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生活中的数学

有一个谜语：有一样东西，看不见、摸不着，但它却无处不在，请问它是什么？谜底是：空气。而数学，也像空气一样，看不见，摸不着，但它却时时刻刻存在于我们身边。

奇妙的“黄金数”

取一条线段，在线段上找到一个点，使这个点将线段分成一长一短两部分，而长段与短段的比恰好等于整段与长段的比，这个点就是这条线段的黄金分割点。这个比值为：1：0618…而0618…这个数就被叫作“黄金数”。

有趣的事，这个数在生活中随处可见：人的肚脐是人体总长的黄金分割点；有些植物茎上相邻的两片叶子的夹角恰好是把圆周分成1：0618…的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。

建筑师们对数0618…特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎圣母院，或是近代的埃菲尔铁塔，都少不了0618…这个数。人们还发现，一些名画，雕塑，摄影的主体大都在画面的0618…处。音乐家们则认为将琴马放在琴弦的0618…处会使琴声更柔和甜美。

数0618…还使优选法成为可能。优选法是一种求最优化问题的方法。如在炼钢时需要加入某种化学元素来增加钢材的强度，假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在1000—2000克之间。为了求得最恰当的加入量，通常是取区间的中点进行试验，然后将实验结果分别与1000克与2000克时的实验结果作比较，从中选取强度较高的两点作为新的区间，再取新区间的中点做实验，直到得到最理想的效果为止。但这种方法效率不高，如果将试验点取在区间的0618处，效率将大大提高，这种方法被称作“0618法”，实践证明，对于一个因素的问题，用“0618法”做16次试验，就可以达到前一种方法做2500次试验的效果！

“黄金数”在生活中竟有如此多的实例和运用。或许，在它的身上，还有更多的奥秘，等待我们去探寻，使它能更好地为我们服务，为我们解决更多问题。

谈谈黄金分割与摄影构图by Klaus Schroiff

　　让我们从介绍这个数世纪以来已经为人们所熟知的技巧开始谈这一话题，“黄金分割”是一种由古希腊人发明的几何学公式，遵循这一规则的构图形式被认为是“和谐”的，在欣赏一件形象作品时这一规则的意义在于提供了一条被合理分割的几何线段，对许多画家/艺术家来说“黄金分割”是他们在现时的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外。

　　原理1

　　如图A：“黄金分割”公式可以从一个正方形来推导，将正方形底边分成二等分，取中点X，以X为圆心，线段XY为半径作圆，其与底边直线的交点为Z点，这样将正方形延伸为一个比率为5︰8的矩形，（Y’点即为“黄金分割点”）， A︰C = B︰A = 5︰8。幸运的是，35MM胶片幅面的比率正好非常接近这种5︰8的比率（24︰36 = 5︰75）

　　图A

原理2

　　如图B：通过上述推导我们得到了一个被认为很完美的矩形，连接该矩形左上角和右下角作对角线，然后从右上角向Y’点（黄金分割点，见图A）作一线段交于对角线，这样就把矩形分成了三个不同的部分。现在，在理论上已经完成了黄金分割，下一步就可以将你所要拍摄的景物大致按照这三个区域去安排，也可以将示意图翻转180度或旋转90度来进行对照。

　　图B，

图B-1

三分法则

　　“三分法则”实际上仅仅是“黄金分割”的简化版，其基本目的就是避免对称式构图，对称式构图通常把被摄物置于画面中央，这往往令人生厌。在图C1和C2中，可以看到与“黄金分割”相关的有四个点，用“十”字线标示。用“三分法则”来避免对称在使用中有两种基本方法，第一种：我们可以把画面划分成分别占1/3和2/3面积的两个区域。

　　图C1

图C1-1

　　第二种：直接参照图示的四个“黄金分割”点。例如，设想我们看到了非常引人入胜的风景，但缺少具有优美几何结构的被摄主体，这样拍出来的照片只会是一个空洞泛味的场景，那该如何处理呢？试着寻找一个与这种单调的环境形成鲜明对比的物体，并将这一被摄物置于如图C2中的其中一个“十”字点位置，这样照片就有了一个明显的锚点，并将观众的目光由此出发引导至整个风景。

图C2

图C2-1

天然画框

　　有时在我们看到的场景中有一个引人注目的被摄主体，但往往由于主体周围杂乱的环境分散了观众的注意力而削弱了主体的吸引力，使照片最终的效果令人很失望。试试寻找一个能够排除杂乱环境干扰的天然画框使观众注意力集中于被摄主体，如图D利用主体周围的树枝形成一个天然画框从而使中间的山岩更为突出。

　　图D

　　如图E的天然岩洞口也是一个极好的画框。

　　图E

　　交叉线

　　交叉线/对角线实际上又是“黄金分割”的另一形式，其基本思想是提供了一条指引你视线的引导线，较为理想的是某两个边角之间的连线。传统的方法认为左上角是最好的起始点，因为大多数人习惯从这里开始浏览一幅图画（译者注：这一观点其实很多人看法不同）。但这种对角线如果是单一的直线往往会很平泛而令人厌烦，所以总要在图中有某种点缀（如图G）。 图F中出现了一个多条斜线集聚的焦点，让观众的眼睛可以多方向地沿着引导线浏览而使画面生动有趣。

　　图F-by Horst Schneider

　　图G中有两个锚点：小船和凉亭，恰到好处的点缀打破了原本很泛味的对称。

　　图G-by Horst Schneider

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人体美学中的黄金分割

人体美学观察受到种族、社会、个人各方面因素的影响，牵涉到形体与精神、局部与整体的辩证统一，只有整体的和谐、比例协调，才能称得上一种完整的美。本次讨论的问题主要为美学观察的一些定律。

（一）黄金分割律 这是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。这其实是一个数字的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比为1618 : 1或1 : 0618，也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积。0618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。 为什么人们对这样的比例，会本能地感到美的存在？其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关。据研究，从猿到人的进化过程中，骨骼方面以头骨和腿骨变化最大，躯体外形由于近似黄金而矩形变化最小，人体结构中有许多比例关系接近0618，从而使人体美在几十万年的历史积淀中固定下来。人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标准，由物及人，由人及物，推而广之，凡是与人体相似的物体就喜欢它，就觉得美。于是黄金分割律作为一种重要形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！ 近年来，在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”（物体短段与长段之比值为 0618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为 0618的长方形）和2个“黄金指数”（两物体间的比例关系为 0618）。 黄金点：(1)肚脐：头顶－足底之分割点；(2)咽喉：头顶－肚脐之分割点；(3)、(4)膝关节：肚脐－足底之分割点；(5)、(6)肘关节：肩关节－中指尖之分割点；(7)、(8)乳头：躯干乳头纵轴上这分割点；(9)眉间点：发际－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；(10)鼻下点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(11)唇珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；(12)颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(13)左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点；(14) 右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。 面部黄金分割律 面部三庭五眼 黄金矩形：(1)躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长；(2)面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长；(3)鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长；(4)唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长；(5)、(6)手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿龈径为长。

黄金指数：(1)反映鼻口关系的鼻唇指数：鼻翼宽与口角间距之比近似黄金数；(2)反映眼口关系的目唇指数：口角间距与两眼外眦间距之比近似黄金数。 0618，作为一个人体健美的标准尺度之一，是无可非议的，但不能忽视其存在着“模糊特性”，它同其它美学参数一样，都有一个允许变化的幅度，受种族、地域、个体差异的制约。

（二）比例关系 是用数字来表示人体美，并根据一定的基准进行比较。用同一人体的某一部位作为基准，来判定它与人体的比例关系的方法被称为同身方法（见中图）。分为三组：系数法，常指头高身长指数，如画人体有坐五、立七，即身高在坐位时为头高的五倍、立位时为7或75倍；百分数法，将身长视为100%，身体各部位在其中的比例；两分法：即把人体分成大小两部分，大的部分从脚到脐，小的部分为脐到头顶。 标准的面型，其长宽比例协调，符合三停五眼（见右图）。三停是指脸型的长度，从头部发际到下颏的距离分为三等分，即从发际到眉、眉到鼻尖、鼻尖到下颏各分为一等分，各称一停共三停；五眼是指脸型的宽度，双耳间正面投影的长度为五只眼裂的长度，除眼裂外、内此间距为一眼裂长度、两侧外眦角到耳部各有一眼裂长度，

其次，黄金后一也是一个神秘的数字。在中国传统文化中，数字有着非常重要的意义。黄金后一的数字是9，这个数字在中国传统文化中被认为是一个非常吉利的数字。有些人认为，黄金价格的后一位数字为9时，会带来好运和财富。

1黄金比例的应用

3黄金螺旋的应用

2黄金角度的应用

三、黄金后一的应用

最后，黄金后一也是一个有趣的数字。在黄金市场中，有些交易者会根据黄金后一的数字来制定自己的交易策略。有些人会在黄金价格的后一位数字为9时买入黄金，因为他们相信这个数字会带来好运。而有些人则会在黄金价格的后一位数字为4或6时买入或卖出黄金，因为这两个数字在中国传统文化中被认为是坏运数字。

黄金分割是一个古老的数学方法。对它的各种神奇的作用和魔力，数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发挥我们意想不到的作用。数学家法布兰斯在13世纪写了一本书，关于一些奇异数字的组合。这些奇异数字的组合是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、 233┅┅ 任何一个数字都是前面两数字的总和 2＝1＋1、3＝2＋1、5＝3＋2、8＝5＋3┅┅，如此类推。有人说这些数字是他从研究金字塔所得出。金字塔和上列奇异数字息息相关。金字塔的几何形状有五个面，八个边，总数为十三个层面。由任何一边看入去，都可以看到三个层面。金字塔的长度为5813寸（5-8-13），而高底和底面百分比率是0． 618，那即是上述神秘数字的任何两个连续的比率，譬如55/89＝0．618，89/144＝0．618，144/233＝0．618。

另外，一个金字塔五角塔的任何一边长度都等于这个五角型对角线（Diagonal）的0．618。还有，底部四个边的总数是36524．22寸，这个数字等于光年的一百倍！

这组数字十分有趣。0．618的倒数是1．618。譬如14/89＝1．168、233/144＝1．168，而0．618×1．168＝就等于1。另外有人研究过向日葵，发现向日葵花有89个花辫，55个朝一方，34个朝向另一方。神秘？不错，这组数字就叫做神秘数字。而0．618，1．618就叫做黄金分割率（Golden Section）。

在这里，我们将说明如何得到黄金分割线，并根据它们指导下一步的买卖股票 的操作。

黄金分割线分为两种:单点的黄金分割线和两点黄金分割线

以下就是方法：画单点有两个因素（一是黄金数字，二是最高或最低点）

画黄金分割线的第一步是记住若干个特殊的数字：

0191 0382 0618 0809

最为重要，股价极容易在由这4个数产生 的黄金分割线处产生支撑和压力。

第二步是找到一个点。这个点是上升行情结束，调头向下的最高点，或者是下 降行情结束，调头向上的最低点。当然，我们知道这里的高点和低点都是指一 定的范围，是局部的。只要我们能够确认一趋势(无论是上升还是下降)已经结 束或暂时结束，则这个趋势的转折点就可以作为进行黄金分割的点。这个点一 经选定，我们就可以画出黄金分割线了。

在上升行情开始调头向下时，我们极为关心这次下落将在什么位置获得支撑。 黄金分割提供的是如下几个价位。它们是由这次上涨的顶点价位分别乘上上面 所列的几个特殊数字中的几个。假设，这次上涨的顶点是10元，则 这几个价位极有可能成为支撑，其中618和382的可能性最大。

同理，在下降行情开始调头向上时，我们关心上涨到什么位置将遇到压力。黄 金分割线提供的位置是这次下跌的底点价位乘上上面的特殊数字。假设，这次 下落的谷底价位为10元，则

巧用黄金分割线判断支撑位或压力位

在对行情进行技术分析时,黄金分割线是较为常用的一种分析工具,其主要作用是运用黄金分割率预先给出股指或个股的支撑位或压力位,以便于在可能的目标位附近提前做好操作上的准备。

黄金分割线是利用黄金分割比率的原理对行情进行分析,并依此给出各相应的切线位置。黄金分割的原理源自于弗波纳奇数列,众所周知的黄金分割比率0618是弗波纳奇数列中相邻两个数值的比率,同时据此又推算出0191、0382、0809等较为重要的比率。其中,黄金分割中最常用的比率为0382、0618,将此应用到股市的行情的分析中,可以理解为上述比率所对应位置一般容易产生较强的支撑与压力。在一轮中级行情结束后,股指或股价的趋势会向此前相反的方向运动,这时无论是由跌势转为升势或是由升势转为跌势,都可以以最近一次趋势行情中的重要高点和低点之间的涨跌幅作为分析的区间范围,将原涨跌幅按0191、0382、050、0618、0809划分为5个黄金分割点,股价在行情反转后将可能在这些黄金分割点上遇到暂时的阻力或支撑。

在应用黄金分割线与百分比线时需要注意的是:对于黄金分割线而言,最重要的两条线为0382和0618。在反弹行情中0382位置为弱势的反弹目标位,0618位置为强势反弹的目标位。而在回调过程中,若是强势回调,则0382线处应有较强的支撑。若是弱势回调,0618线处才是强支撑位。

例如,某段行情回档支撑位可用下面的公式来计算:

某段行情回档支撑位＝某段行情高点-(某段行情高点-某段行情最低点)÷0382(或0618)。

举例：当下跌行情结束前，某股的最低价10元，那么，股价反转上升时，投资人可以预先计算出各种不同的反压价位，也主不是10×（1＋19．1％）＝11．9元，10×（1＋38．2％）＝13．8，1＝×（1＋61．8％）＝16．2元，10×（1＋80．9％）＝18．1元，10×（1＋100％）＝20元，10＋（1＋119．1％）＝21．9元，然后，再依照实际股价变动情形做斟酌。

反之上升行情结束前，某股最高价为30元，那么，股价反转下跌时，投资人也可以计算出各种不同的持价位，也就是30×（1－19．1％）＝24．3元，30×（1－38．2％）＝18．5元，30×（1－61．8％）＝11．5元，30×（1－80．9％）＝5．7元。然后，依照实际变动情形做斟酌。

黄金分割理论及其运用的要点

黄金分割数据经常被分析师做为分析和预测的工具，却很少被一般的投资者用来做操盘指导。因为它好象让人感觉很虚，并且总是事后诸葛亮。其实，只要充分理解了黄金分割理论的含义，探索出一套巧妙的运用方法，你总可以先人一 步走在前面。

黄金分割运用的要点：

一、分割计算以一波行情的底到顶做为区间。不同区间反映的结果表达不同级别的行情。

二、一波上升行情，如果回调到强势区间调整并站稳，就会继续上升，目标是再出新高，但高点将受趋势线压制。 强势区的站稳是指走出一个整理形态，在这个整理形态完成时不破位为稳。

、一波上升行情，如果下跌到强势区间以下整理，则继续下跌的成数较大，因为，在强势区位下方整理时60单位线已经转向并压制着价格了。此时下跌目标看下面的弱势位。通常弱势位已接近上升轨的底边，是保持上升的极限。如果在这个位置都站不住继续下探的话，则行情就会转向了。

弱势位的企稳通常是圆底或平台，一般是无量盘过压力位。有量而不能站在弱势区上则显示走势更弱。

四、回调的中位在短线行情中多数为探针触及，很少停留，操作意义不大。而在大周期的形态中可以做为强势调整位的参考位。

黄金分割运用对策：一轮下跌的起点通常由顶背离，轨顶或一个明显高点算起。然后直到完成一组下跌波浪，碰下轨。如果开始反弹，则以一轮下跌的高低点作为区间，以%分割之，则反弹目标由强、中、弱三点组成。

如果上升的形态A浪已达弱位之上，则经整理平台B浪后，有望上攻强位。达到该位后价格已接近轨道边和密集区了。

通常，反弹的高度连弱位都过不去就横盘，则为极弱，盘到均线压下来时就会再跌。而反弹到强位后，只要大方向没改变，通常也会开始下跌。所以在上升时，每一次的拉升都以%分割量之，以确定操作方针。

黄金分割率的神密数字由于没有理论作为依据，所以有人批评是迷信，是巧合，但自然界的确充满一些奇妙的巧合，一直难以说出道理。

黄金分割率为艾略特所创的波浪理论所套用，成为世界闻名的波浪的骨干，广泛地为投资人士所采用。神秘数字是否真的只是巧合呢？还是大自然一切生态都可以用神秘数字解释呢？这个问题只能见仁见智。但黄金分割率在股市上无人不知，无人不用，作为一个投资者不能不此研究，只是不能太过执着而已

"黄金数"与优选法

����两千多年前，古希腊数学家欧多克斯发现：如果将一条线段（AB）分割成大小两段（AP、PB），若小段与大段的长度之比恰好等于大段的长度与全长之比的话，那么，这一比值等于0618……，用式子表示就是：PB/AP=AP/AB=0618……。 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人的肚脐是人体总长的黄金分割点，门窗的宽长之比也是0618……；有些植物茎上，两张相邻叶柄的夹角也恰好把圆分成1：0618……的两条半径的夹角。而且这种角度对植物通风和采光效果最佳。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0618……处。

数字0618……更为数学家所关注，它的出现，不仅解决了许多数学难题，而且还使优选法成为可能。优选法是一种求最优化问题的方法。如在炼钢时需要加入某种化学元素来曾加钢材的强度，假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在1000--2000克之间，为了求得最恰当的加入量，需要在1000克与2000克这个区间中进行试验。通常取区间的中点（即1500克）作试验。然后将试验结果分别与1000克和2000克时的实验结果作比较，依次下去，直到取得最理想的结果。这种实验法称为对分法。但这并不是最快的实验方法，如果将实验点取在区间的0618处，那么实验的次数将大大减小，这就是一维的优选法，也称0618法。因此大画家达·芬奇把0618……称为黄金数。

植物中的神秘数字

扑克牌上的“梅花”并非梅花，甚至不是花，而是三叶草。在西方历史上，三叶草是一种很有象征意义的植物，据说第一叶代表希望，第二叶代表信心，第三叶代表爱情，而如果你找到了四叶的三叶草，就会交上好运，找到了幸福。在野外寻找四叶的三叶草，是西方儿童的一种游戏，不过很难找到，据估计，每一万株三叶草，才会出现一株四叶的突变型。

在中国，梅花有着类似的象征意义。民间传说梅花五瓣代表着五福。民国把梅花定为国花，声称梅花五瓣象征五族共和，具有敦五伦、重五常、敷五教的意义。但是梅花有五枚花瓣并非独特，事实上，花最常见的花瓣数目就是五枚，例如与梅同属蔷薇科的其他物种，像桃、李、樱花、杏、苹果、梨等等就都开五瓣花。常见的花瓣数还有：3枚，鸢尾花、百合花（看上去6枚，实际上是两套3枚）；8枚，飞燕草；13枚，瓜叶菊；向日葵的花瓣有的是21枚，有的是34枚；雏菊的花瓣有的是34、55或89枚。而其他数目花瓣的花则很少。为什么花瓣数目不是随机分布的？3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,这些数目有什么特殊吗？

有的，它们是斐波纳契数。斐波纳契（1170-1240）是中世纪意大利数学家，他不是在数花瓣数目，而是在解一道关于兔子繁殖的问题时，得出了这个数列。假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在长到一个月大小时开始交配，在第二月结束时，雌兔子产下另一对兔子，过了一个月后它们也开始繁殖，如此这般持续下去。每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对兔子，假定没有兔子死亡，在一年后总共会有多少对兔子？

在一月底，最初的一对兔子交配，但是还只有1对兔子；在二月底，雌兔产下一对兔子，共有2对兔子；在三月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有3对兔子；在四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔子，共有5对兔子；……如此这般计算下去，兔子对数分别是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 看出规律了吗？从第3个数目开始，每个数目都是前面两个数目之和。

植物似乎对斐波纳契数着了迷。不仅花，还有叶、枝条、果实、种子等等形态特征，都可发现斐波纳契数。叶序是指叶子在茎上的排列方式，最常见的是互生叶序，即在每个节上只生1叶，交互而生。任意取一个叶子做为起点，向上用线连接各个叶子的着生点，可以发现这是一条螺旋线，盘旋而上，直到上方另一片叶子的着生点恰好与起点叶的着生点重合，做为终点。从起点叶到终点叶之间的螺旋线绕茎周数，称为叶序周。不同种植物的叶序周可能不同，之间的叶数也可能不同。例如榆，叶序周为1（即绕茎1周），有2叶；桑，叶序周为1，有3叶；桃，叶序周为2，有5叶；梨，叶序周为3，有8叶；杏，叶序周为5，有13叶；松，叶序周为8，有21叶……用公式表示（绕茎的周数为分子，叶数为分母），分别为1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, ……这些是最常见的叶序公式，据估计大约有90％植物属于这类叶序，而它们全都是由斐波纳契数组成的。

你如果观察向日葵的花盘，会发现其种子排列组成了两组相嵌在一起的螺旋线，一组是顺时针方向，一组是逆时针方向。再数数这些螺旋线的数目，虽然不同品种的向日葵会有所不同，但是这两组螺旋线的数目一般是34和55、55和89或89和144，其中前一个数字是顺时针线数，后一个数字是逆时针线数，而每组数字都是斐波纳契数列中相邻的两个数。再看看菠萝、松果上的鳞片排列，虽然不像向日葵花盘那么复杂，也存在类似的两组螺旋线，其数目通常是8和13。有时候这种螺旋线不是那么明显，需要仔细观察才会注意到，例如花菜。如果你拿一颗花菜认真研究一下，会发现花菜上的小花排列也形成了两组螺旋线，再数数螺旋线的数目，是不是也是相邻的两个斐波纳契数，例如顺时针5条，逆时针8条？掰下一朵小花下来再仔细观察，它实际上是由更小的小花组成的，而且也排列成了两条螺旋线，其数目也是相邻的两个斐波纳契数。

为什么植物如此偏爱斐波纳契数？这和另一个更古老的、早在古希腊就被人们注意到甚至去崇拜它的另外一个“神秘”数字有关。假定有一个数φ，它有如下有趣的数学关系：

φ^2 - φ^1 -φ^0 =0

即：

φ^2 -φ -1 =0

解这个方程，有两个解：

(1 + √5) / 2 = 16180339887(1 - √5) / 2 = - 06180339887

注意这两个数的小数部分是完全相同的。正数解（16180339887）被称为黄金数或黄金比率，通常用φ表示。这是一个无理数（小数无限不循环，没法用分数来表示），而且是最无理的无理数。同样是无理数，圆周率π用22/7，自然常数e用19/7, √2用7/5就可以很精确地近似表示出来，而φ则不可能用分母为个位数的分数做精确的有理近似。

黄金数有一些奇妙的数学性质。它的倒数恰好等于它的小数部分，也即1/φ = φ-1，有时这个倒数也被称为黄金数、黄金比率。如果把一条直线AB用C点分割，让AB/AC = AC/CB，那么这个比等于黄金数，C点被称为黄金分割点。如果一个等腰三角形的顶角是36度，那么它的高与底线的比等于黄金数，这样的三角形称为黄金三角形。如果一个矩形的长宽比是黄金数，那么从这个矩形切割掉一个边长为其宽的正方形，剩下的小矩形的长宽比还是黄金数。这样的矩形称为黄金矩形，它可以用上述的方法无限切割下去，得到一个个越来越小的黄金矩形，而如果把这些黄金矩形的对角用弧线连接起来，则形成了一个对数曲线。常见的报纸、杂志、书、纸张、身份证、信用卡用的形状都接近于黄金矩形，据说这种形状让人看上去很舒服。的确，在我们的生活中，黄金数无处不在，建筑、艺术品、日常用品在设计上都喜欢用到它，因为它让我们感到美与和谐。

那么黄金数究竟和斐波纳契数有什么关系呢？根据上面的方程：φ^2 -φ -1 =0，可得：

φ = 1 + 1/φ = 1 + 1/ (1 + 1/φ) = = 1 + 1/( 1 + 1/( 1 + 1/( 1 +)))

根据上面的公式，你可以用计算器如此计算φ：输入1，取倒数，加1，和取倒数，加1，和取倒数，……，你会发现总和越来越接近φ。让我们用分数和小数来表示上面的逼近步骤：

φ ≈ 1 φ ≈ 1 + 1/1 = 2/1 = 2φ ≈ 1 + 1/(1+1/1) = 3/2 = 15φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+1)) = 5/3 = 1666667φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+1))) = 8/5 = 16φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+1)))) = 13/8 = 1625φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+1))))) = 21/13 = 1615385φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+1)))))) = 34/21 = 1619048φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+(1+1))))))) = 55/34 = 1617647φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+(1+(1+1)))))))) = 89/55 = 1618182

发现了没有？以上分数的分子、分母都是相邻的斐波纳契数。原来相邻两个斐波纳契数的比近似等于φ，数目越大，则越接近，当无穷大时，其比就等于φ。斐波纳契数与黄金数是密切联系在一起的。植物喜爱斐波纳契数，实际上是喜爱黄金数。这是为什么呢？莫非冥冥之中有什么安排，是上帝想让世界充满了美与和谐？

植物的枝条、叶子和花瓣有相同的起源，都是从茎尖的分生组织依次出芽、分化而来的。新芽生长的方向与前面一个芽的方向不同，旋转了一个固定的角度。如果要充分地利用生长空间，新芽的生长方向应该与旧芽离得尽可能的远。那么这个最佳角度是多少呢？我们可以把这个角度写成360°× n，其中0＜n ＜1，由于左右各有一个角度是一样的（只是旋转的方向不同），例如n=04和n=06实际上结果相同，因此我们只需考虑 05≤n＜1的情况。如果新芽要与前一个旧芽离得尽量远，应长到其对侧，即n = 05 =1/2，但是这样的话第2个新芽与旧芽同方向，第3个新芽与第1个新芽同方向，……，也就是说，仅绕1周就出现了重叠，而且总共只有两个生长方向，中间的空间都浪费了。如果06 = 3/5 呢？绕3周就出现重叠，而且总共也只有5个方向。事实上，如果n是个真分数 p/q，则意味着绕p周就出现重叠，共有q个生长方向。

显然，如果n是没法用分数表示的无理数，就会“有理”得多。选什么样的无理数呢？圆周率π、自然常数e和√2都不是很好的选择，因为它们的小数部分分别与1/7, 5/7和2/5非常接近，也就是分别绕1, 5和2周就出现重叠，分别总共只有7, 7和5个方向。所以结论是，越是无理的无理数越好，越“有理”。我们在前面已经提到，最无理的无理数，就是黄金数φ≈1618。也就是说，n的最佳值≈0618，即新芽的最佳旋转角度大约是360°× 0618 ≈ 2225°或 1375°。

前面已提到，最常见的叶序为1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13和8/21，表示的是每周有多少片叶子，如果我们要把它们换算成n（表示每片叶子绕多少周），只需用1减去叶序，为1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21。它们是相邻两个斐波纳契数的比值，是不同程度地逼近1/φ。在这种情形下，植物的芽可以有最多的生长方向，占有尽可能多的空间。对叶子来说，意味着尽可能多地获取阳光进行光合作用，或承接尽可能多的雨水灌溉根部；对花来说，意味着尽可能地展示自己吸引昆虫来传粉；而对种子来说，则意味着尽可能密集地排列起来。这一切，对植物的生长、繁殖都是大有好处的。可见，植物之所以偏爱斐波纳契数，乃是在适者生存的自然选择作用下进化的结果，并不神秘。

0618黄金分割具体就是最好的分割比例。把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0618。

由于按上述比例设计的造型十分美丽，使用价值极高，因此这样的分割被称为黄金分割，这个近似比值0618称为黄金分割比，也称中外比。黄金分割具有严格的比例性、艺术性及和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例。

黄金分割的故事。

黄金分割的故事发生在公元前6世纪，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯一次经过一家铁匠铺，打铁传出的悦耳声音拽住了他的脚步，好奇的他进了铺子，端详现场，他发现铁砧和铁锤的大小比例近乎于1∶0618。

回家后，他接着让学生分割木棒，把木棒分为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，近似值为0618。这样看起来，两段的比例十分美丽柔和，于是有了“黄金分割”。

以上内容参考 新华网——黄金分割与黄金三角形