轴向拉压时横截面上的正应力是均匀分布的，那平面弯曲时横截面上的正应力是怎么分布的？

这要看你的截面形式了，矩形，圆形，T型，箱型差别很大。

我说一个最简单的正方形吧。σ=(My)/I,看一下哪些是常量，哪些是变量，变一下型σ=(M/I)y,对不对？对于一般界面尺寸一定，外力荷载一定的情况下，弯矩M和截面惯性矩I都是不变的。现在你就可以看到了，σ只相关于y，也就是竖坐标，而且是最简单的一次函数线性关系。相当于Y=KX，这里的K就是（M/I）。所以应力图就出来了。

上面受压，中性轴为零，中性轴一下受拉。 

　　梁横截面上最大正应力与最大弯矩成正比，与抗弯截面模量成反比。

　弯曲应力，又称挠曲应力，挠应力或弯应力。

　1）受弯构件横截面上有两种内力--弯矩和剪力。弯矩M在横截面上产生正应力；剪力在横截面上产生剪应力。

　2）已知横截面上的内力，求横截面上的应力属于静不定问题，必须利用变形关系、物理关系和静力平衡关系。

　弯矩产生的正应力是影响强度和刚度的主要因素，故对弯曲正应力进行了较严格的推导。剪力产生的剪应力对梁的强度和刚度的影响是次要因素，故对剪应力公式没作严格推导，先假定了剪应力的分布规律，然后用平衡关系直接求出剪应力的计算公式。

　3）梁进行强度计算时，主要是满足正应力的强度条件。某些特殊情况下，还要校核是否满足剪应力的强度条件。

　4） 根据强度条件表达式，提高构件弯曲强度的主要措施是：减小最大弯矩；提高抗弯截面系数和材料性能。

　5）弯曲中心是薄壁截面梁横弯时，横截面上剪应力的合力作用点。因此横弯作用的薄壁截面梁，发生平面弯曲的充要条件是：横向载荷过弯曲中心和平行于形心主轴。

　应用要点

　弯曲应力是指法向应力的变化分量沿厚度上的变化可以是线性的，也可以是非线性的。其最大值发生在壁厚的表面处，设计时一般取最大值进行强度校核。壁厚的表面达到屈服极限后，仍能继续提高承载能力，但表面应力不再增加，屈服层由表面向中间扩展。所以在压力容器中，弯曲应力的危害性要小于相同数值的薄膜应力。

平面弯曲和纯弯曲

举例说明：1、将一块木板一端水平插入墙缝里，在另外一端加个往上或者往下的垂直力，那么这块木板所受的力就是平面弯曲和纯弯曲；2、如果将木板的一端垂直插入地面结构，你再在木板的另外一端加个往下的力和侧弯力，那么木板所受的力就是压弯。

横截面上的应力分布：应力方向垂直于弯曲平面，最大压应力和最大拉应力在弯曲平面的上下缘，横截面其他点按三角形分配

弯曲应力（bending stress）系指法向应力的变化，分量沿厚度上的变化可以是线性的，也可是非线性的。其最大值发生在壁厚的表面处，设计时一般取最大值进行强度校核。壁厚的表面达到屈服后，仍能继续提高承载能力，但表面应力不再增加，屈服层由表面向中间扩展。所以在压力容器中，弯曲应力的危害性要小于相同数值的薄瞋应力（应力沿壁厚均布）。

在载荷作用下，梁横截面上一般同时存在剪力和弯矩。由切应力τ构成剪力，由正应力σ构成弯矩，如图1所示。由正应力与切应力引起的弯矩分别称为弯曲正应力与弯曲切应力。

推导纯弯曲梁横截面的正应力公式，与推导扭转切应力公式相似，也需要从变形几何关系、物理关系和静力学三方面来考虑。 [2]

变形几何关系

纯弯曲时梁的纵向“纤维”由直线变为圆弧，相距 的两横截面1'－1'和2'－2'绕中性轴发生相对转动，如图2所示。横截面1'－1'和2'－2'延长相交于O点，O点即为中性层的曲率中心。设中性层的曲率半径为ρ，此两横截面夹角为 ，则距中性层为y处纵向“纤维”ab的正应变为

图2

图2

实际上，由于距中性层等远各纵向“纤维”的变形相同，所以，上述正应变ε即代表距中性层为y的任一纵向“纤维”的正应变。

物理关系

根据纵向纤维假设，各纵向”纤维”处于单向拉伸或压缩状态，因此，当正应力不超过材料的比例极限时，胡克定律成立，由此得横截面上距中性层y处的正应力为

该式就是梁纯弯曲时横截面上的正应力分布规律。由此式可知，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比，距中性轴等远的同一横线上的各点处的正应力相等，中性轴各点处的正应力均为零。

静力学关系

图3

图3

上面虽已得到正应力分布规律，但还不能用所给公式直接计算梁纯弯曲时横截面上的正应力。至此有两个问题尚未解决：一是中性层的曲率半径ρ仍未知；二是中性轴位置未知，故式中之y还无从确定。解决这两个问题，需要借助于静力学关系。

令横截面纵向对称轴为y轴，中性轴为x轴，梁轴线为x轴，在坐标（y，a）处取一微面积dA，法向微内力为ρdA（图3），横截面各微面积上的法向微内力ρdA组成一空间平行力系，而且横截面上不存在轴力，仅存在位于x－y平面内的弯矩M，因此

得：

由于 ≠0，故

式中左边的积分代表横截面对z轴的静矩 。只有当z轴通过横截面形心时，静矩 才为零。由此可见，中性轴通过横截面形心。

可得：

此式为用曲率表示的弯曲变形公式。公式中 代表横截面对z轴的惯性矩。

由推出的公式易得纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式为：

此式为弯曲正应力的一般公式。

弯曲正应力公式的应用范围编辑

弯曲正应力公式是在纯弯曲情况下推导的。当梁受到横向力作用时，在横截面上，一般既有弯矩又有剪力，这种弯曲称为横力弯曲。由于剪力的存在，在横截面上将存在切应力τ，从而存在切应变γ=τ/G。由于切应力沿梁截面高度变化，故切应变γ沿梁截面高度也是非均匀的。因此，横力弯曲时，变形后的梁截面不再保持平面而发生翘曲，如图4中的1-1截面变形后成为1'-1'截面。既然如此，以平面假设为基础推导的弯曲正应力公式，在横力弯曲时就不能适用。但是，如果两截面间没有载荷作用时，则两截面的剪力相同，其翘曲程度也相同，由弯矩所引起的纵向纤维的线应变将不受剪力的影响，所以弯曲正应力公式仍然适用。当梁承受分布载荷作用时，两截面上的剪力不同，因而翘曲程度也不相同，而且，此时纵向纤维还受到分布载荷的挤压或拉伸作用，但精确分析表明，如果梁长l与梁高h相比足够大时，这种翘曲对弯曲正应力的影响很小，应用公式计算弯曲正应力仍然是相当精确的。

综上所述，对于各横截面剪力相同的梁和各横截面剪力不相同的细长梁，在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式仍然适用。

M=Wf  这个式子是说的匀质材料的弯曲应力计算式。也可写成f=M/W。

例如钢结构计算，简单的抗弯承载能力计算中，M是弯矩设计值（单位N·mm）、W是钢梁的截面模量（单位mm³）、f是钢梁材质的抗弯强度设计值（单位N/mm²）。当核算钢梁在弯矩设计值M作用下，钢梁截面的正应力时，也用这个计算式，只须把f 换为σ，即σ=M/W。

扩展资料：

推导纯弯曲梁横截面的正应力公式，与推导扭转切应力公式相似，也需要从变形儿何关系、物理关系和静力学三方面来考虑。

纯弯曲时梁的纵向“纤维”由直线变为圆弧，相距dx的两横截面1'－1'和2'－2'绕中性轴发生相对转动，横截面1'－1'和2'－2'延长相交于O点，O点即为中性层的曲率中心。设中性层的曲率半径为ρ，此两横截面夹角为dθ，则距中性层为y处纵向“纤维”ab的正应变为

实际上，由于距中性层等远各纵向“纤维”的变形相同，所以，上述正应变ε即代表距中性层为y的任一纵向“纤维”的正应变。

物理关系：根据单向受力假设，各纵向”纤维”处于单向拉仲或压缩状态，因此，当正应力不超过材料的比例极限时，胡克定律成立，由此得横截面上距中性层y处的正应力为

该式就是梁纯弯曲时横截面上的正应力分布规律。由此式可知，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比，距中性轴等远的同一横线上的各点处的正应力相等，中性轴各点处的正应力均为零。

参考资料：