【梁的强度与刚度】 强度和刚度验算

第八章 梁的强度与刚度

第二十四讲 梁的正应力 截面的二次矩 第二十五讲 弯曲正应力强度计算（一） 第二十六讲 弯曲正应力强度计算（二） 第二十七讲 弯曲切应力简介 第二十八讲 梁的变形概述 提高梁的强度和刚度

第二十四讲 纯弯曲时梁的正应力 常用截面的二次矩

目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。

教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。

教学难点：平行移轴定理及其应用。

教学内容：

第八章 平面弯曲梁的强度与刚度计算

§8-1 纯弯曲时梁的正应力

一、 纯弯曲概念：

1、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。

2、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。

二、纯弯曲时梁的正应力：

1、中性层和中性轴的概念：

中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。

中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。

2、纯弯曲时梁的正应力的分布规律：

以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。

3、纯弯曲时梁的正应力的计算公式：

（1）、任一点正应力的计算公式：

（2）、最大正应力的计算公式：

其中：M---截面上的弯矩； IZ---截面对中性轴(z轴)的惯性矩；

到中性轴的距离。

说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。

所求应力的点 y---

§8-2 常用截面的二次矩 平行移轴定理

一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数：

1、矩形截面：

2、圆形截面和圆环形截面：

圆形截面

圆环形截面

其中：

3、型钢：

型钢的二次矩和弯曲截面系数可以查表。

二、组合截面的二次矩 平行移轴定理

1、平行移轴定理：

截面对任一轴的二次矩等于它对平行于该轴的形心轴的二次矩，加上截面面积与两轴之间的距离平方的乘积。

IZ1=IZ+aA

2、例题：

例1：试求图示T形截面对其形心轴 的惯性矩。

解：1、求T形截面的形心座标yc

2

2、求截面对形心轴z轴的惯性矩

第二十五讲 弯曲正应力强度计算（一）

目的要求：掌握塑性材料弯曲 正应力强度计算。

教学重点：弯曲正应力强度条件的应用。

教学难点：弯曲正应力强度条件的理解。

教学内容：

§8-3 弯曲正应力强度计算

一、 弯曲正应力强度条件：

1、 对于塑性材料，一般截面对中性轴上下对称，最大拉、压应力相等，而塑性材料的抗拉、压强度又相等。所以塑性材料的弯曲正应力强度条件为：

（1）、强度校核

（2）、截面设计

（3）、确定许可荷载

2、 弯曲正应力强度计算的步为：

(1)、 画梁的弯矩图，找出最大弯矩（危险截面）。

(2)、 利用弯曲正应力强度条件求解。

二、例题：

例1：简支矩形截面木梁如图所示，L=5m,承受均布载荷q=36kN/m，木材顺 纹许用应力［σ］＝10MPa，梁截面的高宽比h/b=2，试选择梁的截面尺寸。

解：画出梁的弯矩图如图，最大弯矩在梁中点。

由

得

矩形截面弯曲截面系数：

h=2b=0238m

最后取h=240mm,b=120mm

例2：悬臂梁AB如图，型号为No18号式字钢。已知［σ］＝170MPa，L=12m 不计梁的自重，试求自由端集中力F的最大许可值［F］。

解：画出梁的恋矩图如图。

由M图知：Mmax=FL=12F

查No18号工字钢型钢表得

Wz=185cm3

由

得

Mmax≤Wz[σ]

12F≤185×10-6×170×106

[F]=262×103N=262kN

第二十六讲 弯曲正应力强度计算（二）

目的要求：掌握脆性材料的弯曲正应力强度计算。

教学重点：脆性材料的弯曲正应力强度计算。

教学难点：脆性材料的正应力分布规律及弯曲正应力强度条件的建立。

教学内容：

一、 脆性材料梁的弯曲正应力分析

1、脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，例如T字形截面梁（图）。

2、脆性材料的弯曲正应力强度计算中，脆性材料的抗拉强度和抗压强度不等，抗拉能力远小于抗压能力，弯曲正应力强度计算要分别早找出最大拉应力和最大压应力。

3、 由于脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，上下边沿点到中性轴的距离不等，因此最大拉、压应力不一定发生在弯矩绝对值最大处，要全面竟进行分析。

三、 例题：

例1：如图所示的矩形截面外伸梁，b=100mm，h=200mm，P1=10kN， P2=20kN，[σ]=10MPa，试校核此梁的强度。

解：1、作梁的弯矩图如图

（b）

由梁的弯矩图可得：

2、强度校核

σmax>[σ]

即：此梁的强度不够。

例2：T型截面铸铁梁如图，Iz=136×104mm4,y1=30mm,y2=50mm,铁铸的抗拉许用应力[σt]＝30MPa，抗压许用应力[σc]＝160MPa，F=25kN,q=2kN/m，试校核梁的强度。

解：（1）求出梁的支座反力为

FA=075kN,FB=375kN

（2）作梁的弯矩图如图（b）

（3）分别校核B、C截面

B截面

可见最大拉应力发生在C截 的

下边缘。以上校核知：梁 的正

应力强度满足。

C截面

可见最大拉应力发生在C截 的下边缘。以上校核知：梁 的正应力强度满足。

第二十七讲 弯曲切应力简介

目的要求：掌握弯曲切应力的强度计算。

教学重点：最大弯曲切应力的计算。

教学难点：弯曲切应力公式的理解。

教学内容：

§8-4 弯曲切应力简介

一、 弯曲切应力：

1、 梁横截面上的剪力由

弯曲切应力组成。

2、 梁横截面上的弯曲切

应力成二次抛物线规律分布，中

性

轴处最大，上下边沿点为零。

（如图）

三、 最大弯曲切应力的计算：

1、 矩形截面梁：最大弯曲切应力是平均应力的1、5倍

2、 圆形截面梁：最大弯曲切应力是平均应力的三分之四

3、 工字钢：最大弯曲切应力有两种算法 （1）、 公式：

（2）、 认为最大弯曲切应力近似等于腹板的平均切应力。

四、 弯曲切应力的强度计算：

1、 强度条件：

τmax ≤[τ]

[τ]---梁所用材料的许用切应力 2、 例题：

例1：如图所示简支梁，许用正应力[σ]=140MPa，许用切应力

[τ]=80MPa，试选择工字钢型号。

解：

（1）由平衡方程求出支座反力

FA=6kN, FB=54kN

（2）画出剪力图弯矩图

（3）由正应力强度条件选择型号

查型钢表：选用No126号工字钢。

Wz=77529cm3,h=126mm，δ=84mm, b=5mm

（4）切应力校核

故需重选。

重选No14号工字钢，h=140mm,δ=91mm,b=55mm。

虽然大于许用应力，但不超过5％，设计规范允许。故可选用No14工字钢。

第二十八讲 梁的变形概述 提高梁的强度和刚

度的措施

目的要求：掌握叠加法计算梁的变形。

教学重点：叠加法计算梁的变形。

教学难点：提高梁的强度和刚度的措施的理解。

教学内容：

§8-5 梁的变形概述

概念：

1、挠度和转角：梁变形后杆件的轴线由直线变为一条曲线。梁横截面的形心在铅垂方向的位移称为挠度。挠度向上为正，向下为负。梁横截面转动的角度称为转角，转角逆时针转动为正，顺时针转动为负。

2、挠曲线方程：梁各点的挠度若能表达成坐标的函数，其函数表达式称为挠曲线方程。

挠曲线方程 w＝f(x)

挠曲线方程对坐标的一阶导数等于转角方程。

§8-6 用叠加法计算梁的变形

一、 叠加原理：在弹性范围内，多个载荷引起的某量值（例如挠度），等于每单个载荷引起的某量值（挠度）的叠加。

二、 用叠加法计算梁的变形：

1、步骤：将梁分为各个简单载荷作用下的几个梁，简单载荷作用下梁的变形（挠度和转角）可查表得到。然后再叠加。 2、例题：

例1：用叠加法求(a)图所示梁的最大挠度yc和最大转角θc。 解：图(a)可分解为(b)、（c）两种情况的叠加，分别查表得

三、梁的刚度条件：梁的刚度计算以挠度为主

梁的刚度条件：

ωmax≤[ω]

θmax≤[θ]

1、刚度校核

2、截面设计

3、确定许可荷载

在设计梁时，一般是先按强度条件选择截面或许可荷载，再用刚度条件校核，若不满足，再按刚度条件设计。

§8-7 提高梁的强度和刚度的措施

一、 合理安排梁的支承：

例如剪支梁受均布载荷，若将两端的支座均向内移动02L，则最大弯矩只有原来最大弯矩的五分之一。（图）

二、 合理布置载荷：

将集中力变为分布力将减小最大弯矩的值。（图）

三、 选择合理的截面：

1、截面的布置应该尽可能远离中性轴。工字形、槽形和箱形截面都是很好的选择。

2、脆性材料的抗拉能力和抗压能力不等，应选择上下不对称的截面，例如T字形截面。

刚度，抵抗受力（弹性）变形的能力。如机床主轴要有足够的刚度，在切削、加工时，受力（径向）变形极小，从而保证加工尺寸精度、形状精度，等。提高刚度的措施有，提高截面尺寸面积；合理的支撑、跨度；截面形状；调质热处理，等。

强度，抵抗破坏能力。题外话，如果需要考虑强度问题了（疲劳强度除外），刚度肯定不足。

提高强度的措施与提高刚度的类似。

硬度，物体侵入其它物体的能力。刀具硬度高，才能切削（金属）材料。如果材料非常硬（淬火后），就需要磨削加工了，砂轮的磨料（磨粒）硬度更高。提高金属材料的硬度是淬火。低碳钢需要渗碳淬火（表面硬）；中碳钢、高碳钢可以直接淬火。

塑性，材料的受力塑性变形能力。一般是低碳钢，冲压、拉拔、搓滚加工。提高塑性能力一般是退火热处理。

韧性，材料抗冲击破坏能力。一般的，强度高伴随着硬度高，材料“发脆”，不耐冲击。提高韧性的热处理方法，中碳钢可以调质处理；低碳钢渗碳淬火。

刚度是指材料或结构在受力时抵抗弹性变形的能力。是材料或结构弹性变形难易程度的表征。材料的刚度通常用弹性模量E来衡量。在宏观弹性范围内，刚度是零件荷载与位移成正比的比例系数，即引起单位位移所需的力。它的倒数称为柔度，即单位力引起的位移。刚度可分为静刚度和动刚度。