椭圆参数方程

椭圆的参数方程：x=acosθ，y=bsinθ。

椭圆参数方程是以焦点（c，0）为圆心，R为变半径的曲线方程。

定义设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离和为2a（2a>2c）。

以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1,F2的坐标分别为（-c，0），（c，0）。

椭圆的切线法线：

定理1：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P，且A和B在直线上位于P的两侧，则∠APF1=∠BPF2。（也就是说，椭圆在点P处的切线即为∠F1PF2的外角平分线所在的直线）。

定理2：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F1PF2。

椭圆的参数方程x=acosθ,y=bsinθ。

(一个焦点在极坐标系原点，另一个在θ=0的正方向上)

r=a(1-e^2)/(1-ecosθ)

(e为椭圆的离心率=c/a)

求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解

x=a×cosβ， y=b×sinβ a为长轴长的一半

相关性质

由于平面截圆锥(或圆柱)得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥曲线(也称圆锥截线)。

例如:有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆(用上面的第一定义):

将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。

设两点为F1、F2

对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2

则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2

由定义1知:截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点

用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面(不通过底面)为一个椭圆

例:已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为√3

1求椭圆C的方程

2直线l:y=x+1与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的最大值

3在⑵的基础上求△AOB的面积

一、分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等(椭圆的定义)，可知a=√3，又c/a=√6/3，代入得c=√2，b=√(a^2-c^2)=1，方程是x^2/3+y^2/1=1，

二、要求面积，显然以ab作为三角形的底边，联立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-15,y2=-05利用弦长公式有√(1+k^2))[x2-x1](中括号表示绝对值)弦长=3√2/2，对于p点面积最大，它到弦的距离应最大，假设已经找到p到弦的距离最大。

过p做弦的平行线，可以 发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大，这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=，设y=x+m，利用判别式等于0，求得m=2,-2结合图形m=-2x=15,y=-05,p(15,-05)。

三、直线方程x-y+1=0，利用点到直线的距离公式求得√2/2，面积1/2√2/23√2/2=3/4。

扩展资料

1、范围:焦点在x轴上-a≤x≤a -b≤y≤b;焦点在y轴上-b≤x≤-b -a≤y≤a

2、对称性:关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。

3、顶点:(a，0)(-a，0)(0，b)(0，-b)

4、离心率:e=c/a

5、离心率范围 0<e<1

6、离心率越大椭圆就越扁，越小则越接近于圆

7焦点 (当中心为原点时)(-c，0)，(c，0)

参考资料：

椭圆极坐标方程：p=ep/(1-ec0sθ)。

一、椭圆

椭圆是把平面内与两个定点的距的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭园这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。

椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。

圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面垂直于圆柱体轴线。椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。

二、椭圆的相关知识

1、椭圆的标准方程

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)。当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)。其中a^2-c^2=b^2。

2、椭圆的面积公式

S=(圆周率)ab(其中a，b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长)。或S=(圆周率)AB/4(其中A，B分别是椭圆的长轴，短轴的长)。

3、椭圆的焦点

椭圆是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。

参数方程：

x = acost

y = bsint

注意，t 不是 α

y/x = tg(α) = b/a tg(t)

所求为：

r^2 = x^2 + y^2 = a^2 (cost)^2 + b^2 (sint)^2 =

(cost)^2 [a^2 + b^2 (tgt)^2] =

(cost)^2 [a^2 + a^2 tg(α)^2] =

(cost)^2 / (cosα)^2 a^2 =

另一方面，

a^2/b^2 tg(α)^2 = tg(t)^2 ====>

a^2/b^2 tg(α)^2 + 1 = 1/(cost)^2 ====>

[ a^2 (sinα)^2 + b^2 (cosα)^2 ] / b^2 = (cosα)^2 /(cost)^2 ====>

r^2 = a^2 b^2 / [ a^2 (sinα)^2 + b^2 (cosα)^2 ]

再开方就得到距离。

扩展资料：

椭圆上任意一点到F1，F2距离的和为2a，F1，F2之间的距离为2c。而公式中的b²=a²-c²。b是为了书写方便设定的参数。

又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx²+ny²=1（m>0，n>0，m≠n）。即标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ。

标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是 ：xx0/a²+yy0/b²=1。椭圆切线的斜率是：-b²x0/a²y0，这个可以通过复杂的代数计算得到。

半径为r的圆柱上与一斜平面相交得到一椭圆，该斜平面与水平面的夹角为α，截取一个过椭圆短径的圆。以该圆和椭圆的某一交点为起始转过一个θ角。则椭圆上的点与圆上垂直对应的点的高度可以得到f（c）=r tanα sin（c/r）。

--椭圆

--椭圆的标准方程

共分两种情况：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)； 

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)； 其中a^2-c^2=b^2

1、如果在一个平面内一个动点到两个定点的距离的和等于定长，那么这个动点的轨迹叫做椭圆。

2、椭圆的图像如果在直角坐标系中表示，那么上述定义中两个定点被定义在了x轴。若将两个定点改在y轴，可以用相同方法求出另一个椭圆的标准方程：

3、在方程中，所设的称为长轴长，称为短轴长，而所设的定点称为焦点，那么称为焦距。在假设的过程中，假设了，如果不这样假设，会发现得不到椭圆。当时，这个动点的轨迹是一个线段；当时，根本得不到实际存在的轨迹，而这时，其轨迹称为虚椭圆。

椭圆的标准方程共分两种情况：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，（a>b>0）

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，（a>b>0）

其中a^2-c^2=b^2

推导：PF1+PF2>F1F2（P为椭圆上的点 F为焦点）

椭圆的焦半径：

焦点在x轴上：|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex（F1，F2分别为左右焦点）。

椭圆过右焦点的半径r=a-ex。

过左焦点的半径r=a+ex。

焦点在y轴上：|PF1|=a+ey |PF2|=a-ey（F2，F1分别为上下焦点）。

椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A，B之间的距离，即|AB|=2b^2/a。

一、 椭圆的几何性质

变元范围

由椭圆的标准方程 （a>b>0）知｜x｜≤a，｜y｜≤b，说明椭圆位于直线 和 所围成的矩形里。

对称性及中心

1）判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据

若把方程中的x换成－x，方程不变，则曲线关于y轴对称。

若把方程中的y换成－y，方程不变，则曲线关于x轴对称。

若把方程中的x、y同时换成－x、－y，方程不变，则曲线关于原点对称。

2）椭圆关于x轴、y轴对称也关于原点对称

对于椭圆标准方程，把x换成－x，或把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y方程都不变，所以图形关于x轴、y轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是椭圆的对称轴；原点是椭圆的对称中心。椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

顶点及长短轴

1）椭圆的顶点

椭圆 （a>b>0）和它的对称轴有四个交点 (－a，0)、 (a，0)、 (0，－b)、 (0，b)，这四个交点叫做椭圆的顶点。

2）椭圆的长轴、短轴

线段 叫做椭圆的长轴，它的长为2a，a叫做椭圆的长半轴长。

线段 叫做椭圆的短轴，它的长为2b，b叫做椭圆的短半轴长。

离心率

椭圆的焦距与长轴长的比 ，叫做椭圆的离心率。

离心率的取值范围是：0＜e＜1。

e越接近1，则c就越接近a，从而 越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形这时就变为圆，因此方程即为x2+y2=a2。

上述e的数量的变化，反映了椭圆的扁平程度，如果两焦点与原点重合，即a=b，则c=0，图形发生质的变化就不再是椭圆，成为圆x2+y2=a2。

准线方程

1）椭圆 （a>b>0）的准线方程为： ；

2）椭圆 （a>b>0）的准线方程为： ；

3）两准线间的距离为 。

焦半径公式

1）椭圆的焦半径公式

若P（x，y）是椭圆上任一点，F1，F2是椭圆 （a＞b＞0）的左焦点和右焦点。则：｜PF1｜＝a＋ex，｜PF2|＝a－ex；

若P（x，y）是椭圆上任一点，F1，F2是椭圆 （a＞b＞0）的下焦点和上焦点，则｜PF1｜＝a＋ey，｜PF2|＝a－ey。

（1）如图(1)所示。

（2）如图(2)所示：

2）在求过焦点的椭圆的弦长时，利用焦半径公式非常简捷。

设弦AB，其中A（x1，y1），B（x2，y2），若AB过焦点F1，则｜AB｜＝｜AF1｜＋

｜BF1｜＝2a＋e（x1＋x2）。

3）椭圆的通径

定义：经过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦P1P2，叫做椭圆的通径。

公式： 。

二、 椭圆的参数方程

椭圆 （a>b>0）的参数方程为： 。

参数方程中的a、b即是椭圆标准方程中的a、b，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。

另外 的含义为：

如图，以原点为圆心，分别以a，b (a>b)为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过A点作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，设点M的坐标是（x，y）， 是以ox为始边，OA为终边的正角。点M的轨迹为一椭圆。

三、 直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系为相交、相切和相离。

直线与椭圆相交时可能是一个交点，即相切；也可能是两个交点。

直线与椭圆相切时，椭圆上一点M（ ， ）处的切线为 ；与椭圆相切，斜率为k的切线为 。

四、 椭圆系

共焦点的椭圆系的方程为

（其中k>c2，c为半焦距）

具有相同离心率的标准椭圆系的方程为

。

============

具体请看下面的连接