为什么说向量是形与数的结合

向量是

数形结合

的

天然桥

　　向量具有

代数和

几何的

双重身份

。向量的几何表示即用

有向线段

表示、向量加法的三角形

运算法则

等等都是运用几何性质解决向量问题的基础。而向量的坐标表示、坐标运算法则是用代数的方法来研究向量，体现了向量集数、形于一身的特点，因此数形结合是学好向量的重要思想方法。在解决向量的夹角、向量的

共线

与垂直等问题时常常借助于图形的几何性质，可以给抽象运算以直观的解释，显得简捷方便。

　　无 题

　　唐·李商隐

　　相见时难别亦难，东风无力百花残。 ①

　　春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干。 ②

　　晓镜但愁云鬓改，夜吟应觉月光寒。 ③

　　蓬山此去无多路，青鸟殷勤为探看。 ④

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　　[注释]

　　①“相见”两句说：相见难得，离别是更难舍难分，又何况是在百花凋谢的暮春时节分别啊！

　　②丝：双关语，与“思”谐音。蜡炬（jù）：蜡烛。泪：蜡烛燃烧时下流的油脂叫“烛泪”。

　　③晓镜：早晨照镜子。云鬓：旧时用以形容妇女浓软如云的鬓发，此借指面容仪态。改：指容颜变得憔悴。月光寒：指处境凄寂。

　　④蓬山：蓬莱山，相传为海中仙山之一。这里借指对方的住处。无多路：没有多远。青鸟：神话中为西王母传递信息的神鸟，这里指信使。探看：探望，慰问。

　　诗人简介

　　李商隐：（约813 — 约858），字义山，号玉溪生，又号樊南生，原籍怀州河内（今河南沁阳），祖迁居荥阳（今属河南）。少习骈文，游于幕府，又学道于济源玉阳山。开成年间进士及第，曾任秘书省校书郎，调弘农尉。宣宗朝先后入桂州、徐州、梓州幕府。复任盐铁推官。一生在牛李党争的夹缝中求生存，备受排挤，潦倒终身。晚年闲居郑州，病逝。其诗多抨击时政，不满藩镇割据宦官擅权。以律绝见长，意境深邃，富于文采，独具特色。为晚唐杰出诗人。

　　李诗特色

　　李商隐是我国唐代后期最为杰出的诗人。继盛唐“大李杜”（李白和杜甫）后，他和杜牧并称为“小李杜”。

　　李商隐诗继承、发展了中国古典诗歌的艺术技巧，成就很高。就内容而言，有政治诗、咏史诗、写景咏物诗和爱情诗几方面。李商隐的政治诗中《行次西郊作一百韵》、《安定城楼》较为出色，表达了奋发进取的精神；他的咏史诗《贾生》、《隋宫》构思新巧、措词委婉、意蕴深长；咏物写景诗也有惊人之笔，如《登乐游原》，境界苍凉悲壮，意蕴含蓄。他的爱情诗是最为人们广泛传诵的。他常取名《无题》，或以诗中两字为题做为此类诗的题目，后人就把无题诗作为爱情诗的别称。其实李商隐的无题诗有两种情况：一种是隐晦朦胧的爱情诗。诗人的对象和恋情在当时是不能公开的，写相思又无法直说，所以写得迷离恍惚。另一种则是借恋情而寄托激愤，抒发感慨，就象他自己所说：“为芳草以怨王孙，借美人以喻君子”。这些无题诗音调谐美，深情绵邈，含蓄隐涩，且富于象征和暗示色彩，将唐代诗歌的抒情艺术推上了一个新的高峰。

　　李诗广纳前人所长，承杜甫七律的沉郁顿挫，融齐梁诗的华丽浓艳，学李贺诗的鬼异幻想，形成了他深情、缠绵、绮丽、精巧的风格。李诗还善于用典，借助恰当的历史类比，使隐秘难言的意思得以表达。

　　赏析

　　在唐时，人们崇尚道教，信奉道术。李商隐在十五六岁的时候，即被家人送往玉阳山学道。其间与玉阳山灵都观女氏宋华阳相识相恋，但两人的感情却不能为外人明知，而作者的心内又奔涌着无法抑制的爱情狂澜，因此他只能以诗记情，并隐其题，从而使诗显得既朦胧婉曲、又深情无限。据考，李商隐所写的以《无题》为题的诗篇，计有二十首，大多是抒写他们两人之间的恋情诗。这首《无题》诗也是如此，并且是其中最为著名的一篇。

　　这首诗，以女性的口吻抒写爱情心理，在悲伤、痛苦之中，寓有灼热的渴望和坚忍的执着精神，感情境界深微绵邈，极为丰富。

　　开头两句，写爱情的不幸遭遇和抒情主人公的心境：由于受到某种力量的阻隔，一对情人已经难以相会，分离的痛苦使她不堪忍受。首句的“别”字，不是说当下正在话别，而是指既成的被迫分离。两个“难”字，第一个指相会困难，第二个是痛苦难堪的意思。前人诗中曾有“别日何易会日难”（曹丕《燕歌行》）“别易会难得”（宋武帝《丁都护歌》）等句，都是以强调重聚之难而感叹离别之苦。李商隐从这里推进一步，表明因为“相见时难”所以“别亦难”——难以割舍、痛苦得难以禁受。诗人在一句之中两次使用“难”字，第二个“难”字的出现，因重复而给人以轻微的突兀感，造成了诗句的绵联纤曲之势，使相见无期的离别之痛因表达方式的低回婉转而显得分外的深沉和缠绵；这样的缠绵情态，在“别易会难得”等平直叙述中是不易体会的。这位抒情主人公既已伤怀如此，恰又面对着暮春景物，当然更使她悲怀难遣。暮春时节，东风无力，百花纷谢，美好的春光即将逝去，人力对此是无可奈何的，而自己的境遇之不幸，和心灵的创痛，也同眼前这随着春天的流逝而凋残的花朵一样，因为美的事物受到摧残，岂不令人兴起无穷的怅惘与惋惜！“东风无力百花残”一句，既写自然环境，也是抒情者心境的反映，物我交融，心灵与自然取得了精微的契合。这种借景物反映人的境遇和感情的描写，在李商隐的笔底是常见的。例如《夜雨寄北》的前两句：“君问归期未有期，巴山夜雨涨秋池。”次句不仅象征诗人留滞巴蜀，而且反映了客子离人的百无聊赖，同“东风无力百花残”一样，写实与象征融为一体，赋予感情以可以感触的外在形态，也就是通常说的寓情于景的抒情方式。

　　三、四句，接着写因为“相见时难”而“别亦难”的感情，表现得更为曲折入微。“春蚕到死丝方尽”中的“丝”字与“思”谐音，全句是说，自己对于对方的思念，如同春蚕吐丝，到死方休。“蜡炬成灰泪始干”是比喻自己为不能相聚而痛苦，无尽无休，仿佛蜡泪直到蜡烛烧成了灰方始流尽一样。思念不止，表现着眷恋之深，但是终其一生都将处于思念中，却又表明相会无期，前途是无望的，因此，自己的痛苦也将终生以随。可是，虽然前途无望，她却至死靡它，一辈子都要眷恋着；尽管痛苦，也只有忍受。所以，在这两句里，既有失望的悲伤与痛苦，也有缠绵、灼热的执着与追求。追求是无望的，无望中仍要追求，因此这追求也着有悲观色彩。这些感情，好象在无穷地循环，难以求其端绪；又仿佛组成一个多面的立体，光从一个角度是不能见其全貌的。诗人只用两个比喻就圆满地表现了如此复杂的心理状态，表明他的联想是很丰富的。“春蚕”句首先是人的眷恋感情之缠绵同春蚕吐丝绵绵不尽之间的联想，又从蚕吐丝到“死”方止而推移到人的感情之生死不渝，因此写出了“到死丝方尽”，使这一形象具有了多种比喻的意义。南朝乐府西曲歌《作蚕丝》：“春蚕不应老（不应，这里是“不顾”的意思），昼夜常怀丝。何惜微躯尽，缠绵自有时。”造意与《无题》的“春蚕”句相近。不过，这里的春蚕“何惜微躯尽”，是在料定“缠绵自有时”、前途颇有希望的情况下产生的意念。《无题》“春蚕”句则不然，就其表现追求精神而言，它表现的追求是无望的，却又是不计希望之有无的，感情境界有差异，联想也更为曲折。以蜡烛的燃烧比喻痛苦的煎熬，在李商隐以前的南朝乐府中，也不少见。如“思君如明烛，中宵空自煎”（王融《自君之出矣》），“思君如夜烛，煎泪几千行”（陈叔达，同题）等皆是。“蜡炬成灰泪始干”同样是用蜡烛作比喻，却不是单一地以蜡泪比拟痛苦，而是还进一步以“成灰始干”反映痛苦的感情终生以随，联想比前人深微复杂得多，形象的底蕴也因此而丰富得多了。

　　以上四句着重揭示内心的感情活动，使难以言说的复杂感情具体化，写得很精彩。五六句转入写外向的意念活动。上句写自己，次句想象对方。“云鬓改”，是说自己因为痛苦的折磨，夜晚辗转不能成眠，以至于鬓发脱落，容颜憔悴，亦即六朝诗人吴均所说“绿鬓愁中改，红颜啼里灭”（《和萧洗马子显古意六首》）的意思。但是，《无题》“晓镜”句说的是清晨照镜时为“云鬓改”而愁苦，并且是“但愁”——只为此而愁。这就生动地描写了纡折婉曲的精神活动，而不再是单纯地叙述青春被痛苦所消磨这件事了。自己于夜间因痛苦而憔悴，清晨又为憔悴而痛苦。夜间的痛苦，是因为爱情的追求不得实现；次日为憔悴而愁，是为了爱情而希望长葆青春，总之，为爱情而憔悴，而痛苦，而郁悒。这种昼夜廻环、缠绵往复的感情，仍然表现着痛苦而执着的心曲。“夜吟”句是推己及人，想象对方和自己一样痛苦。他揣想对方大概也将夜不成寐，常常吟诗遣怀，但是愁怀深重，无从排遣，所以愈发感到环境凄清，月光寒冷，心情也随之更趋暗淡。月下的色调是冷色调，“应觉月光寒”是借生理上冷的感觉反映心理上的凄凉之感。“应”字是揣度、料想的口气，表明这一切都是自己对于对方的想象。想象如此生动，体现了她对于情人的思念之切和了解之深。

　　想象愈具体，思念愈深切，便愈会燃起会面的渴望。既然会面无望，于是只好请使者为自己殷勤致意，替自己去看望他。这就是结尾两句的内容。诗词中常以仙侣比喻情侣，青鸟是一位女性仙人西王母的使者，蓬山是神话、传说中的一座仙山，所以这里即以蓬山用为对方居处的象征，而以青鸟作为抒情主人公的使者出现。这个寄希望于使者的结尾，并没有改变“相见时难”的痛苦境遇，不过是无望中的希望，前途依旧渺茫。诗已经结束了，抒情主人公的痛苦与追求还将继续下去。

　　这首诗，从头至尾都融铸着痛苦、失望而又缠绵、执着的感情，诗中每一联都是这种感情状态的反映，但是各联的具体意境又彼此有别。它们从不同的方面反复表现着融贯全诗的复杂感情，同时又以彼此之间的密切衔接而纵向地反映以这种复杂感情为内容的心理过程。这样的抒情，联绵往复，细微精深，成功地再现了心底的绵邈深情。

　　诗中一、三、四、五各句，都可以从李商隐以前的诗歌创作中发现相似的描写。在前人创作的薰陶和启发下，诗人有所继承和借鉴。但是他并没有简单地模仿前人，而是以很高的创造性，向前跨进了一大步，把原来比较朴素的表现手段改造得更曲折、生动，用以反映更为丰富、深刻的思想感情，实际上已经脱去旧的形迹，成为新的创造了。从这里可以看出，诗人丰富的文学修养与他对于意境和表现手段的探索，是这首诗取得成就的重要条件。

数形结合思想在解题中的应用

一、知识整合

1数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且解法简捷所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想通过"以形助数,以数解形",使复杂问题简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合

2实现数形结合,常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义

3纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究"以形助数"

4数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域,最值问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野

数形结合思想在小学数学中的应用：数形结合思想在“数与代数”知识领域中的渗透、数形结合思想在“图形与几何”知识领域中的渗透、数形结合思想在“统计与概率”知识领域中的渗透、数形结合思想在“综合与实践”知识领域中的渗透。

1、数形结合思想在“数与代数”知识领域中的渗透：数与代数是义务教育阶段数学课程的重要知识内容。而小学阶段是以数的运算为主，所以计算教学是小学数学教学中重要的组成部分。新的计算教学理念要求学生不仅会用笔算、口算等进行正确的计算。

2、数形结合思想在“图形与几何”知识领域中的渗透：在小学中高年级的教学中，我们要注重运用直观图形，巧妙地把数和形结合起来，把抽象的数学知识直观化，帮助学生形成空间概念。

3、数形结合思想在“统计与概率”知识领域中的渗透：在“统计与概率”方面，主要把统计表的数据转化成统计图，有条形统计图、折线统计图、扇形统计图，通过数与形的结合，让学生更好地分析数据的特点来解决问题。

4、数形结合思想在“综合与实践”知识领域中的渗透：把从直观图形支持下得到的模型应用到现实生活中，沟通图形及具体数量之间的联系，强化对题意的理解。运用数形结合，借助于形象的图形来解题，对于学生来说，不仅学得有趣、简单，而且还能发展学生的思维能力。

1621年他退出了军界后，与数学家迈多治等朋友云集巴黎，共同探讨数学和其他科学方面的问题。当时的法国封建专制统治和教会的势力还很强大，性格一向谨小慎微的笛卡尔，慑于法国宗教势力的*威，于1628年移居荷兰。那里资产阶级革命已经成功，社会比较安定，思想自由，是搞学术研究的好地方。笛卡尔没有想到，这一去会长达20年之久，又是他一生中科学研究的最辉煌的时期。

他潜心于数学研究，发现两千多年来，人们在探索几何三大难题的解决时，一直在从“形”上去探求它的答案，还不曾有人怀疑这种方法的可能性。那么能不能把“形”化为“数”来研究呢？“形”和“数”之间有没有必然的联系呢？自从来到荷兰后，这个问题，一直在困扰着他。

艰苦的脑力活动，使体质虚弱的笛卡尔病倒了。他躺在病床上，却依然在思索着数学问题。突然，他眼前一亮，原来天花板上，一只蜘蛛正忙忙碌碌地在墙角编织着蛛网。一会儿，它在天花板上爬来爬去，一会儿又顺着吐出的银丝在空中移动。随着蜘蛛的爬动，它和两面墙的距离，以及地面的距离，也不断地改动着。这一刹那，一种新的数学思想萌动了，困扰了他多年的“形”与“数”的问题，终于找到答案了。

真可谓踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫，性格一向很内向的笛卡尔兴奋得不顾虚弱的病体，一骨碌从床上爬起来，迫不及待地将这一瞬间的灵感描述出来。

他发现了这样的规律：如果在平面上放上任何两条相交的直线，假定这两条线互成直角，用点到两条垂直直线的距离来表示点的位置，就可以建立起点的坐标系。

就像数学中所有真正伟大的东西一样，这个发现的基本概念简单到了近乎一目了然的程度。这样应用坐标的方法，就建立了平面上点和作为坐标的数对(x，y)之间的一一对应关系，进一步构成了平面上点与平面上曲线之间的一一对应关系，从而把数学的两大形态——形与数结合了起来。不仅如此。笛卡尔还用代数方程描述几何图形，用几何图形表示代数方程的计算结果，从而创造出了用代数方法解决几何题的一门崭新学科——解析几何学。

解析几何的诞生，改变了从古希腊开始的代数与几何分离的趋向，从而推动了数学的巨大进步。17世纪以来的数学重大发展，其中包括古希腊三大几何难题的解决、微积分理论的建立等，在很大程度上应归功于笛卡尔的解析几何。

解析几何的重大贡献，还在于它恰好提供了科学家们早已迫切需要的数学工具。17世纪是资本主义迅速发展的时代，资本主义的发展，促进了天文、航海和科学技术的发展，对数学提出了新的要求。

例如，要确定船只在大海中的位置，就要确立经纬度，这就需要更精确地掌握天体运行的规律；要改善枪炮的性能，就要精确地掌握抛物体的运行规律。而在这些研究中，涉及的已不是常量而是变量，这些变量还是相互联系的，是传统的孤立、静止的数学方法解决不了的。

解析几何正好满足了科研的这种需要，因为它可以用字母表示流动坐标，用方程刻画一般平面曲线，用代数演算代替古老陈旧的欧几里得纯逻辑推导而求出数量关系来，这就是说，解析几何使变数进入了数学，亦即使运动进入了数学，为微积分的创立奠定了基础。

正如后来法国数学家格拉朗日在其《数学概要》中说的：“只要代数与几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结成伴侣时，它们就互相吸取新鲜活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”解析几何，正是笛卡尔留给我们的最宝贵的科学财富。

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

举例：

1、画线段图分析应用题。

2、根据图形的个数不同找规律。

3、平方差公式的推导。

数形结合

中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识,如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识,如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识,主要体现是解析几何

数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决“数”与“形”是一对矛盾,宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一华罗庚先生说过：数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休

数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围

数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的