证明两直线平行的所有方法

内错角相等
同旁内角互补
对顶角相等
都平行于某条线
都垂直与某条线

(1)同位角相等，两直线平行�(公理)

(2)内错角相等，两直线平行�(定理)

(3)同旁内角互补，两直线平行�(定理)

(1)两条直线平行，同位角相等�

(2)两条直线平行，内错角相等�

(3)两条直线平行，同旁内角互补�

由于每个问题的条件和结论交换所得到的新的问题不一定正确，如：“对顶角相等”是成立的，但它的反面问题“相等的角是对顶角”就不成立，又如：“两直线相交成直角，这两条直线互相垂直”，它的反面问题是“两条直线互相垂直，这两条直线相交所成的角是直角”，它们同时成立�

所以上面三条性质还不能说是正确的，因此只能说是猜想，即：

猜想(1)：两直线平行，同位角相等；

猜想(2)：两直线平行，内错角相等；

猜想(3)：两直线平行，同旁内角互补�

设l1‖l2，l3与它们相交，请度量∠1和∠2的大小，你能发现什么关系

答：∠1＝∠2�

平行线性质1(公理)：两直线平行，同位角相等�

下面运用这条公理去证明另外两个猜想成立�

已知：如图2—63(2)，直线AB，CD被直线EF所截，AB‖CD�

求证：∠1＝∠2�

证明：因为AB‖CD，(已知)

所以∠2＝∠3�(两直线平行，同位角相等)

因为∠3＝∠1，(对顶角相等)

所以∠2＝∠1�(等量代换)

已知：如图2—64，直线AB，CD被直线EF所截，AB‖CD�

求证：∠1+∠2＝180°�

证明：因为AB‖CD，(已知)

所以∠3＝∠2�(两直线平行，同位角相等)

因为∠3+∠1＝180°，(邻补角)

所以∠1+∠2＝180°�(等量代换)

在此基础上指出：猜想2和猜想3是成立的�并将前面的猜想2和猜3分别改为“平行线的性质2(定理)”和“平行线的性质3(定理)”�

三、平行线判定与性质的区别与联系

投影：将判定与性质各三条全部打出�

问：它们的区别和联系是什么

可以从以下两个方面看�

1�从因果关系上看：

性质：因为两条直线平行，所以……�

判定：因为内错角相等，所以……�性质与判定的因果关系是相反的�

2�从所起作用上看：

性质：根据两条直线平行，去证角的相等或互补�

判定：根据两角相等或互补，去证两条直线平行，联系是：它们的条件和结论是互逆的，性质与判定要证明的问题是不同的�

四、应用举例变式练习(采用讲练结合方式教学)(四个例题供课堂选用)

例1 如图2—65，AB‖CD，AC‖BD�找出图中相等的角与互补的角�

此题一定要强调，哪两条直线被哪一条直线所截�

答：相等的角为：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8�互补的角为：∠BAC+∠ACD＝180°，∠ABD+∠CDB＝180°，∠CAB+∠DBA＝180°，∠ACD+∠BDC＝180°�

相等的角还有：∠ACD＝∠ABD，∠BAC＝∠BDC�(同角的补角相等)

例2 如图2—66�已知：AD‖BC，∠AEF＝∠B，求证：AD‖EF�

分析：(执果索因)从图直观分析，欲证AD‖EF，只需∠A+∠AEF＝180°，

(由因求果)因为 AD‖BC，所以 ∠A+∠B＝180°，又∠B＝∠AEF，所以∠A+∠AEF＝180°成立�于是得证�

证明：因为AD‖BC，(已知)

所以∠A+∠B＝180°�(两直线平行，同旁内角互补)

因为∠AEF＝∠B，(已知)

所以∠A+∠AEF＝180°，(等量代换)

所以AD‖EF�(同旁内角互补，两条直线平行)

例3 如图2—67，已知：AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且AB‖CD�

求证：∠1+∠2＝90°�

证明：因为AB‖CD，所以∠BAC+∠ACD＝180°，

又因为 AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，

所以∠1＝∠BAC，∠2＝∠ACD，

故∠1+∠2＝1/2(∠BAC+∠ACD)

＝1/2×180°＝90°�

即∠1+∠2＝90°