什么叫固体应力

固体力学 (Solid mechanics)，是连续介质力学的一个分支，其研究固体材料的行为，特别是其在力、温度变化、相变和其他外部或内部因素作用下的运动和变形。

固体力学是民用、航空航天、核、生物医学、机械工程、地质学以及许多物理学分支（例如材料科学）的基础。它在许多其他领域有着特定的应用，例如理解生物的解剖结构，以及假牙和外科植入物的设计。固体力学最常见的实际应用之一是欧拉-伯努利梁方程。固体力学广泛地使用张量来描述应力、应变以及它们之间的关系，由于固体的材料用途广泛，如钢、木材、混凝土、生物材料、纺织品、地质材料和塑料，因而固体力学是一门庞大的学科。

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基本方面

固体是一种材料，在自然或工业过程或作用中，其能够在给定的时间范围内承受相当大的剪切力。这是固体和流体的明显区别，因为流体也支持法向力，即垂直于它们作用的材料平面的力，法向应力是该材料平面单位面积的法向力。与法向力相比，剪切力平行于而不是垂直于材料平面，单位面积的剪切力被称为剪应力。因此，固体力学研究固体材料和结构的剪切应力、变形和失效。

固体力学中最常见的主题包括：

结构的稳定性，检查结构受到扰动或部分/完全失效后，是否能恢复到给定的平衡。

动力系统和混沌，处理对给定初始位置高度敏感的机械系统。

热力学，基于热力学原理导出的模型分析材料。

生物力学，应用于生物材料（如骨骼、心脏组织）的固体力学。

地质力学，应用于地质材料（如冰、土壤、岩石）的固体力学。

固体和结构的振动，检测源于振动颗粒和结构的振动和波的传播，即在机械、土木、采矿、航空、海事/海洋、航空航天工程中，至关重要的振动和波的传播。

断裂和损伤力学，处理固体材料中的裂纹-扩展的力学。

复合材料，应用于由多种化合物组成的复合材料的固体力学，如增强塑料、增强混凝土、玻璃纤维。

变分公式和计算力学，由固体力学的不同分支产生的数学方程的数值解，例如有限元法 (finite element method)。

实验力学，设计和分析实验方法，以检验固体材料和结构性能。

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固体力学与连续介质力学的关系

如下表所示，固体力学居于连续介质力学的中心位置。流变学领域呈现出固体力学和流体力学之间的重叠。

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响应模型

材料具有静止形状，并且其形状由于应力作用而偏离静止形状。其偏离静止形状的量称为变形，变形与原始尺寸的比例称为应变。如果施加的应力足够低（或施加的应变足够小），几乎所有固体材料都表现为应变与应力成正比；其比例系数叫做弹性模量。其变形区间被称为线性弹性区间。由于易于计算，固体力学分析师通常使用线弹性材料模型。然而，真实材料通常表现出非线性性质。随着新材料的使用和旧材料已经无法满足需求，非线性材料模型变得越来越普遍。

这些是描述固体受到外加应力如何响应的基本模型：

弹性，当施加的应力消除时，材料恢复到未变形状态。线性弹性材料，即那些变形与施加载荷成比例的材料，可以用线性弹性方程（如胡克定律）来描述。

粘弹性，这些材料具有弹性，但也具有阻尼特性。当施加和消除应力时，必须克服阻尼效应，并在材料内部转化为热量，从而在应力-应变曲线中形成磁滞回线。这意味着材料响应具有时间依赖性。

可塑性，当施加的应力小于屈服值时，具有弹性的材料通常表现为弹性；当应力大于屈服应力时，材料表现出塑性，不会恢复到以前的状态。也就是说，屈服后发生的变形是永久性的。

粘塑性，结合粘弹性和塑性理论，适用于凝胶和泥浆等材料。

热弹性，机械与热响应之间存在耦合。一般来说，热弹性与非等温或绝热条件下的弹性固体有关。最简单的理论包括傅立叶热传导定律，与物理上更现实模型的先进理论相反。

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固体力学时间表

1452-1519年，列奥纳多·达·芬奇做出了许多贡献。

1638年，伽利略·伽利雷出版了《Two New Sciences》一书，在书中他讨论了简单结构的失效。

1660年，罗伯特·胡克的胡克定律。

1687年，艾萨克·牛顿出版了《Philosophiae Naturalis Principia Mathematica》，其中包含牛顿运动定律。

1750年，欧拉-伯努利梁方程。

1700-1782年，丹尼尔·伯努利介绍了虚拟功的原理。

1707-1783年，莱昂哈德·欧拉发展了柱的屈曲理论。

1826年，克劳德·路易斯·纳维尔发表了一篇关于结构弹性行为的论文。

1873年，卡洛·阿尔贝托·卡斯蒂利亚诺 (Carlo Alberto Castigliano) 提交了他的论文《Intorno ai sistemi elastici 》，其中包含了他利用应变能偏导数计算位移的理论。该定理利用最小功的方法作为特别的例子。

1874年，奥托·莫尔正式提出了超静定结构的概念。

1922年，铁木辛柯修正了欧拉-伯努利梁方程。

1936年，哈代·克罗斯出版了力矩分配法，这是连续框架设计中的一个重要创新。

1941年，Alexander Hrennikoff利用网格框架解决了平面弹性问题的离散化。

1942年，库朗将一个领域划分为有限的子区域。

1956年，在关于“复杂结构的刚度和挠度”的论文中，特纳、克劳夫、马丁和托普引入了“有限元法”的名称，并被广泛认为是目前已知方法的第一个综合处理方法。

3331 切向弹簧位移

图318中，点P0（x0，y0）在边P2P3上，也是假定的接触顶点 P1。剪切弹簧在 P2P3方向与顶点 P0、P1连接。点P1（x1，y1）在块体i中，P0（x0，y0）、P2（x2，y2）和P3（x3，y3）在块体j中。

图318 切向弹簧位移

则P0、P1沿P2P3的剪切位移为：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

式中：

er=［e1e2e3e4e5e6］

gr=［g1g2g3g4g5g6］

且：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

式中：r=1，2，3，…，6；S0为2倍三角形△P1P2P3的面积；l为边P2P3的长度。

3332 接触子矩阵

设弹簧的刚度为p，则切向弹簧变形引起的应变能为：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

使应变能最小化，得到四个6×6子矩阵、两个6×1子矩阵，分别添加到总体平衡方程（323）中的Kii、Kij、Kji、Kjj及Fi、Fj。

（1）弹簧应变能的导数：

krs= = ，其中r，s=1，2，3，…，6

形成一6×6子矩阵，被添加到总体平衡方程（323）的Kii中。

（2）弹簧应变能的导数：

krs= = ，其中r，s=1，2，3，…，6

形成一6×6子矩阵，被添加到总体平衡方程（323）的Kij中。

（3）弹簧应变能的导数：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

形成一6×6子矩阵，被添加到总体平衡方程（323）的Kji中。

（4）弹簧应变能的导数：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

形成一6×6子矩阵，被添加到总体平衡方程（323）的Kjj中。

（5）弹簧应变能的导数：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

形成一6×1子矩阵，被添加到总体平衡方程（323）的Fi中。

（6）弹簧应变能的导数：

fr= = ，其中r=1，2，3，…，6

形成一6×1子矩阵，被添加到总体平衡方程（323）的Fj中。

3321 法向弹簧位移

式（333）为块体之间发生相互嵌入时，计算嵌入距离的公式，该距离即为所要确定的法向弹簧位移，见图317。由于时间步很小，故步位移为小值。根据接触的定义知，该距离d为一小值，且为负值，忽略二阶无限小后：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

图317 法向弹簧位移

则法向弹簧位移为：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

式中：

er=［e1e2e3e4e5e6］

gr=［g1g2g3g4g5g6］

且：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

r=1，2，3，…，6，S0为2倍三角形△P1P2P3的面积。

3322 接触子矩阵

设弹簧的刚度为p，则法向弹簧变形引起的应变能为：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

使应变能最小化，得到四个6×6子矩阵，两个6×1子矩阵，分别添加到总体平衡方程（323）中的Kii、Kij、Kji、Kjj及Fi、Fj。

（1）弹簧应变能的导数：

krs= = ，其中r，s=1，2，3，…，6

形成一6×6子矩阵，被添加到总体平衡方程（323）的Kii中。

（2）弹簧应变能的导数：

krs= = ，其中r，s=1，2，3，…，6

形成一6×6子矩阵，被添加到总体平衡方程（323）的Kij中。

（3）弹簧应变能的导数：

krs= = ，其中r，s=1，2，3，…，6

形成一6×6子矩阵，被添加到总体平衡方程（323）的Kji中。

（4）弹簧应变能的导数：

krs= = ，其中r，s=1，2，3，…，6

形成一6×6子矩阵，被添加到总体平衡方程（323）的Kjj中。

（5）弹簧应变能的导数：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

形成一6×1子矩阵，被添加到总体平衡方程（323）的Fi中。

（6）弹簧应变能的导数：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

形成一6×1子矩阵，被添加到总体平衡方程（323）的Fj中。