则其人教育的灵魂。兴趣是学习的情感因素，参与是学习的行动因素”。兴趣是参与的“向导”，参与是吹遍兴趣之花的春风。在音乐课堂教学中，把握好兴趣和参与这一对孪生的姐妹，其实质就是要确立好学生在课堂学习中的“主体”地位。

　一、激发兴趣，引导参与。

　一节课的教学效果与学生的心理状态有着密切的联系。生动有趣，引人入胜的教学，既能激发学生学习热情和求知兴趣，也能促进学生深入思考，使学生自始至终以积极、主动的态度和旺盛的精力参与活动。兴趣能集中学生的注意力，能推动学生不懈地学习。在音乐教学中，激发兴趣的导入方法很多，故事法、游戏法、情境法、讨论法、投影法等等，但根据所教的内容做到新颖别致，丰富多彩，运用得好会使学生产生获取知识的兴奋状态。发声练习是音乐课堂教学过程中的首要环节，读后感《音乐教育读后感》。 “开场”的好坏，往往会对学生的后继学习产生积极和消极的影响。

　二、诱发感受、调动参与。

　从目前音乐教学现状看，大多数老师都已注意课堂上培养学生的自主能力。但个别还存在着“满堂灌”的现象，这样学生处与机械接受理解的地位，体会不到参与之乐，思维之趣，成功之悦。视唱教学一直是音乐教学的一个薄弱环节，在进行视唱练习时，以往的做法是：教学生认清唱名，视唱前就做一些辅助性的节奏练习等。

　如介绍歌谱的旋律特点，该注意的某些音乐符号，歌曲中重难点拎出来做预备视唱练习，反复练习直到“学会”。这样做的优点是学生对于歌谱的认识和音乐理论知识由陌生和困难逐步了解学会，弊端是学生由于预先知道了教学中的重点，课堂气氛很不活跃，甚至没有兴趣，建议教师在教学中尝试引导学生提高发现问题、解决问题的能力。

　三、及时评价，积极参与。

　音乐教学中重视对学生学习的评价是激励不同层次学生学习的催化剂。对素质好的学生，因为它们的成功率比较高、自信心比较强，评价他们的'学习可以严格一点，有利于促进他们更加勤奋，对于素质较差的学要捕捉他们的闪光点，如个别五音不全的学生，他歌唱得不好，但吹口琴、吹竖笛、敲打击乐比较好，教师应及时的评价“很不错，以后还要多练。”激发了后进生的自信心，促进了后进生的参与意识。在教师的帮助下，使学生们在不同的起跑线上自我完善。

　总之，《音乐教育》以丰富的课堂教学形式表达出来，很好地帮助了我们音乐教师整理教学思想，提升了教育理念，并积极探索与实践的结合，特别注重把教学理论和研究成果运用于实际教学，指导教学工作，同时也注重将教学经验总结上升到理论层面。

　读了此杂志，让我感触很深，留给我思考的也很多，我会继续将读书进行到底，活到老学到老。

关于阅读音乐教育书籍的读后感篇三

　这个暑假利用假期时间好好拜读了由秦德祥、杜磊先生编著的《音乐课堂教学的经典方法》一书。这本书主要介绍了中小学最为常用的达尔克罗兹体态律动教学法、柯达伊教学法、铃木教学法、卡拉博·科恩教学法、综合音乐感课程教学法、奥尔夫教学法六种音乐课堂教学的经典方法。其中，我比较感兴趣的是综合音乐感课程教学法。

　在综合音乐感课程教学法中提及十条规律，让我受益匪浅。例如：当学生盲目地回答问题时，你不要马上接受，而要表示惊讶地反问：“是吗……你能肯定吗……为什么你这么回答……是这样”这些提问的背后是对学生思维的启发以及引导学生去深入探索问题和答案，有效地发掘学生的创造力。

　在以前的课堂教学中，我们往往陷入一个怪圈，喜欢站在传授者的角度去思考课堂，掌控课堂。当学生在课堂上回答问题不能贴近答案的时候，作为年轻老师总是显得着急，容易打断学生，或者刻意去引导学生。虽然这样能把一节课的内容上完 , 却往往忽略了学生的学习思维方式。长此以往，对学生的学习积极性和创造性是一个不小的打击。从这本书中我找到了很多应对这个难题的方法。除了上面的方法，还可以尊重学生的“狂想”培养他们的兴趣和好奇;多给学生鼓励的话，一些信任的拍肩以及一些带有安慰的微笑;永远不能满足自己的教学法和教材，否则就会僵化等等。

　音乐的本质，是一种个性鲜明、创造性品质较高的艺术活动。无论是在音乐创作、音乐表演还是音乐欣赏中，都需要音乐创造力的参与，没有音乐创造力就没有音乐才能的发展。“授人以鱼，不如授人以渔”，我们每一位音乐工作者都应在教学实践中，运用创新的教学理念，不断探索研究新型的教学方法，发展学生的创造性思维，让学生积极自主地接触音乐、参与音乐、创作音乐，培养学生良好的人文素养，为学生终身喜爱音乐、学习音乐、享受音乐奠定良好的基础。

从小学到高中我一直对数学有着浓厚的兴趣，之所以对数学青睐，那是因为在启蒙的时候，就开始感觉到数学离生活很近。很小的时候，家人便会教我认数字；渐渐长大后，自己会用七巧板来搭各种各样的图案；而现在我又踏上了会计这条路，又是跟数字打交道……种种往事都让我跟数学有了不解之缘！而就在我看到了《数学万花镜》这本书后，才发现数学居然有这么多的奥秘有待我去探索！！！

《数学万花镜》不仅告诉我们很多很多的知识，还锻炼我们基本思维的训练。让我们知道如何运用思维，才能使我们更加的开拓视野。这是作者著名数学家胡·施坦豪斯所著的一本独特的介绍数学知识的书。为什么说它独特呢？那是因为这本书是以图形、和模型等为主，以必要的初等的数学说明为辅。生动地讲述了数学各个领域里的事实和问题。有时一些抽象而难以理解的数学理论，通过具体的可以捉摸的实物从而使数学具体化。使大家从实践中学到知识，理解真理！而施坦豪斯教授并不想在书中炫耀他能罗列多少难得住读者的题目，而是直接从初等数学的一些方面挑选题材，然后娓娓道来，旁征博引，让你深刻地感觉到生活中的方方面面都充满了数学。他的话题总是惊人的、奇趣的、令人高兴的，同时也是细致的、有洞察力的，让人情不自禁地重新审视周围的世界，从生活中领悟到真理，让你知道这个习以为常的世界的每一个角落，都有着让人惊奇，有趣的另一面。

《数学万花镜》还告诉了我们什么是数学！数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计量、量度和对物体形状及运动的观察中产生。其实在国外有很多著名的数学家，如牛顿，阿基米德等等，他们就真正的理解了数学，从而拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理。在数学的世界和领域里感到快乐。然而他们为数学界也做了许许多多的贡献。虽然每看完一章是件不容易的事情，但是这本书是这样的有启发性，让我愉快的使用思维：想一想作者叙述的思路，我们就不得不惊叹于作者深厚的数学功底和数学的奇妙深奥。这时我便想起数学家高斯的名言“数学中重要的不是符号，而是概念”。而《数学万花镜》正是让人在潜移默化中认识到这一点的好书！

看了《数学万花镜》让你真正懂得了什么是数学，记得有一位老的法国数学家曾经说过：一种数学理论应该这样清晰，使你能向大街上遇到的第一个人解释它。在此之前，这一数学理论不能被认为是完善的。此地对数学理论所坚持的清晰性和易懂性，我想更以之作为对一个堪称完善的数学问题的要求；因为易于理解的问题吸引着人们的兴趣，而复杂的问题却使我们望而却步。所以人们常说学文科很简单，但是学习理科就没有那么容易了，而数学就有着广大的奥秘，这些奥秘不是一天可以探索出来的。但是这本书却让我们乐在其中，学习本是件枯燥但是又很有意义的事情，怎样才能愉快的去学习呢？在《数学万花镜》的世界里，会让你轻松，快乐的使用你的大脑，开动你的小脑，重新审视你的生活，领悟生活中不平凡而新奇的事情！所以我们只有从现在开始慢慢了解数学，从而喜欢数学，日复一日，年复一年的学习它。我相信秉持着我们热爱数学的心，总有一天我们会征服它的！！！

　　数学与音乐

　　文章来源：《数学通报》

　　在这一轮课程改革中,“数学与文化”成为了数学和数学教育工作者最为关注的问题之一 实际上,在很长一段时间内,许多数学和数学教育工作者已经在思考和研究这个问题, 在即将推行的“高中数学课程标准”中,明确的要求把“数学文化”贯穿高中课程的始终 对于涉及“数学文化”的一系列理论问题,应该承认还没有讨论得很清楚, 还有很多的争论,例如,很多学者对“数学文化”这个说法也有疑义,我们认为这是很正常的 对这些问题的研究,我们建议从两个方面同时进行, 一方面进行理论上的研究;另一方面,积极地开发一些“数学与文化”的实例,案例,课例,探索如何将“数学文化”渗透到课堂教学中,如何让学生从“数学文化”中提高数学素养, 在此基础上再进行一些理论上的思考,从实践到理论,做一些实证研究 下面是我们提供的一个实例 ———数学与音乐,也可以看作一个素材,很希望工作在一线的教师能作进一步的开发,能使这样的素材以不同的形式进入课堂或课外活动我们也希望有更多的人来开发这样的素材, 并希望这些素材能出现在教材中

　　在数学课程标准的研制过程中,我们结识了一些音乐界的专家,他们给我们讲述了很多音乐和数学的联系,数学在音乐中的应用,他们特别强调,在计算机和信息技术飞速发展的今天,音乐和数学的联系更加密切, 在音乐理论、音乐作曲、音乐合成、电子音乐制作等等方面, 都需要数学 他们还告诉我们,在音乐界,有一些数学素养很好的音乐家为音乐的发展做出了重要的贡献 他们和我们都希望有志于音乐事业的同学们学好数学,因为在将来的音乐事业中,数学将起着非常重要的作用

　　《梁祝》优美动听的旋律《,十面埋伏》的铮铮琵琶声,贝多芬令人激动的交响曲, 田野中昆虫啁啾的鸣叫 ……当沉浸在这些美妙的音乐中时,你是否想到了它们与数学有着密切的联系

　　其实,人们对数学与音乐之间联系的研究和认识可以说源远流长 这最早可以追溯到公元前六世纪,当时毕达哥拉斯学派用比率将数学与音乐联系起来[1] 他们不仅认识到所拨琴弦产生的声音与琴弦的长度有着密切的关系,从而发现了和声与整数之间的关系,而且还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的 于是,毕达哥拉斯音阶(thePythagorean Scale) 和调音理论诞生了 , 而且在西方音乐界占据了统治地位 虽然托勒密(C Ptolemy ,约100 —165 年) 对毕达哥拉斯音阶的缺点进行了改造 ,得出了较为理想的纯律音阶(the Just Scale) 及相应的调音理论 ,但是毕达哥拉斯音阶和调音理论的这种统治地位直到十二平均律音阶(the temperedScale) 及相应的调音理论出现才被彻底动摇 在我国,最早产生的完备的律学理论是三分损益律, 时间大约在春秋中期《管子地员篇》和《吕氏春秋音律篇》中分别有述;明代朱载 (1536 - 1610) 在其音乐著作《律学新说》对十二平均律的计算方法作了概述,在《律吕精义 内篇》中对十二平均律理论作了论述,并把十二平均律计算的十分精确, 与当今的十二平均律完全相同, 这在世界上属于首次由此可见,在古代,音乐的发展就与数学紧密地联系在了一起 从那时起到现在, 随着数学和音乐的不断发展,人们对它们之间关系的理解和认识也在不断地加深感觉的音乐中处处闪现着理性的数学乐谱的书写离不开数学

　　看一下乐器之王 ———钢琴的键盘吧,其上也恰好与斐波那契数列有关 我们知道在钢琴的键盘上,从一个 C 键到下一个 C 键就是音乐中的一个八度音程(如图1) 其中共包括13 个键,有8 个白键和5 个黑键 ,而 5 个黑键分成 2 组 ,一组有 2 个黑键 ,一组有 3 个黑键2、3、5、8、13 恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数

　　如果说斐波那契数在钢琴键上的出现是一种巧合, 那么等比数列在音乐中的出现就决非偶然了: 1、2、3、4、5、6、7、i等音阶就是利用等比数列规定的 再来看图1,显然这个八度音程被黑键和白键分成了12个半音,并且我们知道下一个 C键发出乐音的振动次数(即频率) 是第一个 C 键振动次数的 2倍,因为用2 来分割,所以这个划分是按照等比数列而作出的 我们容易求出分割比 x ,显然 x 满足 x12= 2 ,解这个方程可得 x 是个无理数 , 大约是 1106于是我们说某个半音的音高是那个音的音高的1106 倍 ,而全音的音高是那个音的音高 11062 倍 实际上,在吉它中也存在着同样的等比数列[3]

　　音乐中的数学变换

　　数学中存在着平移变换,音乐中是否也存在着平移变换呢 我们可以通过两个音乐小节[2]来寻找答案 显然可以把第一个小节中的音符平移到第二个小节中去,就出现了音乐中的平移, 这实际上就是音乐中的反复 把两个音节移到直角坐标系中,那么就表现为图 3 显然,这正是数学中的平移 我们知道作曲者创作音乐作品的目的在于想淋漓尽致地抒发自己内心情感,可是内心情感的抒发是通过整个乐曲来表达的,并在主题处得到升华,而音乐的主题有时正是以某种形式的反复出现的 比如, 图 4 就是西方乐曲 When the Saints GoMarching In 的主题[2] ,显然 ,这首乐曲的主题就可以看作是通过平移得到的

　　如果我们把五线谱中的一条适当的横线作为时间轴(横轴 x) ,与时间轴垂直的直线作为音高轴(纵轴y) ,那么我们就在五线谱中建立了时间 - 音高的平面直角坐标系 于是, 图 4 中一系列的反复或者平移,就可以用函数近似地表示出来[2] , 如图 5 所示,其中 x 是时间, y 是音高 当然我们也可以在时间音高的平面直角坐标系中用函数把图2中的两个音节近似地表示出来

　　在这里我们需要提及十九世纪的一位著名的数学家,他就是约瑟夫傅里叶 (Joseph Fourier) ,正是他的努力使人们对乐声性质的认识达到了顶峰 他证明了所有的乐声, 不管是器乐还是声乐, 都可以用数学式来表达和描述,而且证明了这些数学式是简单的周期正弦函数的和[1]

　　音乐中不仅仅只出现平移变换,可能会出现其他的变换及其组合,比如反射变换等等 图6 的两个音节就是音乐中的反射变换[2] 如果我们仍从数学的角度来考虑,把这些音符放进坐标系中, 那么它在数学中的表现就是我们常见的反射变换,如图 7所示 同样我们也可以在时间 - 音高直角坐标系中把这两个音节用函数近似地表示出来

　　通过以上分析可知,一首乐曲就有可能是对一些基本曲段进行各种数学变换的结果

　　大自然音乐中的数学

　　大自然中的音乐与数学的联系更加神奇,通常不为大家所知 例如[2] , 蟋蟀鸣叫可以说是大自然之音乐,殊不知蟋蟀鸣叫的频率与气温有着很大的关系,我们可以用一个一次函数来表示:C = 4 t – 160。其中 C代表蟋蟀每分钟叫的次数, t 代表温度按照这一公式,我们只要知道蟋蟀每分钟叫的次数,不用温度计就可以知道天气的温度了!

　　理性的数学中也存在着感性的音乐

　　由一段三角函数图像出发,我们只要对它进行适当的分段,形成适当的小节, 并在曲线上选取适当的点作为音符的位置所在,那么就可以作出一节节的乐曲 由此可见,我们不仅能像匈牙利作曲家贝拉 巴托克那样利用黄金分割来作曲,而且也可以从纯粹的函数图像出发来作曲 这正是数学家约瑟夫傅里叶的后继工作,也是其工作的逆过程 其中最典型的代表人物就是20 世纪20 年代的哥伦比亚大学的数学和音乐教授约瑟夫 希林格(JosephSchillinger) ,他曾经把纽约时报的一条起伏不定的商务曲线描述在坐标纸上,然后把这条曲线的各个基本段按照适当的、和谐的比例和间隔转变为乐曲,最后在乐器上进行演奏, 结果发现这竟然是一首曲调优美、与巴赫的音乐作品极为相似的乐曲[2] !这位教授甚至认为,根据一套准则,所有的音乐杰作都可以转变为数学公式 他的学生乔治 格什温(George Gershwin) 更是推陈出新, 创建了一套用数学作曲的系统, 据说著名歌剧《波吉与贝丝》(Porgy and Bess) 就是他使用这样的一套系统创作的

　　因而我们说, 音乐中出现数学、数学中存在音乐并不是一种偶然,而是数学和音乐融和贯通于一体的一种体现 我们知道音乐通过演奏出一串串音符而把人的喜怒哀乐或对大自然、人生的态度等表现出来,即音乐抒发人们的情感, 是对人们自己内心世界的反映和对客观世界的感触,因而它是用来描述客观世界的,只不过是以一种感性的或者说是更具有个人主体色彩的方式来进行 而数学是以一种理性的、抽象的方式来描述世界,使人类对世界有一个客观的、科学的理解和认识, 并通过一些简洁、优美、和谐的公式来表现大自然 因此可以说数学和音乐都是用来描述世界的,只是描述方式有所不同,但最终目的都是为人类更好地生存和发展服务,于是它们之间存在着内在的联系应该是一件自然而然的事

　　既然数学与音乐有如此美妙的联系,为何不让我们沉浸在《梁祝》优美动听的旋律中或置身于昆虫啁啾鸣叫的田野里静下心来思考数学与音乐的内在联系呢 为何不让我们在铮铮琵琶声中或令人激动的交响曲中充满信心地对它们的内在联系继续探索呢

　　上面,我们提供了一些数学与音乐联系的素材,如何将这些素材“加工”成为“数学教育”的内容呢我们提出几个问题仅供教材编写者和在一线工作的教师思考

　　1) 如何将这样的素材经过加工渗透到数学教学和数学教材中

　　2) 能否把这些素材编写成为“科普报告”, 在课外活动中,向音乐和数学爱好者报告,调查,了解,思考这样的报告对学生的影响以及学生对这样的报告的反映

　　若干世纪以来，音乐和数学一直被联系在一起。在中世纪时期，算术、几何、天文和音乐都包括在教育课程之中。今天的新式计算机正在使这条纽带绵延不断。

　　乐谱的书写是表现数学对音乐的影响的第一个显著的领域。在乐稿上，我们看到速度、节拍（4／4拍、3／4拍，等等）、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符，等等。书写乐谱时确定每小节内的某分音符数，与求公分母的过程相似——不同长度的音符必须与某一节拍所规定的小节相适应。作曲家创作的音乐是在书写出的乐谱的严密结构中非常美丽而又毫不费力地融为一体的。如果将一件完成了的作品加以分析，可见每一小节都使用不同长度的音符构成规定的拍数。

　　除了数学与乐谱的明显关系外，音乐还与比率、指数曲线、周期函数和计算机科学相联系。

　　毕达哥拉斯学派（公元前585～前400）是最先用比率将音乐与数学联系起来的。他们认识到拨动琴弦所产生的声音与琴弦长度有关，从而发现了和声与整数的关系。他们还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的——事实上被拨弦的每一和谐组合可表示成整数比。按整数比增加弦的长度，能产生整个音阶。例如，从产生音符C的弦开始，C的16／15长度给出B，C的6／5长度给出A，C的4／3长度给出G，C的3／2长度给出F，C的8／5长度给出E，C的16／9长度给出D，C的2／1长度给出低音C。

　　你是否曾对大型钢琴为何制作成那种形状表示过疑问？实际上许多乐器的形状和结构与各种数学概念有关。指数函数和指数曲线就是这样的概念。指数曲线由具有y＝kx形式的方程描述，式中k＞0。一个例子是y＝2x。它的坐标图如下。

　　不管是弦乐器还是由空气柱发声的管乐器，它们的结构都反映出一条指数曲线的形状。

　　19世纪数学家约翰·傅里叶的工作使乐声性质的研究达到顶点。他证明所有乐声——器乐和声乐——都可用数学式来描述，这些数学式是简单的周期正弦函数的和。每一个声音有三个性质，即音高、音量和音质，将它与其他乐声区别开来。

　　傅里叶的发现使声音的这三个性质可以在图形上清楚地表示出来。音高与曲线的频率有关，音量和音质分别与周期函数①的振幅和形状有关。

　　如果不了解音乐的数学，在计算机对于音乐创作和乐器设计的应用方面就不可能有进展。数学发现，具体地说即周期函数，在乐器的现代设计和声控计算机的设计方面是必不可少的。许多乐器制造者把他们的产品的周期声音曲线与这些乐器的理想曲线相比较。电子音乐复制的保真度也与周期曲线密切相关。音乐家和数学家将继续在音乐的产生和复制方面发挥同等重要的作用。

　　上图表示一根弦的分段振动和整体振动。最长的振动决定音高，较小的振动则产生泛音。

　　①周期函数即以等长区间重复着形状的函数。