什么是弯曲应力？

弯曲应力（bending stress）系指法向应力的变化，分量沿厚度上的变化可以是线性的，也可是非线性的。其最大值发生在壁厚的表面处，设计时一般取最大值进行强度校核。壁厚的表面达到屈服后，仍能继续提高承载能力，但表面应力不再增加，屈服层由表面向中间扩展。所以在压力容器中，弯曲应力的危害性要小于相同数值的薄瞋应力（应力沿壁厚均布）。

在载荷作用下，梁横截面上一般同时存在剪力和弯矩。由切应力τ构成剪力，由正应力σ构成弯矩，如图1所示。由正应力与切应力引起的弯矩分别称为弯曲正应力与弯曲切应力。

推导纯弯曲梁横截面的正应力公式，与推导扭转切应力公式相似，也需要从变形几何关系、物理关系和静力学三方面来考虑。 [2]

变形几何关系

纯弯曲时梁的纵向“纤维”由直线变为圆弧，相距 的两横截面1'－1'和2'－2'绕中性轴发生相对转动，如图2所示。横截面1'－1'和2'－2'延长相交于O点，O点即为中性层的曲率中心。设中性层的曲率半径为ρ，此两横截面夹角为 ，则距中性层为y处纵向“纤维”ab的正应变为

图2

图2

实际上，由于距中性层等远各纵向“纤维”的变形相同，所以，上述正应变ε即代表距中性层为y的任一纵向“纤维”的正应变。

物理关系

根据纵向纤维假设，各纵向”纤维”处于单向拉伸或压缩状态，因此，当正应力不超过材料的比例极限时，胡克定律成立，由此得横截面上距中性层y处的正应力为

该式就是梁纯弯曲时横截面上的正应力分布规律。由此式可知，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比，距中性轴等远的同一横线上的各点处的正应力相等，中性轴各点处的正应力均为零。

静力学关系

图3

图3

上面虽已得到正应力分布规律，但还不能用所给公式直接计算梁纯弯曲时横截面上的正应力。至此有两个问题尚未解决：一是中性层的曲率半径ρ仍未知；二是中性轴位置未知，故式中之y还无从确定。解决这两个问题，需要借助于静力学关系。

令横截面纵向对称轴为y轴，中性轴为x轴，梁轴线为x轴，在坐标（y，a）处取一微面积dA，法向微内力为ρdA（图3），横截面各微面积上的法向微内力ρdA组成一空间平行力系，而且横截面上不存在轴力，仅存在位于x－y平面内的弯矩M，因此

得：

由于 ≠0，故

式中左边的积分代表横截面对z轴的静矩 。只有当z轴通过横截面形心时，静矩 才为零。由此可见，中性轴通过横截面形心。

可得：

此式为用曲率表示的弯曲变形公式。公式中 代表横截面对z轴的惯性矩。

由推出的公式易得纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式为：

此式为弯曲正应力的一般公式。

弯曲正应力公式的应用范围编辑

弯曲正应力公式是在纯弯曲情况下推导的。当梁受到横向力作用时，在横截面上，一般既有弯矩又有剪力，这种弯曲称为横力弯曲。由于剪力的存在，在横截面上将存在切应力τ，从而存在切应变γ=τ/G。由于切应力沿梁截面高度变化，故切应变γ沿梁截面高度也是非均匀的。因此，横力弯曲时，变形后的梁截面不再保持平面而发生翘曲，如图4中的1-1截面变形后成为1'-1'截面。既然如此，以平面假设为基础推导的弯曲正应力公式，在横力弯曲时就不能适用。但是，如果两截面间没有载荷作用时，则两截面的剪力相同，其翘曲程度也相同，由弯矩所引起的纵向纤维的线应变将不受剪力的影响，所以弯曲正应力公式仍然适用。当梁承受分布载荷作用时，两截面上的剪力不同，因而翘曲程度也不相同，而且，此时纵向纤维还受到分布载荷的挤压或拉伸作用，但精确分析表明，如果梁长l与梁高h相比足够大时，这种翘曲对弯曲正应力的影响很小，应用公式计算弯曲正应力仍然是相当精确的。

综上所述，对于各横截面剪力相同的梁和各横截面剪力不相同的细长梁，在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式仍然适用。

纯弯曲梁的正应力沿梁高呈线性分布，上下最大，如果是两端向下弯曲，则中间截面的应力分布为：最上面是最大拉应力，最下面是最大压应力，中性层处为0（注意中性层不一定在“中间”，其位置与材料的抗拉强度和抗压强度相关，当两都相等时，中性层在“中间”），没有剪应力。

弯矩是构件截面上产生的荷载效应。

当构件受到弯曲时，凸边曲线长，凹边曲线短，说明凸边被拉伸而凹边被压缩，证明在正截面的法向上，凸边受到了拉伸的正应力；而凹边受到了压缩的正应力。正是这些大小相同方向相反的正应力组成了力偶矩来抵抗弯曲外力（即弯矩）。