关于用极坐标求二重积分问题，求解答

1二重积分的区域是圆域x^2+y^2《2Rx。而你写的是圆周的（参数）方程，是积分区域的边界；

2原式的被积函数是二元函数，有2个变量x,y,你变换成了一元函数，肯定错了；

3教上是以（0,0）点为极坐标原点，若以其他点为原点怎么求：只要再来个坐标平移就行了！（但是没必要），坐标平移后的面积元素是不变的

4我认为你是参数方程和极坐标混淆了。

I=[∫e^(-x^2)dx][∫e^(-y^2)dy]

=∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy

转化成极坐标

=[∫(0-2π)da][∫(0-+无穷）e^(-p^2)pdp]

=2π[(-1/2)e^(-p^2)|(0-+无穷)]

=2π1/2

=π

∫e^(-x^2)dx=I^(1/2)=√π

扩展资料：

性质

通常意义

积分都满足一些基本的性质。以下的

 在黎曼积分意义上表示一个区间，在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。

线性

积分是线性的。如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。

所有在  上可积的函数构成了一个线性空间。黎曼积分的意义上，所有区间[a,b]上黎曼可积的函数f和g都满足：

所有在可测集合  上勒贝格可积的函数f和g都满足：

在积分区域上，积分有可加性。黎曼积分意义上，如果一个函数f在某区间上黎曼可积，那么对于区间内的三个实数a, b, c，有

如果函数f在两个不相交的可测集  和  上勒贝格可积，那么

如果函数f勒贝格可积，那么对任意  ，都存在  ，使得  中任意的元素A，只要  

，就有

参考资料：

先画图，圆心在x轴上，过原点，圆在y轴右侧，且与y轴相切，所以θ的范围是：-π/2≤θ≤π/2

圆的极坐标方程是ρ＝2acosθ，从极点出发作射线，与圆的交点一个是原点，另一个交点的ρ坐标是2acosθ，所以ρ的范围是：0≤ρ≤2acosθ

先确定积分区域，为y=√3x，y=x和x=1围成，对应在极坐标中，由θ=π/4，θ=π/3，r=1/cosθ围成。

换极坐标，I=∬1/r·rdrdθ=∬drdθ=∫(π/4→π/3)dθ∫(0→1/cosθ)dr=∫(π/4→π/3)secθdθ=ln(secθ+tanθ)|(π/4→π/3)=ln[(2+√3)/(1+√2)]

极坐标下二重积分的计算方法如下：

极坐标下的二重积分是 x^2+y^2，特别是含有它们的分数方次的情况。例如以下两种情形通常的二重积分使用极坐标计算：

积分区域D与圆有关（可以是部分圆域，例如圆周与直线所围成的区域）。被积函数f（x，y）中含有形如x²+y²，xy，y/x，x/y的式子。

若1、2同时满足，则必定要采用极坐标计算，但如果仅满足其中一个，特别是1不满足时，有时用直角坐标计算反而更方便。

二重积分几何意义：

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

例如二重积分，其中，表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积。 

数值意义：

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

如函数，其积分区域D是由所围成的区域。其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。 

故这个函数的具体表达式为：f（x，y）=xy+1/8，等式的右边就是二重积分数值为A，而等式最左边根据性质5，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。 

很明显，积分区域为y=x^2与y=1所围成的区域

另x=rcosθ，y=rsinθ，其中0≤θ≤π

0≤θ≤π/4，或3π/4≤θ≤π过原点，倾角为θ的直线方程为y=xtanθ，与y=x^2联立，得到交点的坐标为[tanθ，(tanθ)^2]，则边界曲线上的点到原点的距离为|tanθ|·√[1+(tanθ)^2]=|tanθ·secθ|=sinθ/(cosθ)^2

所以此时转换为极坐标的积分为

π/4<θ<3π/4时，边界曲线上的点，纵坐标恒为1，则到原点的距离为1/sinθ

所以此时转换为极坐标的积分为

注意，极坐标与直角坐标的关系有：x=rcosθ，y=rsinθ，rr=xx+yy★

图中第一个圆的直角坐标方程是：xx+yy=2x，把 rr=xx+yy 以及 x=rcosθ 代入其中，就得到

图中第一个圆的极坐标方程是：r=2cosθ。也就是说，

r的变化范围是从原点0开始，最后变到圆的边界 r=2cosθ。

图中第二个圆的直角坐标方程是：xx+yy=1，把 rr=xx+yy 代入其中，就得到

图中第二个圆的极坐标方程是：r=1。也就是说，

r的变化范围是从原点0开始，最后变到圆的边界 r=1。

对于r怎么定限？什么时候带着θ，什么时候不带？

这个问题可以通过上述两个具体问题的解答来学习，学会，

把“直角坐标方程化为极坐标方程”，方法就是利用极坐标与直角坐标的关系★。

化成极坐标方程r=r（θ）▲之后，那么，是否带θ就取决于▲中是否含有θ。

对于这个问题的理解：

r 是积分区域中的点到原点的距离，

很明显，

中的第一个圆，其中的点到原点的距离不是常数，是变的，与角度θ有关，

而中的积分式∫（-∏/2到-∏/2）dθ∫（0到2）r dr●表明，

r的变化范围是从原点0开始，最后变到常数 r=2，

又，θ的变化范围是-∏/2到-∏/2，所以，积分式●表示的图形是

其中的点到原点的距离是常数2，与角度θ无关。

二重积分经常把直角坐标转化为极坐标形式主要公式有x=ρcosθ y=ρsinθ x^2+y^2=ρ^2 dxdy=ρdρdθ；极点是原来直角坐标的原点以下是求ρ和θ范围的方法：

一般转换极坐标是因为有x^2+y^2存在,转换后计算方便题目中会给一个x,y的限定范围，一般是个圆将x=ρcosθ y=ρsinθ代进去可以得到一个关于ρ的等式；

就是ρ的最大值 而ρ的最小值一直是0过原点作该圆的切线,切线与x轴夹角为θ范围如：x^2+y^2=2x 所以(ρcosθ)^2+(ρsinθ)^2=2ρcosθ ρ=2cosθ ；此时0≤ρ≤2cosθ 切线为x=0 所以 -2/π≤θ≤2/π

扩展资料：

在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。

为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D。

-二重积分