椭圆极坐标方程

椭圆极坐标方程：p=ep/(1-ec0sθ)。

一、椭圆

椭圆是把平面内与两个定点的距的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭园这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。

椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。

圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面垂直于圆柱体轴线。椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。

二、椭圆的相关知识

1、椭圆的标准方程

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)。当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)。其中a^2-c^2=b^2。

2、椭圆的面积公式

S=(圆周率)ab(其中a，b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长)。或S=(圆周率)AB/4(其中A，B分别是椭圆的长轴，短轴的长)。

3、椭圆的焦点

椭圆是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。

参数方程：

x = acost

y = bsint

注意，t 不是 α

y/x = tg(α) = b/a tg(t)

所求为：

r^2 = x^2 + y^2 = a^2 (cost)^2 + b^2 (sint)^2 =

(cost)^2 [a^2 + b^2 (tgt)^2] =

(cost)^2 [a^2 + a^2 tg(α)^2] =

(cost)^2 / (cosα)^2 a^2 =

另一方面，

a^2/b^2 tg(α)^2 = tg(t)^2 ====>

a^2/b^2 tg(α)^2 + 1 = 1/(cost)^2 ====>

[ a^2 (sinα)^2 + b^2 (cosα)^2 ] / b^2 = (cosα)^2 /(cost)^2 ====>

r^2 = a^2 b^2 / [ a^2 (sinα)^2 + b^2 (cosα)^2 ]

再开方就得到距离。

扩展资料：

椭圆上任意一点到F1，F2距离的和为2a，F1，F2之间的距离为2c。而公式中的b²=a²-c²。b是为了书写方便设定的参数。

又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx²+ny²=1（m>0，n>0，m≠n）。即标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ。

标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是 ：xx0/a²+yy0/b²=1。椭圆切线的斜率是：-b²x0/a²y0，这个可以通过复杂的代数计算得到。

半径为r的圆柱上与一斜平面相交得到一椭圆，该斜平面与水平面的夹角为α，截取一个过椭圆短径的圆。以该圆和椭圆的某一交点为起始转过一个θ角。则椭圆上的点与圆上垂直对应的点的高度可以得到f（c）=r tanα sin（c/r）。

--椭圆

--椭圆的标准方程

椭圆的标准方程共分两种情况[1]：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；

其中a^2-c^2=b^2

推导:PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点 F为焦点)

中文名

椭圆标准方程

外文名

Standard equation of the ellipse

别称

线条

表达式

x^2/a^2+y^2/b^2=1

提出者

数学家

方程推导

设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离和为2a（2a>2c）。

以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1,F2的坐标分别为（-c,0)，（c,0)。

设M(x,y)为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知

|MF1|+|MF2|=2a，（a>0）

即

将方程两边同时平方，化简得

两边再平方，化简得

又

，设

，得

两边同除以 ，得

这个形式是椭圆的标准方程。

通常认为圆是椭圆的一种特殊情况[2] 。

非标准方程

其方程是二元二次方程，可以利用二元二次方程的性质进行计算，分析其特性[3] 。

几何性质

X，Y的范围

当焦点在X轴时 -a≤x≤a,-b≤y≤b

当焦点在Y轴时 -b≤x≤b,-a≤y≤a

对称性

不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

顶点：

焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）

短轴顶点：（0，b），（0，-b）

焦点在Y轴时：长轴顶点：（0,-a），（0,a）

短轴顶点：（b,0），（-b,0）

注意长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻[4] 。

焦点：

当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c,0）F2(c,0)

当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0,c)

计算方法

(（其中 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长，可由圆的面积可推导出来)或 （其中 分别是椭圆的长轴，短轴的长）[5] 。

圆和椭圆之间的关系：

椭圆包括圆，圆是特殊的椭圆。

参考资料

[1] 曹才翰中国中学教学百科全书:数学卷[M]沈阳:沈阳出版社

[2] 沈金兴 数学文化视角下的椭圆标准方程推导[J] 数学通讯, 2015(8):

椭圆的标准方程：

1、椭圆的标准方程共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x/a+y/b=1，（a>b>0）；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y/a+x/b=1，（a>b>0）。

2、其中a-c=b，推导：PF1+PF2>F1F2（P为椭圆上的点 F为焦点）。

3、不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

相关信息：

准线几何性质：

准线到顶点的距离为Rn/e，准线到焦点的距离为P = Rn(1+e)/e = L0/e 。

当离心率e大于零时，则P为有限量，准线到焦点的距离为P = Rn(1+e)/e = L0/e 。

当离心率e等于零时，则P为无限大，P是非普适量。用无限远来定义圆锥曲线是不符合常理的。

教科书中定义局限性的原因是不了解准线的几何性质，当e等于零时则准线为无限远，准线是非普适量，是局限性的量。教科书中用准线来定义圆锥曲线不包含圆的原因。

参数方程的原理（X轴的）：设A为椭圆上一点：坐标(X，Y)。O=(-c，0)。O为椭圆焦点K是以OX为始边OA为终边的角，取K为参数，X=|OA|COS(K)，Y=|OB|SIN(K)，设参数方程为X=aCOS(K)Y=bSIN(K)。

==>X^2/a^2+Y^2/b^2=(COSK)^2+(SINK)^2=1为椭圆标准方程。==>参数方程X=aCOS(K)Y=bSIN(K)为椭圆的参数方程。

扩展资料：

（1）曲线的极坐标参数方程ρ=f(t)，θ=g(t)；

（2）圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ（θ∈ [0，2π) ） (a,b) 为圆心坐标，r 为圆半径，θ 为参数，(x,y) 为经过点的坐标；

（3）椭圆的参数方程 x=a cosθ　 y=b sinθ（θ∈[0，2π）） a为长半轴长 b为短半轴长 θ为参数 

（4）双曲线的参数方程 x=a secθ （正割） y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数；

（5）抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数。