椭圆的参数方程

PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|)

椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。

扩展资料：

在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。

椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。也可以这样定义椭圆，椭圆是点的集合，点其到两个焦点的距离的和是固定数。

-椭圆

高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。

　　椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：

　　1）焦点在x轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1

(a>b>0)

　　2）焦点在y轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1

(a>b>0)

　　其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2(a^2-b^2)^05，焦距与长短半轴的关系:b^2=a^2-c^2

,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c

　　又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在x轴或y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。既标准方程的统一形式。

　　椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ

，

y=bsinθ

　　标准形式的椭圆在x0，y0点的切线就是

：

xx0/a^2+yy0/b^2=1

椭圆的标准方程：

1、椭圆的标准方程共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x/a+y/b=1，（a>b>0）；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y/a+x/b=1，（a>b>0）。

2、其中a-c=b，推导：PF1+PF2>F1F2（P为椭圆上的点 F为焦点）。

3、不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

相关信息：

准线几何性质：

准线到顶点的距离为Rn/e，准线到焦点的距离为P = Rn(1+e)/e = L0/e 。

当离心率e大于零时，则P为有限量，准线到焦点的距离为P = Rn(1+e)/e = L0/e 。

当离心率e等于零时，则P为无限大，P是非普适量。用无限远来定义圆锥曲线是不符合常理的。

教科书中定义局限性的原因是不了解准线的几何性质，当e等于零时则准线为无限远，准线是非普适量，是局限性的量。教科书中用准线来定义圆锥曲线不包含圆的原因。

这个涉及两步，第一步是平移，第二步试旋转。

1 平移

将椭圆向左平移X, 向下平移Y得到: Ax² + 2Bxy + Cy² = 1        (i)

2 旋转

设将坐标系逆时针旋转θ, 新坐标系为x'Oy'

x' = xcosθ - ysinθ

y' = xsinθ + ycosθ

可解得:

x = x'cosθ + y'sinθ

y = -x'sinθ + y'cosθ

代入(i):

A(x'cosθ + y'sinθ)² + 2B(x'cosθ + y'sinθ)(-x'sinθ + y'cosθ) + C(-x'sinθ + y'cosθ)² = 1

(Acos²θ - 2Bsinθcosθ + Csin²θ)x'² + (Asin²θ + 2Bsinθcosθ + Ccos²θ)y'² 

+ (2Asinθcosθ + 2Bcos²θ - 2Bsin²θ - 2Csinθcosθ)x'y' = 1

化成标准方程, 须2Asinθcosθ + 2Bcos²θ - 2Bsin²θ - 2Csinθcosθ = 0

(A - C)sin(2θ) - 2B(cos²θ - sin²θ) = 0

(A- C)sin(2θ) = 2Bcos(2θ)

tan(2θ) = 2B/(A - C)

由此可求出θ, 以及x'², y'²的系数

图中是用A = 3, B = 3, C = 4作例子。

设《一般式》为：Ax^2+By^2+C=0   若有一次项，则需要《坐标平移》，若有交叉项（即含xy项）则需要《坐标旋转》

则  Ax^2+By^2=-C^2  =>  (-A/C)x^2+(-B/C)y^2=1  =>  x^2/(-C/A)+y^2/(-C/B)=1

这就化为了《标准型》，其中：a'=√(-C/A)、b'=√(-C/B)  哪个是长半轴可以由实际值判定

例子  9x^2+16y^2-144=0  =>  x^2/(144/9)+y^2/(144/16)=1  =>  x^2/16+y^2/9=1

=> x^2/4^2+y^2/3^2=1

扩展资料:

椭圆的标准方程共分两种情况：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；

其中a^2-c^2=b^2

推导:PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点 F为焦点)

参考资料:-椭圆的标准方程

椭圆的一般式方程是：a+bx+cy+dxy+ex^2+fy^2=0，其中a、b、c、d、e、f，为任意椭圆方程的系数，该一般方程包含了标准椭圆的旋转和平移变换。

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)。

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)。

其中a^2-c^2=b^2。

推导：PF1+PF2>F1F2（P为椭圆上的点F为焦点）。

对称性：

焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）。

短轴顶点：（0，b），（0，-b）。

焦点在Y轴时：长轴顶点：（0，-a），（0，a）。

短轴顶点：（b，0），（-b，0）。

由f'(x)=0的表达式整理，有a²/x³=b²x/(a²-x²)²。∴a²/x^4=b²/(a²-x²)²

再利用x在第一象限、两边开平方，∴a/x²=b/(a²-x²)。易得，x²=a³/(a+b)。