安徽中考数学试卷2022（安徽中考数学试卷2022最后一题）

今天小编辑给各位分享安徽中考数学试卷2022的知识，其中也会对安徽中考数学试卷2022最后一题分析解答，如果能解决你想了解的问题，关注本站哦。

安徽第一卷，2022年中考安徽名校大联考是多少个学校一起考？

安徽省教育厅发布

《安徽省教育厅关于做好

2022年初中学业水平考试工作的通知》

明确文化课考试

全省统一命题、统一制卷

01

考试命题

考试命题依据各学科课程标准，在全面考查学生基础知识和基本技能的基础上，注重考查学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，引导发展素质教育，体现课程标准中坚持立德树人目标的根本要求。文化课考试全省统一命题、统一制卷。根据《中共中央国务院关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》要求，自2020年起，省教育厅不再制定和发布考试大纲。

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02

考试科目、分值及时间

按照《安徽省教育厅关于进一步推进高中阶段学校考试招生制度改革的实施意见》要求执行，其中英语考试科目总分值中包含听力20分。

语文、数学、外语等科目具体时间安排如表：

音乐、美术等科目考试时间安排在相应课程结束时进行。

体育与健康学科按照《安徽省教育厅关于做好2022年初中学业水平体育与健康学科考试工作的通知》要求执行。实验操作和信息技术学科考试工作分别按照《2022年初中学业水平实验操作考试工作方案》和《2022年初中学业水平信息技术学科考试工作方案》有关要求执行。

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03

考试方式

语文、数学、外语、物理、化学实行纸笔闭卷考试，语文考试允许使用正版学生字典;道德与法治、历史实行纸笔开卷考试，允许携带教科书等相关资料。生物学、地理实行纸笔闭卷考试。各学科考试均不允许使用计算器。

音乐、美术可采取过程性与终结性考查相结合的方式。

外语听力考试免试要求。听力残障学生，在500Hz、1000Hz、2000Hz、4000Hz的纯音听力检测结果为每侧耳的平均听力损失都等于或大于40分贝〈HL〉的情况下，经教育主管部门核准后可免试外语听力。听力免试后外语成绩折算方法为：考生外语考试成绩=考生外语笔试项目成绩×外语总分值与笔试项目分值的比值。听力免试具体申请程序和要求由各市教育局确定。

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_来源：安徽省教育局

_编辑：炫柳

2022全国乙卷理科数学试卷及答案解析

十年寒窗标记的生活刻度难以磨灭,伏案苦读也没法用一句“俱往矣”概括,高考注定将是莘莘学子生活之书里浓墨重彩的章节。下面我为大家带来2022全国乙卷理科数学试卷及答案解析，希望对您有帮助，欢迎参考阅读!

2022全国乙卷理科数学试卷及答案解析

高考数学解题技巧

1、首先是精选题目，做到少而精。只有解决质量高的、有代表性的题目才能达到事半功倍的效果。然而绝大多数的同学还没有辨别、分析题目好坏的能力，这就需要在老师的指导下来选择复习的练习题，以了解高考题的形式、难度。

2、其次是分析题目。解答任何一个数学题目之前，都要先进行分析。相对于比较难的题目，分析更显得尤为重要。我们知道，解决数学问题实际上就是在题目的已知条件和待求结论中架起联系的桥梁，也就是在分析题目中已知与待求之间差异的基础上，化归和消除这些差异。当然在这个过程中也反映出对数学基础知识掌握的熟练程度、理解程度和数学方法的灵活应用能力。例如，许多三角方面的题目都是把角、函数名、结构形式统一后就可以解决问题了，而选择怎样的三角公式也是成败的关键。

3、最后，题目总结。解题不是目的，我们是通过解题来检验我们的学习效果，发现学习中的不足的，以便改进和提高。因此，解题后的总结至关重要，这正是我们学习的大好机会。对于一道完成的题目，有以下几个方面需要总结：

①在知识方面，题目中涉及哪些概念、定理、公式等基础知识，在解题过程中是如何应用这些知识的。②在方法方面：如何入手的，用到了哪些解题方法、技巧，自己是否能够熟练掌握和应用。③能不能把解题过程概括、归纳成几个步骤。④能不能归纳出题目的类型，进而掌握这类题目的解题通法。

高考数学知识点

第一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

第二、平面向量和三角函数。

重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。难度比较小。

第三、数列。

数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

第四、空间向量和立体几何，在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

第五、概率和统计。

这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一等可能的概率，第二事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。

第六、解析几何。

这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括：

第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。考生应该掌握它的通法;

第二类我们所讲的动点问题;

第三类是弦长问题;

第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点;

第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，

当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。

第七、押轴题。

考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。这是高考所考的七大板块核心的考点。

高三数学知识点总结：抽样方法

随机抽样

简介

常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取;

优点：操作简便易行

缺点：总体过大不易实行

方法

抽签法

一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。

随机数法

随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。

分层抽样

简介

分层抽样主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中的个体有明显差异。共同点：每个个体被抽到的概率都相等N/M。

定义

一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样。

整群抽样

定义

什么是整群抽样

整群抽样又称聚类抽样。是将总体中各单位归并成若干个互不交叉、互不重复的集合，称之为群;然后以群为抽样单位抽取样本的一种抽样方式。

应用整群抽样时，要求各群有较好的代表性，即群内各单位的差异要大，群间差异要小。

优缺点

整群抽样的优点是实施方便、节省经费;

整群抽样的缺点是往往由于不同群之间的差异较大，由此而引起的抽样误差往往大于简单随机抽样。

实施步骤

先将总体分为i个群，然后从i个群钟随即抽取若干个群，对这些群内所有个体或单元均进行调查。抽样过程可分为以下几个步骤：

一、确定分群的标注

二、总体分成若干个互不重叠的部分，每个部分为一群。

三、据各样本量，确定应该抽取的群数。

四、采用简单随机抽样或系统抽样方法，从i群中抽取确定的群数。

例如，调查中学生患近视眼的情况，抽某一个班做统计;进行产品检验;每隔8h抽1h生产的全部产品进行检验等。

与分层抽样的区别

整群抽样与分层抽样在形式上有相似之处，但实际上差别很大。

分层抽样要求各层之间的差异很大，层内个体或单元差异小，而整群抽样要求群与群之间的差异比较小，群内个体或单元差异大;

分层抽样的样本是从每个层内抽取若干单元或个体构成，而整群抽样则是要么整群抽取，要么整群不被抽取。

系统抽样

定义

当总体中的个体数较多时，采用简单随机抽样显得较为费事。这时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样。

步骤

一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：

先将总体的N个个体编号。有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等;

确定分段间隔k，对编号进行分段。当N/n是整数时，取k=N/n;

在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号l;

按照一定的规则抽取样本。通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号，再加k得到第3个个体编号，依次进行下去，直到获取整个样本。

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2022年中考试题难不难？难在哪儿了？

中考不像高考，由各地自行命题，自行安排考试时间，所以各地中考试题的难易程度和考试时间并不一致。截止目前，有的地方的中考已经结束，从考生的反应情况来看，今年的中考试题和往年相比，似乎是有点难了。

比如有的地方的中考历史试题，好多考生反映比去年难多了。有的地方的中考数学试题也是挺有难度的。总而言之，就像今年的高考数学试题一样，总觉得太难，好多题目普通学生是难以拿到分数的，想要考出高分真的不容易。

昨天碰到刚刚参加完中考的亲戚的孩子，据他说，今年的中考试题好多题型和自己平时刷题训练的题型大不一样了，在考场上忽然觉得自己好像没学到什么知识，死记硬背下来的那些东西也好像不怎么管用了。不光是这一个孩子有这样的感觉，我问了好几个参加中考的孩子，他们都有这样的感觉。

不过有的网友却认为，中考试题的难易程度，就要看对谁而言了，好多考生都觉着数学题实在是太难了，不容易拿到高分，150分的满分，考个七八十分就已经不错了。可是你去查一下，140分以上成绩的考生一大堆一大堆的，对这些考生来说，中考试题真的难了吗？

所以说，各地的中考试题难不难，就看对哪些考生来说了。对那些学霸而言，智商高，学法活，反应快，成绩好，再难的试题都不觉着难，对普通考生而言，可就真的有点难了。那么中考试题变难，到底难在哪儿了？

其实去年高考就已经变脸了，风向标就已经很明确了。考试题目变活了，主要考查考生对知识的迁移运用能力、综合运用能力，而不是死记硬背的功夫，不是机械刷题的功夫。中考也不例外，考试试题灵活多变，单纯地依靠死记硬背和机械刷题根本应对不了。

因此，中考试题变难并不是真正地变难了，而是变得越来越活了，你无法按照死记硬背的知识点和学习过的题型去直接答题了，而是需要你结合学习过的知识点，触类旁通，迁移运用，综合分析，灵活变通，解决问题。

总而言之，本人觉得，近年来的中考高考试题，不是变难了，而是变脸了，题型灵活多变了。这样的变化启示我们，中小学校的教学活动要与时俱进，转变观念，转变方法，从过去的以传授知识为主相异培养能力和核心素养为主转变。

以上是个人的一点粗浅的见解，不知道大家对于今年的中考试题是不是变难了、难在哪儿了有何看法，有何建议，欢迎讨论，欢迎留言。想了解更多内容，就请关注“高级教师教语文”吧。

2022年铜川中考数学试卷难度点评

2022年铜川中考数学考试已经结束了，下面为您带来的是数学试卷点评，仅供参考。

铜川中考数学试卷难度点评

全卷立足基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验对多道题目的考查方式进行了创新，新的考查方式使得试卷整体形式新颖，设问灵动。22题将以往的“应用一次函数解决实际问题”变为“以流程图和表格的形式直接考查一次函数的相关概念”，聚焦概念本质；25题“二次函数与几何图形的综合题”变为“应用二次函数解决实际问题”，让学生体会到数学的应用价值。新的考查方式都可以在课本上找到原型，既突出对概念本质的考查，又引导大家回归课本、重视数学概念的学习和理解，同时也提升了学生的获得感和成就感，增强了学生学好数学的信心，彰显《数学课程标准》中“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学”的要求。

本套试题呈现出以下新形态：第4题在选择题题位考查特殊四边形的概念；第19题对坐标系内的平移进行考查；第22题和25题回归基本概念和基本方法的考查；继2020年后第二次全卷未出现大家喜闻乐见的几何最值和代数最值。这些都打破了很多老师对本次考试的预期，使得2022中考数学进一步打破了以往的命题模式，体现出命题者打破固有模式的决心，细观之，本套试卷中几乎所有的创新点都能在课本上找到影子，都指向数学核心知识，指向数学学科核心素养，从这一点上来看，本套试卷很好地发挥了教学导向的作用。我们应该以《义务教育数学课程标准》为指导，以课本为抓手，重新思考教学目标，选取合适的教学方式，努力挖掘课本素材中所蕴含的育人价值及功能，发展学生的数学学科核心素养。

如何学好数学

1学好数学要抓住三个“基本”：基本的概念要清楚，基本的规律要熟悉，基本的方法要熟练。

2做完题目后一定要认真总结，做到举一反三，这样，以后遇到同一类的问题是就不会花费太多的时间和精力了。

3一定要全面了解数学概念，不能以偏概全。

2022年三明中考数学试卷难度点评

2022年三明中考数学考试已经结束了，下面为您带来的是试卷点评，仅供参考。

三明中考数学试卷难度点评

2022年中考数学试卷顺应时代背景，以2011版《数学课程标准》为依据，合理选材，科学控制难度，既关注基础性，又关注综合性，体现选拔性。试卷首先体现价值引领，彰显立德树人的特点，突出考查关键能力。试题有机融合优秀传统文化，渗透美育和劳动教育，考查生活中的数学应用，知识和能力并重，渗透核心价值观，彰显立德树人。

其次，试卷也立足学科基础，注重学科素养。可以看出，试卷结构稳定，题型不变，聚焦基础知识、基本技能、通性通法的考查，基本得分题约占118分，中档题和稍难题还是聚焦二次函数、图形变换和圆，如10、16、23、24、25题，可通过数形结合、合理构造、转化化归等降维。在注重数学学科核心素养的检测方面，试题中如第16、21、23、24等题，就涉及逻辑推理和直观想象，第8、20等题就涉及了数据分析；第25题以二次函数为背景，几代结合，关注函数与方程的关系，突出要求考生具有较强的逻辑推理能力、转化能力和数据整理能力。

数学学习技巧

基础很重要

是不是感觉数学都能考满分的同学，连书都不用看，其实数学学霸更重视基础。数学公式，几何图形的性质，函数的性质等，都是数学学习的基础，甚至可以说基础的好坏，直接决定中考数学成绩的高低。

错题本很重要

在所有科目中，数学这个科目最重要错题本学习法。特别提倡大家整理错题，对于错题本有一些小窍门，那就是平时如果坚持整理错题，最终会导致自己错题本很多很厚，我们可以定期复习，对于一些彻底掌握的，可以做个标记，以后就不用再次复习，这样错题本使用起来就会效率更高。

安徽中考数学最后一题的分值分布

中考数学最后一题重在考查学生探究方法和实践能力，以及综合运用知识的能力。总分为12分，一般情况会分3小问，对应分值分别为3加3加4。

安徽省中考试卷总体上来说，难度适中。选拔题目也集中在10、14、22、23题。卷子难度整体来说比模考的难度要低。

中考季初中毕业暨高中阶段招生考试是选拔考试，又是建立在义务教育基础上的选拔中考。

1、数学家的故事——苏步青苏步青1902年9月出生在浙江省平阳县的一个山村里。虽然家境清贫，可他父母省吃俭用，拼死拼活也要供他上学。他在读初中时，对数学并不感兴趣，觉得数学太简单，一学就懂。可是，后来的一堂数学课影响了他一生的道路。那是苏步青上初三时，他就读浙江省六十中来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师。第一堂课杨老师没有讲数学，而是讲故事。他说：“当今世界，弱肉强食，世界列强依仗船坚炮利，都想蚕食瓜分中国。中华亡国灭种的危险迫在眉睫，振兴科学，发展实业，救亡图存，在此一举。‘天下兴亡，匹夫有责’，在座的每一位同学都有责任。”他旁征博引，讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用。这堂课的最后一句话是：“为了救亡图存，必须振兴科学。数学是科学的开路先锋，为了发展科学，必须学好数学。”苏步青一生不知听过多少堂课，但这一堂课使他终身难忘。杨老师的课深深地打动了他，给他的思想注入了新的兴奋剂。读书，不仅为了摆脱个人困境，而是要拯救中国广大的苦难民众；读书，不仅是为了个人找出路，而是为中华民族求新生。当天晚上，苏步青辗转反侧，彻夜难眠。在杨老师的影响下，苏步青的兴趣从文学转向了数学，并从此立下了“读书不忘救国，救国不忘读书”的座右铭。一迷上数学，不管是酷暑隆冬，霜晨雪夜，苏步青只知道读书、思考、解题、演算，4年中演算了上万道数学习题。现在温州一中（即当时省立十中）还珍藏着苏步青一本几何练习薄，用毛笔书写，工工整整。中学毕业时，苏步青门门功课都在90分以上。17岁时，苏步青赴日留学，并以第一名的成绩考取东京高等工业学校，在那里他如饥似渴地学习着。为国争光的信念驱使苏步青较早地进入了数学的研究领域，在完成学业的同时，写了30多篇论文，在微分几何方面取得令人瞩目的成果，并于1931年获得理学博士学位。获得博士之前，苏步青已在日本帝国大学数学系当讲师，正当日本一个大学准备聘他去任待遇优厚的副教授时，苏步青却决定回国，回到抚育他成长的祖任教。回到浙大任教授的苏步青，生活十分艰苦。面对困境，苏步青的回答是“吃苦算得了什么，我甘心情愿，因为我选择了一条正确的道路，这是一条爱国的光明之路啊！”这就是老一辈数学家那颗爱国的赤子之心2陈景润（1933—1996）陈景润不爱玩公园，不爱逛马路，就爱学习。学习起来，常常忘记了吃饭睡觉。有一天，陈景润吃中饭的时候，摸摸脑袋，哎呀，头发太长了，应该快去理一理，要不，人家看见了，还当他是个姑娘呢。于是，他放下饭碗，就跑到理发店去了。理发店里人很多，大家挨着次序理发。陈景润拿的牌子是三十八号的小牌子。他想：轮到我还早着哩。时间是多么宝贵啊，我可不能白白浪费掉。他赶忙走出理发店，找了个安静的地方坐下来，然后从口袋里掏出个小本子，背起外文生字来。他背了一会，忽然想起上午读外文的时候，有个地方没看懂。不懂的东西，一定要把它弄懂，这是陈景润的脾气。他看了看手表，才十二点半。他想：先到图书馆去查一查，再回来理发还来得及，站起来就走了。谁知道，他走了不多久，就轮到他理发了。理发员叔叔大声地叫：“三十八号！谁是三十八号？快来理发！”你想想，陈景润正在图书馆里看书，他能听见理发员叔叔喊三十八号吗？过了好些时间，陈景润在图书馆里，把不懂的东西弄懂了，这才高高兴兴地往理发店走去。可是他路过外文阅览室，有各式各样的新书，可好看啦。又跑进去看起书来了，一直看到太阳下山了，他才想起理发的事儿来。他一摸口袋，那张三十八号的小牌子还好好地躺着哩。但是他来到理发店还有啥用呢，这个号码早已过时了。陈景润进了图书馆，真好比掉进了蜜糖罐，怎么也舍不得离开。可不，又有一天，陈景润吃了早饭，带上两个馒头，一块咸菜，到图书馆去了。陈景润在图书馆里，找到了一个最安静的地方，认认真真地看起书来。他一直看到中午，觉得肚子有点饿了，就从口袋里掏出一只馒头来，一面啃着，一面还在看书。“丁零零……”下班的铃声响了，管理员大声地喊：“下班了，请大家离开图书馆！”人家都走了，可是陈景润根本没听见，还是一个劲地在看书呐。管理员以为大家都离开图书馆了，就把图书馆的大门锁上，回家去了。时间悄悄地过去，天渐渐地黑下来。陈景润朝窗外一看，心里说：今天的天气真怪！一会儿阳光灿烂，一会儿天又阴啦。他拉了一下电灯的开关线，又坐下来看书。看着看着，忽然，他站了起来。原来，他看了一天书，开窍了。现在，他要赶回宿舍去，把昨天没做完的那道题目，继续做下去。陈景润把书收拾好，就往外走去。图书馆里静悄俏的，没有一点儿声音。哎，管理员上哪儿去了呢？来看书的人怎么一个也没了呢？陈景润看了一下手表，啊，已经是晚上八点多钟了。他推推大门，大门锁着；他朝门外大声喊叫：“请开门！请开门！”可是没有人回答。要是在平时，陈景润就会走回座位，继续看书，一直看到第二天早上。可是，今天不行啊！他要赶回宿舍，做那道没有做完的题目呢！他走到电话机旁边，给公室打电话。可是没人来接，只有嘟嘟的声音。他又拨了几次号码，还是没有人来接。怎么呢？这时候，他想起了党委书记，马上给党委书记拨了电话。“陈景润？”党委书记接到电话，感到很奇怪。他问清楚是怎么一回事，高兴得不得了，笑着说：“陈景润！陈景润！你辛苦了，你真是个好同志。”党委书记马上派了几个同志，去找图书馆的管理员。图书馆的大门打开了，陈景润向管理员说：“对不起！对不起！谢谢，谢谢！”他一边说一边跑下楼梯，回到了自己的宿舍。他打开灯，马上做起那道题目来。3华罗庚出生在一个摆杂货店的家庭，从小体弱多病，但他凭借自己一股坚强的毅力和崇高的追求，终于成为一代数学宗师．少年时期的华罗庚就特别爱好数学，但数学成绩并不突出．19岁那年，一篇出色的文章惊动了当时著名的数学家熊庆来．从此在熊庆来先生的引导下，走上了研究数学的道路．晚年为了国家经济建设，把纯粹数学推广应用到工农业生产中，为祖国建设事业奋斗终生！华爷爷悉心栽培年轻一代，让青年数学家茁壮成儿使他们脱颖而出，工作之余还不忘给青多年朋友写一些科普读物．下面就是华罗庚爷爷曾经介绍给同学们的一个有趣的数学游戏：有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明．他采用如下的方法：事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色．3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子聪明的小读者，想想看，他们是怎么知道帽子颜色的呢？“为了解决上面的伺题，我们先考虑“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题．因为，黑帽只有1顶，我戴了，对方立刻会说自己戴的是白帽．但他踌躇了一会，可见我戴的是白帽．这样，“3人2顶黑帽，3顶白帽”的问题也就容易解决了．假设我戴的是黑帽子，则他们2人就变成“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题，他们可以立刻回答出来，但他们都踌躇了一会，这就说明，我戴的是白帽子，3人经过同样的思考，于是，都推出自己戴的是白帽子．看到这里。同学们可能会拍手称妙吧．后来，华爷爷还将原来的问题复杂化，“n个人，n-1顶黑帽子，若干（不少于n）顶白帽子”的问题怎样解决呢？运用同样的方法，便可迎刃而解．他并告诫我们：复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窃．4祖冲之(算不算)祖冲之（公元429-500年）是我国南北朝时期，河北省涞源县人．他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数学家、天文学家．祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算．秦汉以前，人们以"径一周三"做为圆周率，这就是"古率"．后来发现古率误差太大，圆周率应是"圆径一而周三有余"，不过究竟余多少，意见不一．直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--"割圆术"，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长．刘徽计算到圆内接96边形，求得π=314，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确．祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出π在31415926与31415927之间．并得出了π分数形式的近似值，取为约率，取为密率，其中取六位小数是3141929，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数．祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查．若设想他按刘徽的"割圆术"方法去求的话，就要计算到圆内接16，384边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的．祖冲之计算得出的密率，外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了．为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把π=叫做"祖率"．祖冲之博览当时的名家经典，坚持实事求是，他从亲自测量计算的大量资料中对比分析，发现过去历法的严重误差，并勇于改进，在他三十三岁时编制成功了《大明历》，开辟了历法史的新纪元．祖冲之还与他的儿子祖暅（也是我国著名的数学家）一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算．他们当时采用的一条原理是："幂势既同，则积不容异．"意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等．这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理，但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的．为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为"祖暅原理"．5陈省身1911年10月28日生于浙江嘉兴秀水县，美籍华人，20世纪世界级的几何学家。少年时代即显露数学才华，在其数学生涯中，几经抉择，努力攀登，终成辉煌。他在整体微分几何上的卓越贡献，影响了整个数学的发展，被杨振宁誉为继欧几里德、高斯、黎曼、嘉当之后又一里程碑式的人物。曾先后主持、创了三大数学研究所，造就了一批世界知名的数学家。晚年情系故园，每年回天津南开大学数学研究所主持工作，培育新人，只为实现心中的一个梦想：使中国成为21世纪的数学大国。陈省身9岁考入秀州中学预科一年级。这时他已能做相当复杂的数学题，并且读完了《封神榜》、《说岳全传》等书。1922年秋，父亲到天津法院任职，陈省身全家迁往天津，住在河北三马路宙纬路。第二年，他进入离家较近的扶轮中学（今天津铁路一中）。陈省身在班上年纪虽小，却充分显露出他在数学方面的才华。陈省身考入南开大学理科那一年还不满15岁。他是全校闻名的少年才子，大同学遇到问题都要向他请教，他也非常乐于帮助别人。一年级时有国文课，老师出题做作文，陈省身写得很快，一个题目往往能写出好几篇内容不同的文章。同学找他要，他自己留一篇，其余的都送人。到发作文时他才发现，给别人的那些得的分数反倒比自己那篇要高。他不爱运动，喜欢打桥牌，且牌技极佳。图书馆是陈省身最爱去的地方，常常在书库里一呆就是好几个小时。他看书的门类很杂，历史、文学、自然科学方面的书，他都一一涉猎，无所不读。入学时，陈省身和他父亲都认为物理比较切实，所以打算到二年级分系时选物理系。但由于陈省身不喜欢做实验，既不能读化学系，也不能读物理系，只有一条路——进数学系。数学系主任姜立夫，对陈省身的影响很大。数学系1926级学生只有5名，陈省身和吴大任是全班最优秀的。吴大任是广东人，毕业于南开中学，被保送到南开大学。他原先进物理系，后来被姜立夫的魅力所吸引，转到了数学系，和陈省身非常要好，成为终生知己。姜立夫为拥有两名如此出色的弟子而高兴，开了许多门在当时看来是很高深的课，如线性代数、微分几何、非欧几何等等。二年级时，姜立夫让陈省身给自己当助手，任务是帮老师改卷子。起初只改一年级的，后来连二年级的都让他改，另一位数学教授的卷子也交他改，每月报酬10元。第一次拿到钱时，陈省身不无得意，这是他第一次的劳动报酬啊！考入南开后，陈省身住进八里台校舍。每逢星期日，他从学校回家都要经过海光寺，那里是日本军营。看到荷枪实弹的日本鬼子那副耀武扬威的模样，他心里很不是滋味，不禁快步走开。再往前便是南市“三不管”，是个乌烟瘴气的地方，令他万分厌恶。从家返回学校时，又要经过南市、海光寺，直到走进八里台校园，他才感到松了口气。6丘成桐1949年出生于广东汕头,老家在梅州蕉岭，在香港长大。父亲曾在香港香让学院及香港中文大学的前身崇基学院任教。父教母慈，童年的丘成桐无忧无虑，成绩优异。但在他14岁那年，父亲突然辞世，一家人顿时失去经济来源。尽管丘成桐不得不一边打工一边学习，却仍然以优异成绩考入香港中文大学数学系。他的父亲在他14岁时去世，家境贫寒。他中学的时候逃学一年，曾经成绩很差，差一点落榜。19岁的时候来到美国伯克利，“21岁毕业时就注定要改变数学的面貌”。这不是我的话，这是几年前加州大学洛杉矶分校希望把丘教授聘请过来的时候，系里讨论时一个年纪很大的几何学家引用陈省身先生说的一句话。他10年之后成为数学界的一代天骄。从他入学伯克利到在世界数学家大会做一小时报告还不到10年。当年他只有28岁，也是在那一年，陈景润先生被邀请做45分钟的报告。这期间他证明了卡拉比猜想、正质量猜想，开创了一个崭新的领域：几何分析。1981年，他32岁时，获得了美国数学会的维布伦（Veblen）奖——这是世界微分几何界的最高奖项之一；1983年，他被授予菲尔兹（Fields）奖章——这是世界数学界的最高荣誉；1994年，他又荣获了克劳福（Crawford）奖。除此之外，他还获得过美国国家科学奖章和加利福尼亚州最优秀的科学家的称号，是美国科学院院士、哈佛大学名誉博士、中国科学院外籍院士、香港中文大学名誉博士……大学期间，他以三年时间修完全部必修课程，还阅读了大量课外资料。他的突出成绩和钻研精神为当时的美籍教授萨拉夫所赏识，萨拉夫力荐他到美国加利福尼亚大学伯克利分校攻读博士研究生。七十年代左右的伯克利分校是世界微分几何的中心，云集了许多优秀的几何学家和年轻学者。在这里，丘成桐得到IBM奖学金，并师从著名微分几何学家陈省身。命运是公平的，奖章、荣誉，授予了那个在教室中坚持到最后的人。这，并没有让丘成桐止步不前，他继续进行着大量繁杂的研究工作，并不断取得成就。坚韧、坚持、锲而不舍，这就是丘成桐的精神。当然，也不是每个有着这样精神的人都能取得丘成桐一样的成就的。数学需要勤奋，更需要天才。正如著名数学家尼伦伯格所说，丘成桐“不仅具备几何学家的直观能力，而且兼有分析家的才能”。著名数学家郑绍远先生回忆说，对于许多艰深的数学问题，丘成桐已思考近20年，虽然仍未解决，他还是没有轻易放弃思考。丘成桐对中国的数学事业一直非常关心。从1984年起，他先后招收了十几名来自中国的博士研究生，要为中国培养微分几何方面的人才。他的做法是，不仅要教给学生一些特殊的技巧，更重要的是教会他们如何领会数学的精辟之处。他的学生田刚，也于1996年获得了维布伦奖，被公认为世界最杰出的微分几何学家之一。数学是奇妙的，只有锲而不舍才能探求其中真谛。对于丘成桐这样的数学家来说，这种探求不但是人生的意义，也是人生的乐趣。丘先生绝对不是一个完人，但绝对是一个伟大的数学家。你可以不喜欢这个人，但你不可能不喜欢他的数学，他证明了许多妙不可言的定理。大家如果学数学，读到研究生的话你就会知道他的定理非常美妙，他的卡拉比猜想毫无疑问是数学中最深刻的定理之一，尤其是在超弦理论中应用之广不可思议，我想当年丘教授自己都没有想到。他个性坚强，永不服输，永不言弃，著述等身，得奖无数。这些也带给他许许多多的误解。因为少年得志，20几岁就功成名就，有人说他目中无人、傲慢至极。当然，有这样的成就也让他有傲慢的资本。我把他跟陈省身一比。陈省身先生，大家跟他相处久了就知道也傲慢，只是他们以不同的形式表达他们的傲慢，丘成桐是直截了当，数学和为人是他衡量你的标准，他看你的话，你数学不好，他不愿意跟你多谈，你做事情不入他的眼，他不愿意搭理你。先生是微笑不语，什么人他都可以很平和地相处，但是这微笑中就蕴含着尊敬或者是不屑，你自己可以感觉出来。他们都是真正的君子，都是我最敬佩的伟大的数学家，他们都尊重真正的君子和真正的数学家。我想这是他们真正可贵的地方。30年来，丘先生不仅时刻把握着数学与物理跳动的脉搏，引导着世界数学发展的潮流，还一直怀着一颗赤子之心，关心和帮助着中国数学的进步。他培养了众多的华人数学家。他的学生和博士后在国外各个重要的大学里都有。3福建闽候人。陈景润出生在一个小职员的家庭，上有哥姐、下有弟妹，排行第三。因为家里孩子多，父亲收入微薄，家庭生活非常拮据。因此，陈景润一出生便似乎成为父母的累赘，一个自认为是不爱欢迎的人。上学后，由于瘦小体弱，常受人欺负。这种特殊的生活境况，把他塑造成了一个极为内向、不善言谈的人，加上对数学的痴恋，更使他养成了独来独往、独自闭门思考的习惯，因此竟被别人认为是一个“怪人”。陈景润毕生后选择研究数学这条异常艰辛的人生道路，与沈元教授有关。在他那里，陈景润第一次知道了哥德巴赫猜想，也就是从那里，陈景润第一刻起，他就立志去摘取那颗数学皇冠上的明珠。1953年，他毕业于厦门大学，留校在图书馆工作，但始终没有忘记哥德巴赫猜想，他把数学论文寄给华罗庚教授，华罗庚阅后非常赏识他的才华，把他调到中国科学院数学研究所当实习研究员，从此便有幸在华罗庚的指导下，向哥德巴赫猜想进军。1966年5月，一颗耀眼的新星闪烁于全球数学界的上空------陈景润宣布证明了哥德巴赫猜想中的"1+2"；1972年2月，他完成了对"1+2"证明的修改。令人难以置信的是，外国数学家在证明"1+3"时用了大型高速计算机，而陈景润却完全靠纸、笔和头颅。如果这令人费解的话，那么他单为简化"1+2"这一证明就用去的6麻袋稿纸，则足以说明问题了。1973年，他发表的著名的"陈氏定理"，被誉为筛法的光辉顶点。4、丘成桐（Shing—tungYau）丘成桐博士为国际著名数学家，美国科学院院士，中国科学院外籍院士。1982年由于他在几何方面的杰出工作，获得了菲尔茨奖（被称之为数学的诺贝尔奖）。1994年，获得了瑞典皇家学员颁发的国际上著名的克雷福德奖(Clifford)。1997年获美国国家科学奖。丘成桐博士在科研方面做出了杰出的成就，赢得了许多荣誉。更为可贵的是，他十分关注中国基础研究的发展，并将其同自己的科研发展紧密联系在一起，多年来，一直运用他在国际上的影响和活动能力，协同各方面力量，为中国数学的发展作了大量的工作。5、祖冲之法国巴黎的「发现宫」科学博物馆中友祖冲之的大名与他所发现的圆周率值并列。他曾经算出月球绕地球一周为时2721223日，与现代公认的2721222日，在那个时代能有那麼伟大的成就，实在让人佩服，难怪西方科学家把月球上许多「火山口」中的一个命名为「祖冲之」。而即使在社会主义共产国家「老大哥」苏俄，在莫斯科国立大学礼堂廊壁上，用彩色大理石镶嵌的世界各国著名的科学家肖像中，也有中国的祖冲之和李时珍，祖氏有那麼杰出的表现，我们不能不对他稍有认识。6、陶哲轩1975年7月15日，陶哲轩出生在澳大利亚阿得雷德，是家中的长子。现任教于美国加州大学洛杉矶分校（UCLA）数学系的华裔数学家，澳洲惟一荣获数学最高荣誉“菲尔茨奖”的澳籍华人数学教授，继1982年的丘成桐之后获此殊荣的第二位华人。其于1996年获普林斯顿大学博士学位后任教于UCLA，24岁时便被UCLA聘为正教授。7欧拉欧拉（LeonhardEuler公元1707-1783年）1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（JohannBernoulli，1667-1748年）的精心指导。欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。19世纪伟大数学家高斯（Gauss，1777-1855年）曾说："研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法。"过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁。1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明。不幸的事情接踵而来，1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了。沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来。在他完全失明之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A·欧拉（数学家和物理学家）笔录。欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久。欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成。欧拉的风格是很高的，拉格朗从19岁起和欧拉通信，讨论等周问题的一般解法，这引起变分法的诞生。等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得欧拉的热烈赞扬，欧拉充沛的精力保持到最后一刻，1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚发现不久，欧拉写出了计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说："我死了"，欧拉终于"停止了生命和计算"。8华罗庚：一天，老师出了道“物不知其数”的算题。老师说，这是《孙子算经》中一道有名的算题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”“23！”老师的话音刚落，华罗庚的答案就脱口而出。当时华罗庚并未学过《孙子算经》，他是用如下妙法思考的：“三三数之剩二，七七数之剩二，余数都是二，此数可能是3×7+2=23，用5除之恰余3，所以23就是所求之数。”华罗庚不承认自己是天才。9阿基米德：有一次，阿基米德的邻居的儿子詹利到阿基米德家的小院子玩耍。詹利很调皮，也是个很讨人喜欢的孩子。詹利仰起通红的小脸说：“阿基米德叔叔，我可以用你圆圆的柱于作教堂的立柱吗？”“可以。”阿基米德说。小詹利把这个圆柱立好后，按照教堂门前柱子的模型，准备在柱子上加上一个圆球。他找到一个圆柱，由于它的直径和圆柱体的直径和高正好相等，所以球“扑通”一下掉入圆柱体内，倒不出来了。于是，詹利大声喊叫阿基米德，当阿基米德看到这一情况后，思索着：圆柱体的高度和直径相等，恰好嵌入的球体不就是圆柱体的内接球体吗？但是怎样才能确定圆球和圆柱体之间的关系呢？这时小詹利端来了一盆水说：“对不起，阿基米德叔叔，让我用水来给圆球冲洗一下，它会更干净的。”阿基米德眼睛一亮，抱着小詹利，慈爱地说：“谢谢你，小詹利，你帮助解决了一个大难题。”10阿基米德把水倒进圆柱体，又把内接球放进去；再把球取出来，量量剩余的水有多少；然后再把圆柱体的水加满，再量量圆柱体到底能装多少水。这样反复倒来倒去的测试，他发现了一个惊人的奇迹：内接球的体积，恰好等于外包的圆柱体的容量的三分之二。他欣喜若狂，记住了这一不平凡的发现：圆柱体和它内接球体的比例，或两者之间的关系，是3∶2。他为这个不平凡的发现而自豪，他嘱咐后人，将一个有内接球体的圆柱体图案，刻在他的墓碑上作为墓志铭。

1978年1月14日，一颗伟大的心脏停止了跳动，世界著名的哲学家，逻辑学家和数学家哥德尔病逝。

死亡证明说： 病人死于人格紊乱造成的营养不良和食物不足 ，病逝时体重只有65磅。

读者可能会感到疑惑作为普林斯顿高等研究院的终身教授，世界闻名的学者，而且又不是生活在60年代初的中国大陆或者是常年饥荒的非洲国家，一个人怎么会死于营养不良呢？

晚年更是经常怀疑有人要谋杀他，会在他的饭菜里下毒。所以他不相信别人做的饭菜，只相信他夫人阿黛尔做的饭菜。

但是太太阿黛尔也病倒了，没有办法照顾他，因此他只能吃一些很简单的食物或者就是经常不吃饭，身体状况迅速恶化，最终死于营养不良。

伟大哲学家的凄凉晚景真是令人唏嘘不止！

库尔特哥德尔1906年4月28日生于捷克的布尔诺。早年在维也纳大学攻读物理和数学，并参加维也纳学派哲学小组的活动，于1930年获得数学博士学位。1938年哥德尔来到美国普林斯顿高等研究院工作。

他对逻辑学和数学基础等领域的研究做出了突出的贡献，哥德尔做出的工作到底有多么重要学术界自有公论，我们仅从爱因斯坦的一句话就可以大致判断出哥德尔是属于重量级的人物，爱因斯坦说：

哥德尔的妻子阿黛尔比哥德尔大六岁，哥德尔21岁认识她的时候阿黛尔已婚并且在夜总会工作。他们的婚姻遭到哥德尔家人的集体反对但最后有情人还是终成眷属，婚后他们没有孩子。

哥德尔的朋友们对于阿黛尔的评价是“说话尖酸，脾气暴躁”，但是朋友们的评价并没有妨碍他们之间的感情，哥德尔夫妇的感情一直很好。

哥德尔一生最重要的工作是证明了哥德尔不完备性定理，要想了解不完备性定理的大致含义，我们先从希尔伯特雄心勃勃的计划说起。

德国著名数学家希尔伯特出生于东普鲁士的哥尼斯堡，与伟大的哲学家康德是同乡。

希尔伯特是一位名副其实的数学大师，有人将他称为“数学界最后的一位全才”。

希尔伯特希望为整个数学寻求一个坚实的基础，他的目标是将整个数学体系严格公理化（就像欧几里得的平面几何学一样），然后运用元数学（证明数学的数学）来证明整个数学体系是建立在牢不可破的坚实的基础之上的。

首先，他计划要将所有数学形式化，让每一个数学陈述都能用符号表达出来，让每一个数学家都能用定义好的规则来处理这些已经变成符号的陈述。

这样就可以使数学家们在思考任何数学问题的时候能够彻底摆脱自然语言的模糊性，取而代之的是毫无含糊之处的符号语言。

然后，证明数学是完整的，也就是说所有为真的陈述都能够被证明，这被称之为数学的完备性；再来证明数学是一致的，也就是说不会推出自相矛盾的陈述，这被称为数学的一致性。

完备性保证了我们能够证明所有的真理，只要是真的命题就可以被证明；一致性确保我们在不违背逻辑的前提下获得的结果是有意义的，不会出现某一个陈述，它既是真的又是假的。

最后，期望可以找到一个算法，用此算法可以机械化地判定数学陈述的对错，这被称为数学的可判定性。一致性保证了自相矛盾的情况不会出现。

「在保证数学一致性这个前提之下，如果又有了数学的完备性，也就是说任何一个数学命题都可以被证明或者被证伪」 。

这其实就是说，对于任意一个数学猜想，不管它有多难，只要假以时日，通过一代又一代人的努力，总是可以知道这个猜想对不对，并且证明或证伪它。

换句话说，在数学中，通过逻辑，我们必定能够知道我们想要知道的东西，这只不过是个时间问题。

希尔伯特提出，先计划在基础的数学系统中进行这样的形式化，然后再将其推广到更广阔的数学系统中，最后实现整个计划。

于是，整个计划便归结为在算术系统中进行这样的形式化，并且在算术系统的内部证明它的完备性、一致性和可判定性。算术系统可以说是非常基础的系统，我们做算术，对自然数做加法、乘法和数学归纳法，就都用到了这个系统。

但我们平时只是凭直觉来理解这个系统，而数学家追求的是用逻辑的方法来定义它，因为只有这样做才会使他们觉得安心。这似乎不是一个十分困难的任务，因为算术系统并不是一个很复杂的系统。

在希尔伯特提出这个雄心勃勃的计划以后，许多数学家都投入了对于这个问题的研究，其中就包括哥德尔。在完成自己的博士论文以后，哥德尔就着手研究更为一般的数学系统。

1931年，他对算术系统的探索宣告胜利，然而他的这个胜利也就意味着希尔伯特计划的失败。哥德尔的结论后来被称为哥德尔不完备性定理。哥德尔不完备性定理包含两个：

也就是说，要是我们能在一个数学系统中做算术的话，那么要么这个系统是自相矛盾的，要么有那么一些结论，它们是真的，但是我们却无法证明。

哥德尔不完备性定理的证明过程十分复杂，但是其核心思想是运用了逻辑学里的“自指”的概念，说的通俗一点就是：「这个陈述它陈述了它自己」。

自指是逻辑学里面很多悖论的根源，比如理发师悖论——在一个小镇内，只有一名理发师，他在理发店门外公布了这样一个原则：「只为不给自己理发的人理发」。

那么，他自己的头发谁来理呢？要是他自己理的话，他就会自己理发了，那么根据他的原则，他不应该为自己理发；要是他不给自己理发的话，根据他的原则，他倒是应该给他自己理发了，逻辑似乎在这里失效了。

这种逻辑上的混乱局面，背后就是罗素悖论：定义一个集合，它包含所有不包含自身的集合，那它是否包含自身？

从上面的分析我们可以看到，一切问题在于“包含自身”这种自指的描述。然而这种“自指”的性质，在哥德尔的手中，却变成了完成证明的重要工具。

哥德尔构造了一个命题，这个命题说的正是它自身的不可证明性。如果用类似说谎者悖论的语言来描述的话，就可以表达为： “不存在对这个命题的形式证明。”

这就是哥德尔第一不完备性定理：如果系统包含有自然数的话，「完备性和一致性不可得兼，这个系统要么自相矛盾，要么存在着既不能证明也不能证伪的命题」。然后，我们再来仅考虑一致性的问题：

‌‌‌也就是说，我们做了错误的假设：能在系统内部证明系统本身的一致性。

由此，哥德尔证明了他的第二不完备性定理。如果我们假定数学是不会自相矛盾的话，我们就必须承认数学是不完备的，也就是说有那么一些数学命题是不可判定的：

自从哥德尔不完备性定理被证明以来，越来越多的数学问题被证明是不可判定的，这些不可判定的问题也越来越初等。乍看起来并非不可捉摸，但到头来却是不可判定的。

这就给数学家们的心头上压了重重的一块大石头，谁也不能肯定自己辛辛苦苦做了十几年甚至几十年的题目，会不会突然有一天被证明是在现有的数学系统中是不可判定的。

尽管这样，哥德尔不完备性定理仍然带给我们很多收益， 至少我们知道了，有些东西我们是不可能知道的。

哥德尔的不完备性定理，首先是针对“形式系统”的。只有在存在“形式系统”的条件下，才会产生“形式与内容”之间的不相容性的问题。

理论物理系统作为一个标准的“形式系统”，其终极形式最终会导致“完备性”与“一致性”之间的不相容。

所以，理论物理的理论的发展只能是渐进的、分层次的，这就是为什么爱因斯坦的相对论可以超越牛顿力学却无法取代牛顿力学的原因。

同样超越爱因斯坦的相对论也不意味着取代爱因斯坦相对论，因为包含相对论理论的形式系统（黎曼几何）在相应的物理内容范围内是无矛盾的，相容的。

因此，当人们追求“绝对真理”的时候，实际上就已经偏离了追求“真理”的正确道路，其结果必然就是：发现“绝对真理”就是绝对的悖论。

因此，20世纪的哲学终于摆脱了“绝对真理”的庞杂体系，开始了自身的变革。

虽然，哲学不再充当“科学的教父”，“意识形态的总司令”，但它自身却变的更加接近真理而远离了谬误。

这也许就是20世纪的数学，对于哲学的最大贡献，而且对于整个人类文明的影响也是非常深远的！

解：设8月的收入为x元。9月的收入比8月的多8%，则9月的收入为x(1+8%)元。

根据题意，得：x(1+8%)=12960，解得：x=12000

当然，也可不设未知数，直接计算：12960/(1+8%)=12000 (元)

10月的收入比9月的少8%，则10月的收入为：12960×(1-8%)=119232 (元)

10月的收入跟8月的收入相比减少了：12000-119232=768 (元)

则10月的收入比8月的收入减少的百分率为：768/12000×100%=064%

答：10月的收入比8月的收入减少了064%。

__________________________

解：设不损失的情况下，球拍售x元。

球拍售300元损失了25%，则x(1-25%)=300，解得：x=400

设不赚的情况下，球衣售y元。

球衣售780元赚了20%，则y(1+20%)=780，解得：x=650

也可不设未知数，直接计算：

不损失的情况下，球拍售价：300/(1-25%)=400 (元)

不赚的情况下，球衣售价：780/(1+20%)=650 (元)

不损失也不赚的情况下，买2个球拍和1件球衣的价钱：400×2+650×1=1450 (元)

实际情况买2个球拍和1件球衣的价钱：300×2+780×1=1380 (元)

则实际情况比不损失也不赚的情况减少的价钱：1450-1380=70 (元)

因此减少的百分率为：70/1450×100%=483%

答：减少的百分率为483%。