高一数学必修2：几何公式

立体几何基本课题

包括:

- 面和线的重合

- 两面角和立体角

- 方块, 长方体, 平行六面体

- 四面体和其他棱锥

- 棱柱

- 八面体, 十二面体, 二十面体

- 圆锥，圆柱

- 球

- 其他二次曲面: 回转椭球, 椭球, 抛物面 ，双曲面

公理

立体几何中有4个公理

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行．

立方图形

立体几何公式

名称 符号 面积S 体积V

正方体 a——边长 S＝6a＾2 V＝a＾3

长方体 a——长 S＝2(ab+ac+bc) V＝abc

b——宽

c——高

棱柱 S——底面积 V＝Sh

h——高

棱锥 S——底面积 V＝Sh／3

h——高

棱台 S1和S2——上、下底面积 V＝h〔S1＋S2＋√（S1＾2）／2〕／3

h——高

拟柱体 S1——上底面积 V＝h（S1＋S2＋4S0）／6

S2——下底面积

S0——中截面积

h——高

圆柱 r——底半径 C＝2πr V＝S底h=∏rh

h——高

C——底面周长

S底——底面积 S底＝πR＾2

S侧——侧面积 S侧＝Ch

S表——表面积 S表＝Ch＋2S底

S底＝πr＾2

空心圆柱 R——外圆半径

r——内圆半径

h——高 V＝πh(R＾2-r＾2)

直圆锥 r——底半径

h——高 V＝πr＾2h/3

圆台 r——上底半径

R——下底半径

h——高 V＝πh(R＾2＋Rr＋r＾2)/3

球 r——半径

d——直径 V＝4/3πr＾3＝πd＾2/6

球缺 h——球缺高

r——球半径

a——球缺底半径 a＾2＝h(2r-h) V＝πh(3a＾2+h＾2)/6 ＝πh2(3r-h)/3

球台 r1和r2——球台上、下底半径

h——高 V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6

圆环体 R——环体半径

D——环体直径

r——环体截面半径

d——环体截面直径 V＝2π＾2Rr＾2 ＝π＾2Dd＾2/4

桶状体 D——桶腹直径

d——桶底直径

h——桶高 V＝πh(2D＾2＋d2＾)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心)

V＝πh(2D＾2＋Dd＋3d＾2/4)/15 (母线是抛物线形)

平面解析几何包含一下几部分

一 直角坐标

11 有向线段

12 直线上的点的直角坐标

13 几个基本公式

14 平面上的点的直角坐标

15 射影的基本原理

16 几个基本公式

二 曲线与议程

21 曲线的直解坐标方程的定义

22 已各曲线，求它的方程

23 已知曲线的方程，描绘曲线

24 曲线的交点

三 直线

31 直线的倾斜角和斜率

32 直线的方程

Y=kx+b

33 直线到点的有向距离

34 二元一次不等式表示的平面区域

35 两条直线的相关位置

36 二元二方程表示两条直线的条件

37 三条直线的相关位置

38 直线系

四 圆

41 圆的定义

42 圆的方程

43 点和圆的相关位置

44 圆的切线

45 点关于圆的切点弦与极线

46 共轴圆系

47 平面上的反演变换

五 椭圆

51 椭圆的定义

52 用平面截直圆锥面可以得到椭圆

53 椭圆的标准方程

54 椭圆的基本性质及有关概念

55 点和椭圆的相关位置

56 椭圆的切线与法线

57 点关于椭圆的切点弦与极线

58 椭圆的面积

六 双曲线

61 双曲线的定义

62 用平面截直圆锥面可以得到双曲线

63 双曲线的标准方程

64 双曲线的基本性质及有关概念

65 等轴双曲线

66 共轭双曲线

67 点和双曲线的相关位置

68 双曲线的切线与法线

69 点关于双曲线的切点弦与极线

七 抛物线

71 抛物线的定义

72 用平面截直圆锥面可以得到抛物线

73 抛物线的标准方程

74 抛物线的基本性质及有关概念

75 点和抛物线的相关位置

76 抛物线的切线与法线

77 点关于抛物线的切点弦与极线

78 抛物线弓形的面积

八 坐标变换·二次曲线的一般理论

81 坐标变换的概念

82 坐标轴的平移

83 利用平移化简曲线方程

84 圆锥曲线的更一般的标准方程

85 坐标轴的旋转

86 坐标变换的一般公式

87 曲线的分类

88 二次曲线在直角坐标变换下的不变量

89 二元二次方程的曲线

810 二次曲线方程的化简

811 确定一条二次曲线的条件

812 二次曲线系

九 参数方程

十 极坐标

十一 斜角坐标

1、表面积

长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。

正方体的表面积＝棱长×棱长×6，S =6a。

圆柱的表面积＝上下底面面积＋侧面积。

2、体积

长方体的体积 =长×宽×高，V =abh。

正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，V=aaa。

圆柱的体积＝底面积×高，V=Sh。

圆锥的体积＝底面积×高÷3。

3、底面积

长方体的底面积＝长x宽。

正方体的底面积＝棱长x棱长。

4、侧面积

圆柱侧面积是底圆的周长乘于高；正方体侧面积是4x一个单面积；长方体侧面积是底的长x高x2+底的宽x高x2。

单位换算

1立方分米＝1000立方厘米＝1000000立方毫米＝1升＝1000毫升＝0061立方英寸。

1立方厘米＝1000立方毫米＝1毫升＝0000061立方英寸。

1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米＝1000000000立方毫米＝0353立方英尺＝13079立方码。

1立方英寸＝0016387立方分米＝16387立方厘米＝16387立方毫米。

1立方英尺＝283立方分米＝28300立方厘米＝28300000立方毫米。

1立方码＝27立方英尺＝07646立方米＝1646立方分米＝164600立方厘米＝164600000立方毫米。

1立方尺＝31143蒲式耳（英）＝32143蒲式耳（美）。

1加仑（美）＝00037854118立方米＝08326741845加仑（英）。

“哪里有数学，哪里就有美！”——古希腊数学家普洛克拉斯。 一提到美，人们总是不禁想到“绕梁三日”的音乐之美；或是想到“巧夺天工”的艺术之美，或是想到“江山如此多娇”的自然之美……然而，现在的绝大多数学生都不会把高中数学和美联系到一起，这也在一定程度上说明我们数学美学教育的欠缺。据调查分析，现在的学生对数学的兴趣是建立在他们优异的初中数学成绩上，而进入高中后，数学难度骤增，导致多数学生的数学成绩骤降，从而一下子失去了对数学的热爱。由爱转恨来的如此的突然就是由于他们对数学是一种“假”的兴趣。而在数学教育中渗透美学教育，能激发学生对数学的“真”的兴趣，而这样的兴趣正是学生最好的老师。 人的爱美天性在青少年时期表现尤为突出，数学教师应当抓住这个最佳时期，不失时机地向学生揭示数学之美，从而愉悦他们的心境，激发他们的兴趣，陶冶他们的性情，塑造他们的灵魂，进而让学生领悟数学美，欣赏数学美，创造数学美。大数学家克莱因认为：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。” 那什么是数学美呢？罗素说：“数学，不但拥有真理，而且也具有至高的美，真正雕刻的美，是一种冷而严肃的美！”数学美不同于绘画，音乐等艺术之美，也不同于鲜花，彩虹等自然之美，它是一种科学力量的感性与理性的显现，是一种人的本质力量通过数学思维结构的呈现，这是一种真实的美，是反映客观世界并能改造客观世界的科学美。数学美不仅有形式的和谐美，而且有内容的严谨美；不仅有具体的公式、定理美，而且有结构、整体美；不仅有语言的简明、精巧美，而且有方法与思路的奇异、统一美；不仅有逻辑、抽象美，而且有创造、应用美。而作为新一代的教师，正是要不断的去挖掘数学美，不断的去传授数学美，让学生感受到数学美，从而激发学生学习数学的兴趣。 新课标背景下，更是要求教师要在数学教育过程中实施美学教育，培养学生的审美能力，从而形成美的心灵，美的灵魂。而如何将美学教育贯彻到数学教学中呢，笔者在近些年的教学过程中，对此感触颇多。 一：简洁的数学美 爱因斯坦说过：“美，本质上终究是简单性。”而数学中的简洁美简直是无处不在。欧拉公式——“V+F-E=2”堪称简洁美的典范。世间的凸多面体无穷无尽，但是他们的面数，顶点数，棱数都符合这个简单的公式。此外，为大家熟知的勾股定理，用一个简单的二次式“ ”描述了全体直角三角形的直角边和斜边的关系。微积分基本定理更是用一个简洁的式子“ ”描述了定积分和原函数之间的关系。纵观整个数学史，伟大的数学家们无不为了追求更加简洁更加通用的定理而付出毕生精力。其中一些像是哥德巴赫猜想这样的富含简洁美的猜想正被无数的数学爱好者们努力攻破着。 我国著名数学家陈省身说过：“数学世界中，简单性和优雅性是压倒一切的。”作为新一代的教育者的我们，必须善于挖掘教材中的简洁美，适时的总结数学公式的简洁与通用，让他们感受到数学的简洁美，从而抓住他们的心。 二．统一的数学美 浩瀚宇宙，包罗万物。宇宙中的天体无穷无尽，而探究宇宙的奥秘一直是人类的追求梦想。面对无数的天体运动，人们研究出它们运行的轨迹或是椭圆，或是双曲线，或是抛物线，而数学上用仅用一句话就能将其统一起来：“到定点的距离与它到定直线的距离比是常数e的轨迹。当时，轨迹是椭圆；当时，轨迹是抛物线；当时，轨迹是双曲线。”数学中的统一美可见一斑。此外，立体几何中，台体的表面积和体积公式更是将椎体和柱体的表面积和体积公式和谐的统一起来。三角函数中，“万能公式”更是将正弦、余弦、正切统一的用正切来表示。何其统一啊，何其美啊！ 而统一美的在教学中尤为重要，教师不仅要善于发现总结统一美，更要及时的将其向学生传授，正是在各种各样的统一美的介绍和学习过程中，让学生进行分析比较，从而从本质上突破难点重点，感受数学的统一美。 三．奇异的数学美 毕达哥拉斯说：“凡物皆数。”他将自然界和数和谐统一起来了。有一次，他的朋友问他：“我和你交朋友，和数有关吗？”他回答说：“朋友是你灵魂的倩影，要象220与284一样亲密。”望着困惑不解的人们，毕达哥拉斯解释道： 220的全部真因子1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110之和为284；而284的全部真因子1、2、4、71、142之和又恰为220。这就是亲密无间的亲和数。真正的朋友也象它们那样。奇异的数学美让听者无不折服，至今还有不少学者对亲和数津津乐道。此外，他还用完美数——所有的真因子和等于本身的数来形容美满的婚姻。高中数学里，圆锥曲线部分，离心率e的值是09999的时候，轨迹还是一个椭圆；而当它变成1时，轨迹却是抛物线；当它再变成10001时，轨迹又变成了双曲线。丁点的变化，却导致图像的截然不同，真是奇异啊。数学中确实是存在着许多奇异美，而正要通过我们的悉心挖掘，让学生感受到数学的神奇。 四．自然的数学美 新课标提出：“数学源自生活，并应用于生活。”生活中的数学处处可见，例如，黄金分割数0618, 它是最和谐的比例关系，具有很高的美学价值。人的肚脐高度和人体总高度之比接近等于0618；主持人主持节目时,站在舞台的黄金分割点位置,不显得呆板,声音传播效果最好；在建筑造型上，黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使整幢大楼显得雄伟雅致。蜜蜂房呈六角形，角度也很精确，钝角 109 ° 32 ′，这样的巢不但节省材料，而且结实坚固，令人类工程师惊叹不已！更另人惊奇的是蜜蜂还知道两点间的最短距离，蜜蜂在花间随意来去采集花蜜后它知道取最直接的路线回到蜂房。 而善于利用自然界以及生活中的数学实例，展示数学的美和自然生活的完美结合，往往能让学生感受到数学的实用性，让学生真正的对数学产生兴趣。 有人说：如果把数学当作诗集来读，那么摆在面前的任何一本数学教程，就会突然从一堆死气沉沉的公式变成洋溢着和谐、充满着绝妙和浸透了对称美的一部诗集。只要我们把数学美融于数学的教学中，那么不但我们的授课变的轻松自然，而且学生也会如释重负，不断提高对数学的兴趣，使教与学达到和谐、完美、统一。 诚然，数学中蕴含的美是博大精深的，数学美不仅以上几点，它几乎贯穿于数学的方方面面。此外数学定理公式的对称性，相似性，和谐性，传递性等都是美的体现；有时候甚至是数学问题都展示着美，解体方法也散发着美的味道。当然数学不像是一首好曲子或是一件旷世的艺术品一样能一眼品出它的美，特别对课业繁重的学生而言，他们受阅历水平，基础知识，数学训练等影响，很难把各色的数学美都品味出来。这就要求教师们需要精心研究，不断从相对枯燥的教材中去发现美，并不失时机的加以引导和培养。展望未来的教育趋势，美育教学和数学教学的结合是必要的，必然的，不仅仅为了唤醒学生日益减弱的数学兴趣，更是为了提高学生的审美能力，从而培养下一代的创造美的能力。

立体几何二面角公式：cosθ=S'/S。平面内的一条直线，把这个平面分为两部分，每一部分都叫作半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角。这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面。

几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其密切。几何思想是数学中最重要的一类思想。暂时的数学各分支发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法去探讨各数学理论。常见定理有勾股定理，欧拉定理，斯图尔特定理等。