构造应力场的应变能规律

自然界中任何物质的运动都遵循能量守恒定律，能量转化是各种不同形式运动之间联系的纽带(刘迅等，1998)。在物质运动形式发生变化时，只有能量是守恒的。因此，研究不同运动形式之间能量转化是研究不同运动形式之间内在联系的关键。地质作用也是一样，各种不同的地质作用过程，其间具有千丝万缕的联系，但关键是能量的转化。构造应力作用引起地震的过程就是一种能量转化，应力作用使岩石变形，外力做了功，以机械能的形式储存起来，当岩石发生破裂，能量就释放出来，发生地震。

在成矿应力场作用下，成矿物质存在的状态取决于能量的状态，成矿物质的运动取决于应变能的变化。构造应力场作用的过程中，岩石由变形直到破裂发生是应变能从积累到释放的过程。应变能不仅和形成的地质构造密切相关，而且还与伴随地质构造的发生和发展的成矿物质的运动有密切关系。由于应变能由积累到释放的转变，改变了成矿物质的状态，从而使成矿物质发生运移并聚集成矿。刘迅等(1998)根据弹性力学原理给出了应变能基本关系式，用以说明构造应力场控矿的能量规律。

2521 应力-应变关系的广义虎克定律

在弹性各向同性物体中，若物体处于弹性变形阶段，应力与应变关系由广义虎克定律给出(详见《固体力学》)：

构造应力场控岩控矿

式中：E为弹性模量；μ为泊松比；G为剪切模量，G=E/2(1+μ)。或改写成

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式中：若将坐标轴x，y，z分别取为σ1、σ2、σ3，则(267)和(268)式分别为

构造应力场控岩控矿

构造应力场控岩控矿

式中：Δ=ε1+ε2+ε3。

在平面应力问题中，σz=0，由(267)式得出

构造应力场控岩控矿

(271)式的关系还可以写成下式：

构造应力场控岩控矿

在广义虎克定律中Δ的物理意义是，由变形的微小六面体的体积变化给出，若令变形前的体积为V0，则有

V0=dxdydz (273)

变形后的体积为V，则有

V=(1+εx)dx·(1+εy)dy·(1+εz)dz (274)

展开后，略去高价无穷小量后，

V=V0(1+εx+εy+εz)=V0+V0·Δ (275)

式中：Δ=εx+εy+εz。

则有

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式中：Δ称为体积应变，也称为扩容值。

2522 弹性应变能

物体在外力作用下发生变形，同时外力也就在物体上做了功，这个功以应变能的形式储存在物体内。在物体的弹性范围内，当移去外力时，这个弹性应变能又完全释放出来，使物体完全恢复原状。下面只给出一般复杂三维应力状态情况下的应变能。

构造应力场控岩控矿

在上式中应用虎克定律(26 7)式，在方程右端消去εx、εy、εz及γxy、γyz、γzx各应变量，则有

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若将坐标x、y、z的方向与某一点的主应力σ1、σ2、σ3的方向一致，在该点处，方程(278)变为

构造应力场控岩控矿

在上式中应用虎克定律(269)式的关系式，在方程右端消去ε1、ε2、ε3，则有

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单位体积应变能U由两部分组成：①由体积改变储存的应变能Uv；②由形状改变储存的应变能Ud(图214)。

图214 应力状态分解

设平均应力

构造应力场控岩控矿

其中σ1、σ2、σ3分别由两组主应力组成

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在σm作用下，单元体处于各向均匀拉伸或压缩状态，单元体各棱边产生相应的应变，体积改变为

Δ=3εm

构造应力场控岩控矿

式中：εm是与σm相对应的均匀应变，体积改变的应变能UΔ为

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由(269)式两端相加得

构造应力场控岩控矿

则有

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把(281)式和(286)式的εm代入式(284)，则得到体积改变的应变能：

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把式(286)代入(283)式，得到体积变化：

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形状变化的应变能Ud=U—UΔ，把式(280)和(287)式代入，则有

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在平面应力问题中σ3=0，上式变为

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(288)式体积变化变为

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在(290)式中括号内乘以4，括号外除以4，则有

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式(292)是全息光弹实验中应变能计算的重要公式，因为全息光弹实验中方便地获得A=σ1—σ2，B=σ1+σ2的两组组成，其中A和B是平面应力场中各点可见光弹法测得的量，从而可计算构造应力场中的各点应变能，即形状改变的应变能。式(291)是全息光弹实验中测量体积变化的重要公式。根据主应力和(σ2+σ1)的正负，分别确定构造应力场中的扩容区和压缩区。上述应变能的各项讨论就是构造应力场中主应力差、主应力和与形状改变的应变能的关系，主应力差代表最大剪切作用， ，而主应力和(σ2+σ1)在平面应力状态(σ3=0)条件下，由虎克定律得到

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上式代表厚度变化，当(σ2+σ1)为正时，ε3为负，垂直平面的厚度变薄；当(σ2+σ1)为负时，ε3为正，垂直平面的厚度变厚。因此，应变能关系式(292)代表着剪切作用和垂直平面的伸长缩短作用。一般地讲，物体随变形增大应变能储存量随之增大，当变形到一定程度时，应变能储存值达到极限，岩石发生破裂，从而使应变能释放出来。这一过程称为应变能的积累和释放过程。由于破裂的出现，含矿物质进入破裂面内而形成矿脉，因此应变能集中区是成矿的有利部位。

这种能量的积累和释放既表现在宏观的区域构造形成过程中，也表现在微观的构造形成过程中。在一个宏观的应变能集中区内包含着无数个微观的释放区；反过来，由于局部破裂发生，在它周围又引起了应力和应变能的集中。因而在多微观破裂的材料中，又产生了宏观的应力和应变集中区，这是一种辩证关系(刘迅，1998)。

由应变能的关系式(292)可以看出，应变能大小与(σ2+σ1)的正负号无关，这说明无论在压缩区还是扩张区都可能在其内部产生能量积累，最后导致岩石的破裂，含矿物质的充填而成矿。

说话的技巧有：清晰表达、积极倾听、恰当使用幽默。应变能力有：适应不同场合、处理冲突。

一、技巧

1、清晰表达

在说话时，要尽可能清晰、准确地表达自己的想法，避免含糊不清的措辞。这有助于听众更好地理解你的观点，也可以避免产生误解。为了做到这一点，可以尝试在表达前先组织好自己的思路，用简洁明了的语言来传达信息。

2、积极倾听

在交流中，不仅要善于表达自己，还要善于倾听他人的意见和想法。这不仅是一种尊重，还可以帮助你更好地理解对方的观点，并找到共同点。要认真倾听，并给予积极的反馈，如点头、微笑等，以表明你在认真听取对方的发言。

3、恰当使用幽默

幽默是一种非常有效的交流工具，可以缓解紧张气氛，增加互动性。在使用幽默时，要注意场合和对象，避免冒犯他人或偏离主题。恰当的幽默可以让谈话更加轻松愉快，有利于建立良好的人际关系。

二、应变能力

1、适应不同场合

在交流中，可能会遇到各种不同的场合和人群。为了更好地适应不同场合，需要具备灵活应变的能力。要根据场合的特点和人群的喜好，适时调整自己的语言和表达方式，以达到更好的交流效果。

2、处理冲突

在人际交往中，难免会出现意见分歧和冲突。为了更好地处理冲突，需要具备协商和解决问题的能力。要积极倾听对方的意见，理解对方的立场，并寻求共同点。同时，也要善于表达自己的想法和立场，并尊重对方的观点。通过协商和解决问题，可以避免冲突升级，保持良好的人际关系。

提高说话的技巧和应变能力的方法

一、提高说话技巧

1、学习语言技巧

学习如何使用语言来表达自己的想法和情感，包括词汇、语法和语音。可以通过阅读、听录音和模仿来提高自己的语言技巧。

2、练习表达

在日常生活中，可以尝试练习表达自己的想法和情感，例如在镜子前或和朋友练习对话。这可以帮助你提高表达能力和自信心。

3、学习非语言技巧

除了语言技巧外，非语言技巧也是非常重要的。例如，面部表情、身体语言和手势都可以帮助你更好地表达自己的想法和情感。

二、提高应变能力

1、学会观察

要提高应变能力，首先要学会观察。要时刻留意周围的环境和人群，了解他们的需求和想法。这可以帮助你更好地适应不同的场合和人群。

2、学会思考

在面对问题时，要学会思考并寻找解决方案。可以通过反思自己的经历和思考别人的经验来寻找解决方法。

3、接受变化

应变能力的一个重要方面是接受变化。当遇到变化时，要保持冷静并寻找新的解决方案，而不是抱怨或逃避。

莫尔强度理论，没有考虑中间主应力σ2的影响。但σ2及其升降变化对强度的影响已为试验所证实;工程实践中由卸荷引起应力调整后，σ1－σ3的剖面应力圆上的结构面，属拉张性，法向应力为负。因侧面边界面与σ2压应力的约束作用，在结构面倾向与σ1交角状态中，交角愈大，其影响作用愈明显，故θ=45°+φ/2的拉张剪切，显现复杂的各向异性特征。

剪应变能强度理论和八面体应力理论，考虑了岩体三维空间三个主应力作用对岩石强度的影响，剪应变能学说是从能量观点出发，而八面体应力理论是以应力观点为基础，从不同角度研究岩石的强度条件，所得结果一致。此两项为工程科技界常用的屈服准则，是基于三维压应力或三维拉应力，假定压与拉具有同样的抗力强度所确立的三维强度准则。本书藉此理论求索实际情况在三维压应力状态下，一维应力出现反向变化，形成歪变能的强度特性。

2231 剪应变强度理论

剪应变强度理论是从物理学观点，提出了岩石破坏，必须克服岩石固有形状和岩石强度基础质点间的互作用力。当岩石在三向应力σ1、σ2、σ3作用下，剪应变能达到受力破坏时的极限形变能时，即为剪应变能的强度条件或破坏准则。岩石受三维应力作用产生应变，其反映的是全应变能，根据功能原理，其功的表示式为

反应力应变岩石力学在工程中应用

式中:γ为剪应变，由前述破坏概念，此理论只限用于脆性破坏;故γij=0，因此岩石的全变能为:

依据广义虎克定理

以三个不变量σ1、σ2、σ3表示，则整理后得全变能为:

反应力应变岩石力学在工程中应用

全变能，包含了体变能和形变能两部分。

岩石的体变能

式中: 为平均应力 ;ε为体积应变εV=ε1+ε2+ε3

整理后得

反应力应变岩石力学在工程中应用

全变能UC包括体变能UV与形变能Uτ，即

反应力应变岩石力学在工程中应用

形变能即剪变能，由全变能减体变能获得，即

反应力应变岩石力学在工程中应用

化简得

在单轴的压或拉的试验时，σ2=σ3=0则屈服破坏时

σ1=σs σs为屈服强度

将上列条件代入式220，则得单轴压或拉试验屈服时的岩石形变能

反应力应变岩石力学在工程中应用

阐明了单向受力达破坏时的剪变能即认为是其屈服条件。

反应力应变岩石力学在工程中应用

即式(220)与式(221)相等。

则

反应力应变岩石力学在工程中应用

这是从剪变能理论推演出的岩石强度条件和判据。

2232 八面体应力理论

八面体应力理论认为，八面体上剪应力值达到材料临界值，即将引起材料屈服破坏。

取轴坐标系与三向主应力平行一致的封闭八面体，使八个象限面上的等斜面的法线与三坐标轴的夹角相等，即法线与x、y、z坐标轴的夹角α、β、γ相等。

令

因为等倾

三个主应力在等倾斜面上的面积为Scosα、Scosβ、Scosγ

在力P的作用下根据力的平衡条件

反应力应变岩石力学在工程中应用

则得平衡方程

倾斜面上作用力的合力

反应力应变岩石力学在工程中应用

斜面上的法向应力，为面上各分力Px、Py、Pz在面法线轴上的投影之和，即

反应力应变岩石力学在工程中应用

斜面上的剪应力

τ8八面体剪切强度

则

整理后得:

这是纳达依(Nadai)1933年对米色士屈服准则所作的物理意义解。米色士(Mises，RV)认为，当八面体上剪应力等于材料单向受力至屈服时，则八面体上剪应力达极限值而屈服。

在单向受力达极限状态时

反应力应变岩石力学在工程中应用

则式223中的

按米色士建立的准则

则

所以

图29 矢量在应力空间坐标系的分解

式224与剪变能强度条件式222相同。显然岩石的破坏强度与σ2有密切关系。

2233 屈服面的几何图形

为使屈服准则更形象化，往往将屈服准则以应力空间的几何曲面表示，图29介绍岩石内任一点应力状态，在应力空间坐标系中用矢量 表示。 分解成两个分量

由于ON是应力空间坐标系所选三角斜面的法线，且与三应力坐标轴的夹角相等，由上节可明确

反应力应变岩石力学在工程中应用

由

则

所以

这是以法线ON为轴的圆柱方程，此圆柱面即米色士强度曲面。为简便起见，可将圆柱面平行ON法线，投影到斜面上，形成一个圆，因斜面与三个主应力轴夹角相等，所以σ1=σ2=σ3=σm。具ON向静水应力特点，σm为ON向静水应力，此圆称为π圆，圆周即为屈服强度轨迹线，π圆的半径R，即为OS。

即

反应力应变岩石力学在工程中应用

在工程现场，根据野外实际条件，求出调整后的三维应力，求其应力圆的半径r，即

反应力应变岩石力学在工程中应用

若r<R，岩石不会屈服破坏。

若r>R，岩石将发生屈服破坏。

图210为π平面屈服轨迹线图，圆为(2/3)1/2σt轨迹的米色士屈服轨迹线。正六边形轨迹线是最大剪力能屈列斯卡屈服轨迹线。引用陈子光先生岩石力学性质与构造应力场书中622(b)图。

图210 π平面上屈服轨迹线①米色士屈服轨迹线;②库伦-摩尔屈服轨迹线;③屈列斯卡屈服轨迹线

屈列斯卡准则max=(1/2)(σ1－σ2)=k，则2k=(σ1－σ2)，在单轴拉伸时，σ2=σ3=0，因为σ1－σ2=σt，=σ1/2，故2k=σt。纯剪时k=将作用应力的空间直角坐标系投影到π平面上，所得三个新坐标轴分别以σ1'、σ2'、σ3'表示，它们彼此夹角为120°。空间应力σ1、σ2、σ3与π平面法线之夹角余弦为cosα=(1/3)1/2，所以与π平面夹角余弦为cosβ=(2/3)1/2

因此

将σ1'、σ2'、σ3'分别投影到π平面上的xy轴上，则

反应力应变岩石力学在工程中应用

在单轴拉伸时，因为σ1－σ2=σt，所以x=σt/21/2，是π平面平行σ2'轴的直线。同理可得其他轴域xy的关系式，得到由三对平行线组成正六边形图形，其外接圆半径为［(2/3)1/2］σt。不等角六边形，是莫尔强度准则在π平面上的轨迹线。熟知的莫尔—库伦准则为=σntanφ+c或(σ1－σ3)/2=［(σ3+σ2)/2］sinφ+c·cosφ，按前述原理与方法步骤，即得其在π平面上的屈服轨迹线。在平面应力情况下，即σ3=0，σ1－σ2平面上，米色士屈服准则的式(224)简化为σ21－σ1σ2+σ22=σ2t，其在π平面上屈服轨迹线为椭圆方程图211。

在σ1－σ2平面上，屈列斯卡准则为:

反应力应变岩石力学在工程中应用

即图211所示的六条直线。

图211 椭圆轨迹线

图212 τ8=f(σ8)极限强度面

纳达依强度条件是基于八面体上剪应力达到临界值所致，而剪应力临界值又是八面体上法向应力的函数，其条件为τ8=f(σ8)

反应力应变岩石力学在工程中应用

处于反应力情况下，σ8≈0所以τ8=0这时空间坐标系中的强度曲面不再是圆柱形，而是一圆锥形，这一图形是德鲁克－勃拉克在米色士准则上考虑一个静水因子形成τ=αI1+(J2)1/2形式，其在应力空间坐标系为圆锥形所佐证，式中:

反应力应变岩石力学在工程中应用

圆锥形强度屈服曲面，比圆柱形屈服曲面较能反映岩石实际情况。

依据不同的应力状态，形成岩石的不同破坏机理，及适于应用的强度准则，将圆锥形强度屈服曲面划为三带:①带基本为张性破裂脆断带;②带基本为剪切破坏带，一般为压剪，但亦可能出现张剪破坏，地表以下浅层部位，既有压剪性结构面，亦有充填或未充填张剪性结构面;③带基本为塑性流动带，但亦有张剪脆断类型，地震时一些震中发生在张断裂部位即属此特性。

2234 歪变能讨论

前述理论均为三维压应力状态其σ1>σ2>σ3，亦考虑了抗拉强度σt，但视压与拉的强度相同，最大剪变能和八面体应力理论，是由研究金属在三轴压应力条件下产生塑性流动的屈服准则，应用于岩土工程中，并将岩石视为各向同性的物资。在三维压应力下的强度特性，与三轴相似试验的结果较符合。原研究中的抗拉条件，是最大主压应力的泊松效应，或卸荷回弹效应所形成，其应力变化处于原三维压应力范畴，所以基本在上述理论所界定的范围。故工程研究中，根据各个理论准则，所求得的平衡条件，考虑到岩石的各向异性与设计力学参数的不确定性，加大安全系数并据以进行工程处理和校核检测，但仍出现一些难于预测的情况，这时往往归罪于f值衰变的复杂因素，没有顾及到温差应力这一反向应力与拉应力的耦合与叠加，称为未被注意的匿动力，由于这一匿能的活动，造成岩体强度的脆性屈服破裂，并释放波子力，产生巨大冲击能，铸成巨大灾变。这是处于三维状态下歪变能所酿成的恶果。

歪变能在剪变能强度中的影响。在有反向应力作用下，岩石所受三向应力为σ1、σ2、－σ3。按岩石力学惯例，拉张应力为负。其形成的应变，相应为ε1、ε2、－ε3。现研究最大剪变能所反映的歪变能情况。仍按能量理论求解形变能。

先求全变能

由广义虎克定理

则得

体变能

因

则

剪变能

即

反应力应变岩石力学在工程中应用

以式(225)与式(220)比较，若式(225)的－σ3为|σ3|时，两式则完全一致，当考虑σ3的反作用方向，是反作用力，则为式(225)。

式(225)的应力空间坐标系，在π平面上为椭圆，其空间的三维应力为一变形椭球体，在地层深部，由于泊松效应，产生压致拉张状态时，属于标准的变形椭球体，而在近地表的边坡地区，反应力属单向作用，无对应的力偶，所以属于歪变的变形椭球体，将其称之为歪变的变形纺锤虫体更为确切，其极限强度曲面为椭圆抛物面，或歪变的椭圆抛物面。

在椭圆抛物面，属完全的拉张状态，此时σ1=0，σ2=0，－σ3=σt

则

反应力应变岩石力学在工程中应用

强度条件为:

反应力应变岩石力学在工程中应用

以(1/2)［(σ1－σ2)2+(σ2+σ3)2+(σ1+σ3)2］≥σ2t作为屈服脆断的判据。单向反应力的三维应力椭球体，其剪变能按能量理论求解，所得式226与式222一致，与式224亦一致，说明以八面体应力理论研究亦可获同样效果。

屈列斯卡与米色士理论，着眼于压应力条件下，金属物质的屈服延展与破坏，所以图(212)的②带与③带，与试验和工程实际的一些情况相符。但在反应力作用下，深部应力的空间坐标系，亦呈现歪变椭球体状态。高温高压岩体，因卸荷降压而硬化，或由温变所形成的温差拉张性卸荷而硬化，使屈服值增加，但破坏值不变，其破坏特性，由塑性断裂而变为脆断破坏，所以反应力应变条件下八面体椭球锥形强度极限面不分带。

自然陡高边坡与人工陡高边坡区，自然应力场势已调整为最大主应力平行边坡倾向，中间主应力基本平行边坡走向，最小主应力垂直坡向与坡面，σ3一般与边坡将释放的势能方向一致，但由于地形、岩性等局部因素影响，可形成一定的差异，这时边坡稳定影响最有威慑性的位置，与新的应力空间坐标系略有差异，对边坡稳定影响，则决定于偏应力量的大小。

在八面体应力理论中，应力强度与剪应力有关，而八面体剪应力又与偏应力张量第二不变量有关。米色士建议采用应力张量第二不变量来表示屈服准则(Kf)

即

当偏应力τσd≥Kf时，即产生屈服变形。

反应力应变岩石力学在工程中应用

八面体上剪应力与应力偏量第二不变量之间存在一定关系，即τ28=(2/3)J2

则

由地貌地史研究与区域地应力测试资料，可掌握地区的宏观地应力场以及局部地区地应力调整后的状态与相应值的情况，则可采用式(227)和式(228)，求所在工程具体位置处的应力状态(τ8/σd)，并与该状态下岩体机械特性(τs/Rt)比较，则可判断工程边坡的稳定性以及变形破坏最易产生的型式。Rt岩石的抗拉强度，s岩石的抗剪强度值。

当τ8<s，σd≥Rt或τ8/σd<τs/Rt时，易产生脆断的张裂变形。

当τ8≥s，σd<Rt或τ8/σd>τs/Rt时，则易产生剪切变形。

我们可以较简便的方法进行判别，按地质应力椭球体分析法τmax=1/2(σ1－σ3)，在单轴拉伸时，τmax=(1/2)σt，即τmax/σt=05;在三维应力状态下，则τmax/σt=05－(σ3/2σ1)。当max/σt的比值增加时，剪切变形增加，比值减小时，脆性破裂的可能性增强。自然和人工边坡，都处于三维状态，所以，一般情况，τmax/σt<05，增加岩石产生脆断张裂的特性。但由于卸荷回弹，牵涉到应力符号由正改变为负，则使τmax/σt>05增加了控制性的剪切变形。在野外的工程现场边坡，这两种变形型式可同时展现。

亦可应用三维应力状态下的莫尔圆，及反应力作用下，引起应力调整性变化，并依据应力不断调整后画出诸多新的莫尔圆，以式(227)与式(228)求反向应力作用下σd与τ8的变化轨迹线。当三维应力为压应力状态时，其偏应力σd与八面体剪应力8

反应力应变岩石力学在工程中应用

其压应力增加与卸荷减少，均按式(229)与式(230)求σd与τ8的轨迹线。当卸荷σ3成为张应力出现时，则按式(227)与式(228)求σd与τ8点轨迹变化线，在推力作用下，因泊松效应，深部亦形成拉张脆断的临界状态。现以龙滩工程第18层钙质泥岩的室内真三轴试验成果，研究偏应力在三维应力圆上所处位置。第18层钙质泥岩的岩层走向为N80°W，倾向NE，倾角约60°，坝基处18层钙质泥岩中，具平行岩层走向，倾向NE，倾角近于直立的隐劈理发育，取垂直钻孔中岩心，作室内三轴试验，岩心轴向与岩层夹角为30°，与劈理面的夹角为20°。试验围压，σ3=1MPa，σ2=5MPa，σ1=53σ3+173=226MPa，其三维应力圆如图213，由式(229)得σd=1143MPa，式(230)得8=933MPa，由σd与8值确定了图上的M点，此点位于最大莫尔圆之内，两个小莫尔圆之外，因此仅以应力变化中应力椭球体的最大莫尔应力圆代表三维应力圆的变化，即可获得M点的变化情况。

图213 龙滩坝址第十八层真三轴试验成果三维应力图

一个工程地区，由于地形地貌岩性构造所产生的差异，应力椭球体在各处展布的情况不同;地表与地下较深的部位，应力椭球的展布，受区域构造应力场及大断裂控制。但研究三维应力圆应力演变的变化情况，无严密方向性限制，且由浅而深的应力椭球体的主应力方向变化是逐渐转变的(图214)。三峡坝区茅坪800m深孔，由浅至深，最大主应力方向由NE渐转为NWW向，故可在σ－τ坐标系中，将莫尔最大应力圆的变化，作为统一连续处理，以研究受反应力作用，M点的特异变化。

图214 最大水平主应力方向随深度的变化(据国家地质局地壳应力研究所，1989)

如图215，图中A圆为单轴拉伸圆，B为单轴压缩破裂圆，C1为三维压缩强度最大莫尔破裂图，C2－C7为三维应力按应力强度公式变化的强度圆，并依据A、B、C诸圆，作出莫尔强度包络线。D圆为深2000m处三维应力状态的最大莫尔圆，E为地表层三维应力状态的最大莫尔圆，Dre与Ere圆，为受反应力作用后，三维应力变化后的莫尔圆。圆图中M点，仅More与MEre1、MEre2的计算采用式(227)与式(228)其余三维应力均处于压应力状态，采用式(229)与式(230)计算。C1－C7应力圆中的M点，随应力增加而增大，但均在莫尔包络线之内，未达屈服破裂界限。在深2000m处，莫尔应力圆远小于莫尔包络线。但在水库蓄水，库水沿张性断裂下渗，则形成下述反应力，一为库水对断层约为20MPa的张力，一为库水下渗在断裂所产生的温差应力，龙滩地区年平均气温约为20℃，地温梯度采用一般情况的30℃/km，则2000m深处地温为80℃，库水下渗至2000m处，根据区内温泉温度，认为升温至40℃，岩石的热应力系数取04MPa/℃，则总的反应力为36MPa，与垂直断层方向最大水平主应力31MPa相抵后，仍存有5MPa的张应力，在应力变化中，原σ1不变，σ2成为σ3，原σ3成为σ2，新应力状态的最大莫尔圆与M点，均大于莫尔包络线，说明岩体产生破裂，引发水库地震。根据中国科学院地质研究所对龙滩坝区断层岩样作超微构造透射电镜研究，获温度为350～400℃时，岩层产生断裂破坏时的差异应力(σ1－σ3)为50～70MPa。当库水下渗达2000m时，其产生的反应力与最大主应力之差，达50MPa多，与历史上构造变动产生破裂的应力场条件一致，可证明采用图2、15所判明情况的正确合理。因2000m处地温为80℃，属中低温状态，故选用差异应力为50MPa。据中国地质大学环境学院对长江黄腊石滑坡区缓倾角张性正断层中剪切碎粒岩样，作透射电镜超微构造分析，获在低温低压环境中，岩体产生剪切破坏的差异应力为30～50MPa，在龙滩地表现所处应力环境下，由于日温变化所形成的反应力的影响，其形成的Ere1圆，已超出莫尔包络线－σ3<σ，但MEre1点却在包络线之内，表明σ2的侧向制约，且σ1－|σ3|=15MPa<30MPa，故不会产生屈服破坏;Ere2圆，在年温变化影响下，反应力可达10MPa，MEre2已位于莫尔包络线之外，已达岩体屈服强度境界，由于σ1－|σ3|=20MPa<30MPa，可视为处于临界状态，但应预防其他反作用力的叠加。图215诸应力的情况列如表24。

图215 诸莫尔圆σd与τ8交点M的变化规律

你考虑的这个状态，的确是势能还没有完全转化为应变能。

如果重力mg是缓慢的一点点的加到AB杆，这是准静态加载，图示ΔL=mgL/EA时，确实动能T=0。

但是，你实际考虑的是冲击动载荷问题。重物置于杆端，突然放手，重力mg是一下子加上去的。根据动载荷系数公式k=1+√(1+2h/Δst)，h=0是冲击高度，所以k=2。

说明杆件要压缩到ΔL=2Δst=2mgL/EA时才能静止。

在ΔL=mgL/EA时，系统动能不为0。

你算出来相差的能量就在这里了。

希望有帮助哈！～

应变是形变量与原来尺寸的比值，用ε表示，即ε=ΔL/L，无量纲，常用百分数表示。

主要有线应变和角应变两类。线应变又叫正应变，它是某一方向上微小线段因变形产生的长度增量（伸长时为正）与原长度的比值；角应变又叫剪应变或切应变，它是两个相互垂直方向上的微小线段在变形后夹角的改变量（以弧度表示，角度减小时为正。应变与所考虑的点的位置和所选取的方向有关。物体中一点附近的微元体在所有可能方向上的应变的全体称为一点的应变状态。它可由一点在三个正交的坐标（x1，x2，x3）方向的应变分量εij（i，j=1，2，3）来确定，其中 、 、 分别为x1、x2、x3方向的正应变，而 反映而x1、x2两方向上微小线段的夹角改变量（事实上， 为x1、x2方向微线段间夹角改变量的一半），余类推。过一点所有的截面中，剪应变为零的截面称为应变主平面，其法向称为应变主方向，该方向上的正应变称为主应变。

对于保守系统，按物理学势能的概念有：

系统总势能 = 弹性体应变能 + 外力势能

物理学系统中可理解为，处于空中的弹簧，其势能分为两类：一类是弹簧本身势能Ep；一类是重力势能Wp。

Ep理解为弹性体应变能，Wp理解为外力所作功进而转化为弹性体的重力势能。

对弹性体而言，总势能 = 应变能－ 外力所作的功

应变能与弹性势能的区别：应变能包括不可还原的形变所储存的能量，而弹性势能只包括可还原的形变。

例如：弹簧折断后，其弹性势能不变，但由于外力做功造成的不可还原变形，使其应变能增加。

因此，弹性体的应变能与变形量相关，在满足边界条件和连续性的原则下，弹性体可通过外力做功发生位移变化。

“对于弹性力学问题，通过弹性力学几何方程和物理方程，可以将总势能转化为系统可能存在的位移场（可能位移）函数的单变量泛函。”

最小总势能原理：

一个弹性系统的所有可能位移中，满足平衡条件的位移（真实位移）对应系 统总势能的最小值。

由图知：对于单自由度弹簧随着形变量的增加，弹簧的应变能成二次函数增长；外力所作功呈正比函数增长。

当D=2P/K时，其总势能达到最低值，即当弹簧弹力与外力达到平衡时，总势能到达最小值。