有一个著名的希波克拉蒂月牙问题

（1）方法：把半圆当成一个整圆算面积，然后÷2，就是半圆

SAB=πr2=π×5×5÷2=25/2π=3925(cm2)

SAC=πr2=π×3×3÷2=9/2π =1413(cm2)

SBC=πr2=π×4×4÷2=16/2π=2512(cm2)

以直角三角形两直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙（希波克拉底月牙）面积的和等于该直角三角形的面积。这个定理叫作希波克拉底的“月牙定理”（Hippocrate's Theorem）。

编辑本段推理

题1

　　以AB为直径作一半圆，取弧AB一点C，分别以AC、CB为直径作半圆，两个半圆与大的半圆的不重合部分即为新月　因为直径所对圆周角为直角，三角形ABC为直角三角形， 由勾股定理AC^2+BC^2=AB^2 S(AC)=(1/2)πAC^2; S(BC)=(1/2)πBC^2; S(AB)=(1/2)πAB^2 所以S(AC)+S(BC)=S(AB) 两边同减去公共部分即得新月部分面积和等于直角三角形的面积 其中S(AC)表示以AC为直径的半圆面积，依此类推例题有一个著名的希波克拉蒂月牙问题如图：以AB为直径作半圆，C是圆弧上一点，（不与A、B重合），以AC、BC为直径分别作半圆，围成两个月牙形1、2（阴影部分）已知直径AC为4,直径BC为3,直径AB为5 （1）分别求出三个半圆的面积； （2）请你猜测：这两个月牙形的面积与三角形ABC的面积之间有何等量关系

解答

　　1）2525314\2=98125(直径5的) 1515314\2=35325（直径3的） 22314\2=628（直径4的）（2）面积是一样的，都是6

1AB为半径S=3125π

AC为半径S=2π

BC为半径S=1125π

2S=π/4(ABCOS<ACB)-(ACABSIN<ACB)/2

（1）SAB=

1

2

×52×π

=

1

2

×25×314

=3925（cm2）

SAC=

1

2

×32×π

=

1

2

×9×314

=1413（cm2）

SBC=

1

2

×42×314

=

1

2

×16×314

=2512（cm2）

（2）相等．

S月牙=SAC+SBC+S△ABC-SAB=S△ABC

答：这两个月牙形（阴影部分）的面积与三角形ABC的面积相等．

（1）半圆面积pirr/2

3，4，5 半径的半圆面积分别为 9pi/2，8pi，25pi/2

（2）

由勾股定理可知AB^2=AC^2+CB^2

这就非常容易得到

以AB为直径的半圆面积=以AC为直径的半圆面积+以CB为直径的半圆面积 -------1

三角形ABC面积=以AB为直径的半圆面积-两个空白面积 --------2

月牙1面积=以AC为直径的半圆面积-大空白面积 --------3

月牙2面积=以CB为直径的半圆面积-小空白面积 --------4

由以上四个等式得到

三角形ABC面积=月牙1面积+月牙2面积