高二必修数学知识点：排列组合公式

　　排列P------和顺序有关

　组合C-------不牵涉到顺序的问题

　排列分顺序，组合不分

　例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法"排列"

　把5本书分给3个人，有几种分法"组合"

　1．排列及计算公式

　从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示

　p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n！/(n-m)！(规定0！=1)

　2．组合及计算公式

　从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号

　c(n，m)表示

　c(n，m)=p(n，m)/m！=n！/((n-m)！m！)；c(n，m)=c(n，n-m)；

　3．其他排列与组合公式

　从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n，r)/r=n！/r(n-r)！

　n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，nk这n个元素的全排列数为

　n！/(n1！n2！nk！)

　k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m)

　排列（Pnm(n为下标，m为上标)）

　Pnm=n×（n-1）（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n

　组合（Cnm(n为下标，m为上标)）

　Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）=1；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m

　2008-07-0813：30

　公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝987654321

　从N倒数r个，表达式应该为n（n-1)(n-2)(n-r+1)；

　因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r

　举例：

　Q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？

　A1：123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。

　上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988，997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有987个三位数。计算公式＝P（3，9)＝987，(从9倒数3个的乘积）

　Q2：有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？

　A2：213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

　上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3，9)=987/321

　排列、组合的概念和公式典型例题分析

　例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？

　解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．

　（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．

　点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．

　例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？

　解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：

　∴符合题意的不同排法共有9种．

　点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．

　例3判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．

　（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

　（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

　（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

　（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？

　分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．

　（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．

　（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．

　（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．

　（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．

　例4证明．

　证明左式

　右式．

　∴等式成立．

　点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．

　例5化简．

　解法一原式

　解法二原式

　点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．

　例6解方程：（1）；（2）．

　解（1）原方程

　解得．

　（2）原方程可变为

　∵，，

　∴原方程可化为．

　即，解得

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你可以依次从十万位上的个位数上数，数字不能重复，那么十万位上就有九种选法，万位上就有八种选法，千位上有七种选法，百位上有六种选法，十位上有五种选法，个位上只剩下四种选法，就是用9×8×7×6×5×4，等于60480