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关于无理数的发现

古希腊的毕达哥拉斯学派认为,世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条有一天,这个学派中的一个成员希伯斯(Hippasus)突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传但希伯斯却将这一秘密透露了出去毕达哥拉斯大怒,要将他处死希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命希伯斯发现的这类数,被称为无理数无理数的发现,导致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献

几何之父——欧几里德

我们现在学习的几何学，是由古希腊数学家欧几里德(公无前330—前275)创立的。他在公元前300年编写的《几何原本》，2000多年来都被看作学习几何的标准课本，所以称欧几里德为几何之父。

欧几里德生于雅典，接受了希腊古典数学及各种科学文化，30岁就成了有名的学者。应当时埃及国王的邀请，他客居亚历山大城，一边教学，一边从事研究。

古希腊的数学研究有着十分悠久的历史，曾经出过一些几何学著作，但都是讨论某一方面的问题，内容不够系统。欧几里德汇集了前人的成果，采用前所未有的独特编写方式，先提出定义、公理、公设，然后由简到繁地证明了一系列定理，讨论了平面图形和立体图形，还讨论了整数、分数、比例等等，终于完成了《几何原本》这部巨著。

《原本》问世后，它的手抄本流传了1800多年。1482年印刷发行以后，重版了大约一千版次，还被译为世界各主要语种。13世纪时曾传入中国，不久就失传了，1607年重新翻译了前六卷，1857年又翻译了后九卷。

欧几里德善于用简单的方法解决复杂的问题。他在人的身影与高正好相等的时刻，测量了金字塔影的长度，解决了当时无人能解的金字塔高度的大难题。他说：“此时塔影的长度就是金字塔的高度。”

欧几里德是位温良敦厚的教育家。欧几里得也是一位治学严谨的学者，他反对在做学问时投机取巧和追求名利，反对投机取巧、急功近利的作风。尽管欧几里德简化了他的几何学，国王（托勒密王）还是不理解，希望找一条学习几何的捷径。欧几里德说：“在几何学里，大家只能走一条路，没有专为国王铺设的大道。”这句话成为千古传诵的学习箴言。一次，他的一个学生问他，学会几何学有什么好处他幽默地对仆人说：“给他三个钱币，因为他想从学习中获取实利。” 韦达（1540-1603） 法国数学家。生于法国东部地区的普瓦图，卒于巴黎。学习法律任律师，曾为议员，数学是其业余爱好。他被誉为16世纪最大的代数学家。他研读过许多著名数学家的著作，特别重视研究丢番图等人的在数学中使用符号的思想。他是第一个有意识地、系统地使用字母于数学的人。他写了许多代数学著作，如《分析方法入门》（1591）是最早关于符号代数的著作。他的名著《论方程的识别与订正》（1591著，1615出版）是方程论发展中的一个重要标志。他发现了有名的代数方程根与系数的关系--"韦达定理"。他的工作成果为近代代数学的发展奠定了重要基础，推进了方程论的发展。他还准确地预言了未来将出现一种运用符号的关于量的演绎科学。他对三角学、几何学、天文学也有研究，曾出版过三角学著作，设计改进历法等工作，在战争中为政府破译对方密码，赢得很高声誉。

德扎格（1593-1662） 法国数学家。射影几何学创建者之一。生于里昂，卒于同地。曾任军事工程师和建筑师。与数学家梅森、笛卡儿等有交往。1636年出版《论透视截线》小册子，开始论及透视问题。1639年出版《试图处理圆锥与平面相交情况初稿》，书中术语怪异，不易理解，当时新兴的解析几何对人们具有更大的吸引力，致使这部重要著作很快被遗忘。直到1845年沙勒偶然发现了这部书的手抄本，才重新引起数学家们的普遍重视，把它列为中世纪纯粹几何学的经典著作。书中引入了无穷元素，讨论极点和极线、透射、透视等问题，为射影几何奠定了坚实的基础。他所发现的"德扎格定理"（两三角形对应顶点联线共点，则对应边交点共线）是全部射影几何的基本定理。

笛卡儿（1596-1650） 法国哲学家、数学家、物理学家、生理学家、解析几何学奠基人之一。生于法国土伦，卒于瑞典斯德哥尔摩。出身贵族家庭，襁褓丧母，自幼体弱，早年在学校读书时，校长特许每天早晨在床上读书思考，养成了"晨思"的习惯，一直保持到晚年。1612年到巴黎的普瓦捷大学攻读法学，4年后获博士学位。1618年从军，到过荷兰、丹麦、德国。1621年回国，正值法国内乱，又去荷兰、瑞士、意大利旅行，1625年返巴黎。1628年，移居荷兰，从此得到了较为安静、自由的学术环境，潜心研究哲学数理及天文、物理、化学、生理等许多领域，埋头著述20多年。1649年冬，应邀为瑞典女王克里斯蒂娜（1626-1689）讲课，因生活习惯被破坏，数月后患肺炎逝世。（16年后，遗骨运回巴黎）。他的贡献是多方面的，尤其在哲学及数学方面有独到的见解。如强调科学的目地在于"造福人群"；反对经院哲学，主张"系统的怀疑"方法；提出"我思故我在"的原则，成为他的哲学中第一条原理。他强调使人"成为自然的主人和统治者"。他主张唯理论，他的数学思想与哲学思想有着极为密切的联系。他把几何学的推理方法或演绎法应用到哲学上，并且明确宣称，科学的本质是数学。他把物质运动的概念作为自然科学的哲学基础之后，就把运动带进了数学，在数学和其他自然科学里就有了辩证法。有许多重要著作，其中《方法论》（1637）是一部文学和哲学的经典著作，后面有三篇著名的附录：《折光学》、《论大气现象》、《几何学》。《几何学》是他唯一的数学著作，却确立了他在数学史上的崇高地位。他明确表述了解析几何的思想，标志着解析几何学的诞生。他还对微积分的创立起到了重要的推动作用。

费马（1601-1665） 法国数学家。生于法国南部博蒙-德洛马涅，卒于卡斯特尔。父经商，他自幼有良好的学习条件。在大学习法律，以律师为业，30岁时任图卢兹议会议员，直到去世。他博览群书，精通数国文字，掌握多门自然科学知识，特别热爱古典文学。数学只是业余爱好，但在数论、解析几何、概率论等方面都有重大贡献，被誉为"业余数学家之王"。他性情淡薄，为人谦逊敦厚，公正廉明，生前不愿发表作品。去世后，他的很多论述遗留在旧纸堆中，书页空白处或在给朋友的书信里。他的儿子将这些内容汇集整理，编成《数学论集》两卷，在图卢兹出版（1679）。他对于近代数论的研究在欧拉之前几无人可与之匹敌。著名的"费马大定理"（不可能有满足 xn＋yn＝zn，n＞2的正整数x、y、z、n存在）激起后来历代数学家的兴趣，而至今尚未得到普遍证明。他独立于笛卡儿发现了解析几何的基本原理。由于提出了求曲线的切线及其极大、极小点的方法而被认为是微分学的创始人之一。他还是17世纪兴起的概率论的开拓者之一。他提出光学的"费马原理"，给后来的变分法研究以极大的启示。

沃利斯（1613-1703） 英国数学家。生于肯特郡，早年就读于剑桥大学神学系，业余自修数学。成为当时著名数学家之一。早年研究了一些古代数学家的著作，并翻译出版了一些古希腊数学家的名著。他的《无穷算术》中，计算了相当于某些代数函数和定积分，并得到关于π的无穷乘积的表达式：

4/π＝∫10 √--（1-x2）dx＝（1·3·3·5·5·7……）/（2·4·4·6·6·8……）

这是数学史上第一个无穷连乘积的例证，具有重要意义。他还著有《圆锥曲线》、《普通数学或算术大全》、《代数》、《力学，或论几何运动》等书。其中在算术、代数、微积分、几何等方面都有独特的创造，成为17世纪英国数学思想的代表人物之一。

帕斯卡（1623-1662） 17世纪法国数学家和物理学家，曾被誉为"阿基米德与牛顿两者间的中间环节"。帕斯卡在学术气氛浓厚的环境中长大，自小便表现出对数学的浓厚兴趣与卓越才华。13岁时精通欧几里得《原本》，并于同年偶然得到所谓的帕斯卡三角形。他发现该图的巧妙结构，研究了该数阵的性质，写成《三角阵算术》、从而奠定了组合论、数学归纳法的基础。帕斯卡三角形对应于牛顿二项式定理展开式各项系数，但晚于中国北宋贾宪三角约600多年。帕斯卡在射影几何中给出了帕斯卡定理等一系列结论，还与费马共同建立了概率论和组合论的基础。帕斯卡对摆线（旋轮线）进行了深入研究，由此得到一系列曲线华E轴旋转确定立体重心的结论，从而刺激了莱布尼茨对微积分的工作。帕斯卡曾制造出历史上第一台加减法计算器，能进行六位数的计算，为后来计算器的发展奠定了基础。帕斯卡在物理学、流体静力学等领域也表现出杰出的才能，还是法文散文大师和神学辩论家。只可惜他一生为宗教信仰所累，断断续续地研究数学，又断断续续地回到宗教冥想之中去，苦行僧似的自我折磨使他只活了39岁。

关孝和（约1642-1708） 日本数学家。生于群马县藤冈，卒于江户（今东京）。出身于武士家庭，长期在江户为贵族家府掌管财赋，直到1706年退职。他是日本传统数学--和算的奠基人，也是关氏学派的创始人，在日本被尊为算圣。他生前出版的著作仅有《发微算法》（1674），去世后又由其弟子编纂出版了一部遗稿《括要算法》（1712）。他的其他主要著作是在关氏学派内部以抄本形式秘传。他的主要数学成就是：在代数中改进了由中国传入的天元术方法，开创和算独特的笔算代数；使由中国传入的高次数字方程解法为和算家所掌握；建立了行列式概念及其初步理论；发现方程正负根存在的条件及与牛顿迭代法类似的解法等。此外，他在幻方、垛积方“圆理”（径、弧、矢间关系的无穷级数表达式）等方面均有研究。他还写过一些天文历法方面的著作。他的思想由他的弟子建部贤弘（1664-1739）等人继承和应用，对日本数学的发展产生了重要影响。

牛顿（1642-1727） 英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。生于英格兰林肯郡之南约13公里的伍尔索普小村子里，卒于伦敦肯辛顿区，葬于伦敦威斯敏斯特教堂。少年就读于农村小学，并曾务农多年。但他发奋图强，学习刻苦，1661年6月，以优异成绩考入剑桥大学三一学院。

1665年获文学士学位。由于伦敦流行鼠疫，波及剑桥，大学临时停办，他返乡两年。在乡间他终日思考各种问题，运用他的智慧和数年的知识积累，来制定科学创造的蓝图。他平生的三大发明[流数术（微积分）、万有引力和光的分析]都发轫于这一时期。1667年回剑桥后当选为三一学院院委，1668年获硕士学位。他多年受教于巴罗教授，此时又协助巴罗编写讲义，撰写微积分和光学的论文，得到巴罗的高度评价。1669年，巴罗坦然宣称牛顿的学识已经超过自己，当年便将"卢卡斯教授"的职位让给牛顿。一时传为佳话。牛顿担任这一职务直到1701年。1696年他任皇家造币厂监督，并移居伦敦，1699年成为厂长。1703年当选为英国皇家学会主席。1705年被女王安妮（1665-1714）封为爵士。他晚年潜心于自然哲学和神学。在数学方面，他的最卓越的贡献是创建微积分。早在1665年他的手稿中就开始有"流数术"的记载。1669年，他写成第一篇微积分论文《运用无穷多项方程的分析》，并交皇家学会备案（1711年出版）。他的正式的流数术著作《流数术方法和无穷级数》于1671年完成。1676年，他又写成他的第3篇重要的微积分论文《曲线求积术》（后来作为《光学》一书的附录发表于1704年）。1687年，他在哈雷的敦促和帮助下发表了巨著《自然哲学的数学原理》。这部著作从作为力学基础的定义和公理（运动定律）出发，将整个力学建立在严谨的数学演绎基础之上，不仅深入地运用了他本人创造的分析工具，也是他的微积分学说的第一次正式公布。他在代数学领域也有一系列重要发现，如n次代数方程根的m次幂和的公式，实系数方程虚根成对的证明等。此外，他在数论、解析几何、曲线分类、变分法、概率论等分支也有涉及。他在力学、光学、天文学等许多自然科学领域都有巨大贡献，被奉为最伟大的科学家之一。但他的天才常被夸大到神化的程度，而忽略了他长期刻苦努力的一面。

莱布尼茨（1646-1716） 德国数学家、哲学家、自然科学家。生于莱比锡，卒于汉诺威。他自幼丧父，但作为莱比锡大学伦理学教授的父亲，给他留下了丰富的藏书，他的母亲很有学识和远见，从小送他进莱比锡最好的学校学习，使他自幼受到良好的家庭及学校教育。他从小就学习用多种语言表达思想，并表现出超常的哲学天赋。14岁时对逻辑学产生兴趣，常提出自己的独立见解。1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，接触了伽利略、培根、霍布斯、笛卡儿等人的科学和哲学思想。1666年他在纽伦堡阿尔特多夫大学取得法学博士学位。他当时写出的论文《组合的艺术》已含有数理逻辑的早AE思想，后来的一系列工作使他成为数理逻辑的创始人。1667年后，他投身于外交界，有机会游历欧洲各国，接触数学界名流，尤其是与惠更斯的交往，激起了他对数学的兴趣。他曾制作了一台能作乘法的计算器，是继帕斯卡加法器官（1642）之后，计算工具的又一进步。1673年出访伦敦时，他把这台机器献给了英国皇家学会，还曾送一台复制品给中国的康熙皇帝，可惜目前在故宫已找不到这台机器。1676年，他到了汉诺威，任公爵处顾问及图书馆馆长。此后40年，他常居汉诺威，直到去世。他曾创建勃兰登堡科学协会（后改为柏林科学院），并担任主席。他虽卷入过各种政治斗争，但始终未中断科学研究。他的研究领域极为广泛，涉及到逻辑学、数学、力学、地质学、法学、历史学、语言学、生物学以及外交、神学等方面。他在数学领域最重要的贡献是与牛顿各自独立地创立了微积分学。牛顿建立微积分主要是从运动学的观点出发，而莱布尼茨则从几何学的角度去考虑，特别和巴罗的微分三角形有密切关系。他的第一偏微分学论文于1684年发表在《学艺》杂志上，是世界上最早的微积分文献。他所创造的微积分符号至今仍在高等数学领域中广泛使用。此外，他在组合分析、代数行列式、曲线族的包络等理论方面也都有重要发现。他系统地阐述了二进制记数法，并把它和中国的八卦联系起来。在哲学方面，他倡导客观唯心主义的单子论，并含有辩证法的因素，1714年写成《单子论》，综述了他的哲学观点。

八卦中两卦相重，又是一个新的数，这个数是与二的进数，所以计算机的二进制也是如此：乾000，兑001，离010，震011，巽100，坎101，艮110，坤111。德国数学家莱布尼兹就是根据我国八卦图发明了计算机二进制，震动了世界科学界，故八卦有计算机之母的美誉。

太极图》又称《先天图》或《天地自然之图》，是中国上古文化中最神秘的一张图。

相传，太极八卦图是古代圣人伏羲氏首创，在“五经”的“周易”中，有详细的记载和说明。古人认为：无极生太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦生六十四卦，这是太极化生八卦的基本理论。太极图，是研究《易》学的一张重要图象，故又称《易图》。

《太极图》起源很早，据传古《太极图》绘在3000多年前的夏商之际或更早的陶器上。圆圈内画有S型曲线，黑白阴阳点是以后添上的。如今的《太极图》，一般认为是北宋周敦颐所制。中国古老的《太极八卦图》，对现代科学的贡献是多方面的。德国数学家莱布尼兹是现代电子计算机二进位制的创始人，他正是在中国古老的太极八卦图的启发和帮助下，才触动灵机，一举成功的。

1701年秋末，他正在苦心孤诣研究乘法机，法国传教士朋友从北京寄给他《伏羲六十四卦次序图》和《伏羲六十四卦方位图》，莱布尼兹从这两张图中受到了很大启发，他发现，八卦是象形文字的雏形，由坤卦经艮、坎、巽、震、离、兑到乾卦，正是由零数到七，这样8个自然数所组成的完整的二进位制层数形。八卦中的“—”叫做阳爻，相当于二进制中的“1”，而八卦中的“＿＿”叫做阴爻，相当于二进制中的“0”。六十四卦正是从0到63这64个自然数的完整的二进位制数形。在数学中八卦属于八阶矩阵。

中国独有的古老的《太极八卦图》确实有着很玄奥的哲理，但关于它的谜团越来越多：《太极八卦图》究竟是谁创制的？受了什么启发创造出来的？《太极八卦图》有哪些作用？为什么要创造这么一张图？

何谓太极呢 太有至的意思; 极有极限之义, 就是至于极限, 无有相匹之意 既包括了至极之理, 也包括了至大至小的时空极限, 放之则弥六合, 卷之退藏于心 可以大于任意量而不能超越圆周和空间,也可以小于任意量而不等于零或无, 以上是太极二字的含义太极图是研究周易学原理的一张重要的图像, 它包含了天地万物的共通规律在内, 所以有人说它是宇宙的模式, 是科学的灯塔。

但太极图由于阴阳两面方位的移动和变换, 而又出现了不同的图像 先天八卦图, 坤震离兑居左, 坤为母, 离再索而得女, 兑三索而得女, 三卦皆阴, 只震一索而得男为阳 故太极图左面用黑色表示属阴, 黑中白点表示阴中有阳 乾巽坎艮居右, 乾为父, 坎再索而得男, 艮三索而得男, 三卦比阳, 只巽一索而得女为阴, 故太极图右而用白色表示属阳, 白中黑点表示阳中有阴

本后天八卦图而绘制的太极图则恰与先天八卦图的太极图方向相反"太极元气, 含三为一", 为什么呢 从太极图可以得出结论, 太极图这个圆圈, 就是代表的一, 代表的宇宙, 代表的无极 太极是有限之天, 无极是无限之天; 太极是有, 无极是无; 太极是三, 无极是一 图像的黑白二色, 代表阴阳两方, 天地两部; 黑白两方的的界限就是划分天地阴阳界的人部 白中黑点表示阳中有阴, 黑方白点表示阴中有阳 道生一, 就是无极生太极; 一生二就是太极生两仪; 二生三, 就是阴阳交感化合; 三生万物, 就是太极含三为一, 因万物由阴阳而化生, 故万物各具一太极, 也就是说, 太极不仅包含了阴阳两个方面, 还包含了划分阴阳的界线和标准在内 若分而言之, 每卦有三爻, 也是代表天地人三才, 这也是含三为一之象 又天有阴阳, 地有阴阳, 人亦有阴阳, 天之阴阳加上划界标准, 构成了含三为一的太极之象; 地之阴阳加划界中点构成含三为一的太极之象; 人部阴阳, 如男女雌雄亦各有它的划界标准, 所以万物也各有一太极, 也都是按照含三为一的规律而存在的宇宙有无限大, 所以称为太极, 但是宇宙又是有形的, 即有实质的内容 按易学的观点, 有形的东西来自于无形, 所以无极而太极太极这个实体是健运不息的, 即宇宙在运动, 动则产生阳气, 动到一定程度, 变出现相对静止, 静则产生阴气, 如此一动一静, 阴阳之气互为其根, 运转于无穷 自然界也是如此, 阴阳寒暑, 四时的生长化收藏,即万物的生长规律, 无不包含阴阳五行 就人部阴阳而言"乾道成男, 坤道成女", 阴阳交合, 则化生万物, 万物按此规律生生不已, 故变化无穷 这些内容提出了立天之道, 立地之道, 立人之道三纲领, 也就是三才之道, 所谓"六爻之动, 三极之道也"

太极图是研究周易学原理的一张重要的图像。太有至的意思；极有极限之义，就是至于极限，无有相匹之意。既包括了至极之理，也包括了至大至小的时空极限，放之则弥六合，卷之退藏于心。可以大于任意量而不能超越圆周和空间，也可以小于任意量而不等于零或无，以上是太极二字的含义。

所谓道生一，一生二，二生三，三生万物；就是无极生太极，太极生两仪，阴阳化合而生万物。

宇宙有无限大，所以称为太极，但是宇宙又是有形的，即有实质的内容。按易学的观点，有形的东西来自于无形，所以无极而太极。太极这个实体是健运不息的，即宇宙在运动，动则产生阳气，动到一定程度，变出现相对静止，静则产生阴气，如此一动一静，阴阳之气互为其根，运转于无穷。

自然界也是如此，阴阳寒暑，四时的生长化收藏，即万物的生长规律，无不包含阴阳五行。就人部阴阳而言"乾道成男，坤道成女"，阴阳交合，则化生万物，万物按此规律生生不已，故变化无穷。这些内容提出了立天之道，立地之道，立人之道三纲领，也就是三才之道，所谓"六爻之动，三极之道也。"

周易象数学专著<乾坤谱>中,对太极图有新的解释:大极，藏水火之象，存阴阳之性。水非纯水，火非 纯火，阳非纯阳，阴非纯阴。气中含质，质中藏气，气质交融，一片冥冥。所谓大极者，万物之始也。如上图:用阴阳十二爻相互叠加纵向排列代表太极图,能更准确的表达易传中"易有太极,是生两仪,两仪生四象,四象生八卦"的含义

八卦本来指八个卦像，八卦的那个阴阳图案不是八个卦像本身的样子，那个阴阳太极图案，是八卦的前身，即二极图像。

因为二极生四像，四像才生八卦，八卦生六十四卦，以此来推断宇宙万事万物；

好比电脑从有电到为1，无电到为0，开始二进制计数法，然后延生下去才会变成现在的样子，这就是八卦的道理。

八卦这个名字是代表，这个阴阳图案也是代表，代表易经的发展推断世间万法的过程。

在罗盘上面运用的就是八卦的八个卦像，代表八个方位，从而推断要发生什么事情，是相对好，还是相对坏，罗盘的内环用的是八卦，外环通常是用八卦延伸的六十四卦来断事。八卦是用来推断事情的八个卦象。