3道关于椭圆方程几何意义的题目

1a=5,b=4,c=3

e=c/a=3/5

由椭圆的第二定义:3/d=e=3/5

所以d=5

2由椭圆的第二定义知:点P的轨迹为以F为一个焦点,以直线x=8为对应准线,

且离心率为1/2的椭圆

所以c=2,a^2/c=8

所以a^2=16,b^2=12

点P轨迹方程为x^2/16+y^2/12=1

3设M(x,y)

a=13,b=12,c=5

F1(-5,0),F2(5,0)

由点M与椭圆x2/169+y2/144=1的左焦点和右焦点的距离的比为2：3

可得:9[(x+5)^2+y^2]=4[(x-5)^2+y^2]

化简得:x^2+y^2+26x+25=0

即(x+13)^2+y^2=144

解：P(a/4，t)；A(-a，0)；F₁(-c，0)；F₂(c，0)

(1)。向量PA=(-a-a/4，-t)=(-5a/4，-t)；向量PF₂=(c-a/4，-t)；∵PA⊥PF₂，∴有：

PA•PF₂=(-5a/4)(c-a/4)+t²=-(5/4)ac+(5/16)a²+t²=0，于是t²=(5/16)(4ac-a²)(1)

P在椭圆上，因此其坐标满足椭圆方程：1/16+t²/b²=1，即t²=(15/16)b²=(15/16)(a²-c²)(2)

由(1)(2)得4ac-a²=3(a²-c²)，即有4ac=4a²-3c²；两边同除以a²，并注意e=c/a，得4e=4-3e²，

即有3e²+4e-4=(3e-2)(e+2)=0，故得e=2/3

(2)。∵∠APF₁=30º，∴∠AF₁F₂=90º-30º=60º；

∣PF₁∣=a+(1/4)ae=a(1+e/4)=a(1+1/6)=7a/6；

∣PF₂∣=a-(1/4)ae=a(1-e/4)=a(1-1/6)=5a/6；

设PB所在直线的方程为y=k(x+c)=kx+kc，代入椭圆方程得：

b²x²+a²(kx+kc)²-a²b²=(b²+k²a²)x²+2k²a²cx+k²a²c²-a²b²=0

设P(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，其中x₁=a/4；y₁=t=(√15/4)b；

x₁+x₂=-2k²a²c/(b²+k²a²)=-2k²a²c/(a²-c²+k²a²)=-2k²c/(1-e²+k²)=-2k²ae/(1-e²+k²)(3)

其中e=2/3； k=[(√15)/4]b/[(a/4)+c]=(√15)b/(a+4c)=√[15(a²-c²)]/(a+4c)=√[15(1-e²)]/(1+4e)

=√[15(1-4/9)]/(1+8/3)=[(5/3)√3]/(11/3)=(5√3)/11代入(3)得：

x₁+x₂=-4k²a/[(5/3)+3k²]=-12k²a/(5+9k²)=-12(75/121)a/(5+675/121)=-900a/1280=-45a/64

已知x₁=a/4，故x₂=-45a/64-a/4=-61a/64

于是得∣BF₁∣=a+ex₂=a-(61a/64)=3a/64；

故∣AB∣=∣PF₁∣+∣BF₁∣=(7a/6)+3a/64=(224+9)a/192=(233a)/192

S△AF₂B=(1/2)∣AB∣∣PF₂∣sin60º=(1/2)(233a/192)(5a/6)(√3/2)=(35√3)/11

由此解得a²=12256/2563；b²=a²-c²=a²(1-e²)=a²(1-4/9)=(5/9)a²=51280/23067

故椭圆方程为2563x²/12256+23067y²/51280=1

这个题目够讨厌的！

求解方法是对的，但数字运算有没有错？不敢保证

先说一下椭圆第三定义：椭圆上的动点到两定点A1(a,0)、A2(-a,0)的斜率乘积等于常数 e^2- 1

直线AM的斜率为K1，直线MA＇的斜率为K2

那么角AMA＇最大时，∠MAA’＋∠MA’A最小

tan（∠MAA’＋∠MA’A）=［K1＋（－K2）］/［1+K1（-K2）］=［K1＋（-K2）］/(2－e^2）

由基本不等式得当且仅当K1＝－K2时tan（∠MAA’＋∠MA’A）最小

即M为椭圆与y轴交点

之后应该没太大问题了，椭圆越椭，e越大，则最大角AMA‘越大

当∠AMA‘＝120°时

有几何关系知a＝b√3　　＝＞　e＝√6／3

所以e属于［√6／3，1）

解：k=±√2

∵向量AF=3向量FB

∴│AF│=3│BF│

分别过点A,B作AC，BD垂直于准线

设│BF│=a,∴│AF│=3a

∴│BD│=a/e,│AC│=3a/e

过点B作BG垂直于AC

∴AG=3a/e-a/e=2a/e

∴cos∠GAB=│AG│/│AB│

=2a/e/4a=1/2e=√3/3

∴tan∠GAB=√2

∴k=±√2

由已知易得椭圆方程为

3x²/16+y²/4=1

令P(x1,y1)

设直线 PM：yM-y1=k1(x-x1)

则有|k1+y1-k1x1|/√(k²+1)=1

化解得(x1²-2x1)k1²+2(1-x1)k1y1+y1²-1=0………………①

令PN的斜率为k2，同理可得

(x1²-2x1)k2²+2(1-x1)k2y1+y1²-1=0………………②

由伟达定理带入两式解得PM：yN-y1=k1x1,PN:yM-y2=k2x2

则面积

S=1/2|yM-yN|x1

带入①②可得

S=2/(x1-2)-(x1-2)/2

又x1∈[-4√3/3,4√3/3],当x=4√3/3时

Smin=(12+4√3)/3

为了苏维埃的荣耀，不懂再问

(1)设直线方程y=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),直线方程与椭圆方程联立方程组,消去y后关于X的一元二次方程,利用距离公式及根与系数关系可解出|AB|=4/3根号2

(2)设中点(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),直线方程分倾斜角α=π/2及α属于[0,π/2)并(π/2,π)两种情况

后者直线方程y=(x-1)tanα,直线方程与椭圆方程联立方程组,消去y后关于X的一元二次方程,

由根与系数关系及中点坐标公式可得出中点x坐标,代入直线方程得y,两坐标值是关于tanα的参数方程,X取值[0,1),消去参数是椭圆方程,把α=π/2特殊中点验证一下

(3)设AB所在直线方程y=(x-1)tanα,中点M(x0,y0),则线段AB的垂直平分线方程由点斜式写出,把AB所在直线方程与椭圆方程联立,由根与系数关系及中点坐标公式可得出中点x0坐标,代入直线方程得y0,两坐标值是关于tanα的参数方程,再带入AB的垂直平分线方程,令Y=0,可解出X关于tanα的函数,求值域即可

1、椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列

即：2b=a+c(1)

且：c^2+b^2=a^2(2)

把（1）代入（2）

则：c^2+(a^2+2ac+c^2)/4=a^2

整理得：5c^2+2ac-3a^2=0

即：(5c-3a)(a+c)=0

由椭圆得：a+c=0(舍去)

5c-3a=0

因为：e=c/a

因此：e=3/5

2、离心率e=c/a=√2/2

b^2=a^2-c^2=a^2-a^2/2=a^2/2

b=c=a√2/2

tan∠ABF=tan(∠ABO+∠OBF)

=(tan∠ABO+tan∠OBF)/(1-tan∠ABOtan∠OBF)

=(a/b+c/b)

/

(1-a/bc/b)

=(√2+1)/(1-√2)

=-(√2+1)^2

=-3-2√2

懂了吗？

希望能帮到你

O(∩_∩)O~