学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程要使这个课程基本理念真正落实到高中数学教学中，教师应根据学生的认知水平和已有的知识经验设立体现数学某些重要应用的课程，开展“数学探究”“数学建模”的学习活动，力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用，数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力，体验数学的真谛
20世纪下半叶以来，数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一当今知识经济时代，数学正从幕后走向台前，数学和计算机技术的结合使得数学能够在许多方面直接为社会创造价值，同时，也为数学发展开拓了广阔的前景我国的数学教育在很长一段时间内对于数学与实际、数学与其他学科的联系未能给予充分的重视，因此，高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强近几年来，我国大学 、中学数学建模的实践表明，开展数学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野在这样的课程理念下，人民教育出版社课程标准B版教材给我们吹来了一股春风，它不仅仅是简单的文字变化，而是教学思想理念的突出体现整套教材设立了大量的“数学探究”“数学建模”等学习活动，提供了基本内容的实际背景，反映了数学的应用价值这些体现数学应用的课程为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造了有利条件，同时也激发学生的数学学习兴趣、鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯
下面笔者就对“函数（第一课时）”内容进行了如下教学设计和尝试
教材分析
1本课的地位和作用
函数是数学中重要的基础概念之一。学生进一步学习的高等数学基础课程，包括极限理论、微分学、积分学、微分方程和泛函分析等，无一不是以函数作为基本概念和研究对象的。其他学科，如物理学科等，也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具。它是在初中初步探讨函数的概念，函数关系的表示方法、图象的位置等基础上，对函数概念的再认识，即用集合的思想理解函数的一般定义。函数及应用研究的深入及提高，也是今后进一步参加工农业生产建设需要具备的基础知识本章的学习对中学生数学学习起着决定性的作用而且不仅是知识性方面，更重要的是在数学建模方面，也将是终身受益的一章
2教学重点与难点
重点:体会函数是描述两个变量之间的依赖关系的重要数学模型,在映射的基础上理解函数的概念
难点:对函数符号y=f(x)的理解
教学目标
1知识与技能目标：
(1)通过不同的生活实例帮助学生建立数学概念的背景,从而正确理解函数的概念
(2)能用集合与对应的语言来刻画函数,了解构成函数的要素，即定义域和对应法则；进一步理解对应法则的意义
2．过程与方法目标：
了解函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型。在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，再现函数知识产生的过程。在数学建模中体验用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程。
3．情感态度与价值观目标：
通过创设实际生活情景，让学生接近现实生活，关注社会实际；感受对应关系在刻画函数的概念中的作用，激发学生学习数学的兴趣，陶冶学生的情操，培养学生勇于探索的科学精神
教学过程
一、创设问题情境
师：在初中我们已经学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述两个变量之间的依赖关系，今天我们将进一步学习函数及其构成要素下面我们一起看几个实例：
问题1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h(m)随时间t(s)的变化的规律是h=130t-5t2提出以下问题：
（1） 炮弹飞行1s、10s、20s时距地面多高？
（2） 炮弹何时距离地面最高？
（3） 你能指出变量t和h的取值范围吗？分别用集合A和集合B表示出来
（4） 对于集合A中的任意一个时间t，按照对应关系h=130t-5t2，在集合B中是否都有唯一的高度h和它对应？
生:因为有初中的基础，很快说出前三个小问题的答案，问题（4）师启发学生用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系：在t的变化范围内，任给一个t，按照给定的解析式，都有唯一的一个高度h与之对应
[从多媒体展示的生活问题入手，再现初中变量观点描述函数的概念，为后面用集合和对应的观点来定义函数奠定基础。]
问题2某市气象观测站测试一天24小时内的气温变化如图所示
(1) 上午8时的气温约是多少？
(2) 你能指出变量t和θ的取值范围吗？分别用集合A和集合B表示出来
(3) 对于集合A中的每一个时刻t,按照图像所示,在集合B中是否都有唯一确定的温度θ和它对应
生1答:上午8时的气温约是0。C；t的取值范围是[0，24]；
θ的取值范围是[-2，9]。
生2答：对于集合A中的每一个时刻t，按照图象所示，在集合B中都有唯一确定的温度θ和它对应。
接着师请学生回顾近十年来自己家庭生活的变化,其中哪些方面的消费变化大哪些方面的消费变化小
[学生回答踊跃,进一步调动了学生的积极性,并亲身经历将实际问题抽象成数学模型的过程,这实际是倡导做数学和用数学,关注学生知识的形成发展的过程]
师又抛出问题3你认为该用什么数据来衡量家庭生活质量的高低幻灯展示恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化
t
91
92
93
94
95
96
97
98
99
00
01
r
538
529
501
499
499
486
465
445
419
392
379
阅读图表后仿照问题1、问题2、描述表中恩格尔系数r和时间t（年份）的关系
生归纳：对于表中的任一个时间t（年份），按照表格，都有唯一的一个恩格尔系数r与之对应
二、探索新知
生分组讨论以上实例的共同特点，归纳总结出：都涉及到两个非空数集A、B，都存在某种对应关系，使对于A中的每一个数x，按照这种对应关系，在B中都有唯一的y与x对应
[实际问题引出概念，激发学生兴趣，给学生思考、探索的空间，让学生体验数学发现和创造的历程，提高分析和解决问题的能力。]
1．函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数值y和它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数。记作，其中定义域：x的取值范围（数集A）叫做函数的定义域；如果自变量取值a，则法则f确定的值y称为函数在a处的函数值。值域：函数值的集合{y/y=,}叫做函数的值域
师生共同回忆在初中介绍的函数概念，它是这样表述的：
设在一个变化过程中有两个变量与，如果对于的每一个值，都有惟一的值与它对应，那么就说是自变量，是的函数
[我们看到，这里是用运动变化的观点对函数进行定义的，它反映了历史上人们对它的一种认识，而且这个定义较为直观，易于接受，因此按照由浅入深、力求符合学生认知规律的内容编排原则，函数概念在初中介绍到这个程度是合适的]
师：函数的对应法则通常用记号表示，函数记号表明，对于定义域中的任意，在“对应法则”作用下得到在比较简单的情况下，对应法则可用一个解析式来表示，但在不少问题中，对应法则要用几个解析式来表示，有时甚至不可能用解析式来表示，那用什么表示呢？
生：要用其他方式（如列表、图象）来表示
学生分组讨论，函数定义需要注意的几个方面：(师板书)
（1）,方向性；
（2）关键词“任意一个x”“唯一确定的数f(x)”
（3）A，B为非空数集；
（4）A中的任一个元素，B中都有惟一的元素与之对应；而B中的元素在A中的对应元素可以不惟一，也可以没有，显然值域
[教师在讲解概念时，在多媒体屏幕上有意识地用不同颜色的字体，突出强调重点，调动学生的非智力因素理解概念。]
2． 问题4：
(1)下列对应发则是否是在给定集合上的一个函数？
①R，g:自变量的倒数；
②R,h:自变量的平方根；
③R,s:自变量t的平方减2。
（2）下面一组函数，是否为相同的函数？
①f(x)=x2,x∈R;
②s(t)=t2，t∈R;
③g(x-2)=(x-2) 2,x∈R
生：确定一个函数的两要素：定义域和对应法则
师生互动研讨得出：函数用符号表示，在初中学习函数时未出现这个符号，应说明几点：
①，是表示是的函数，不是表示等于与的乘积；
② 不一定是一个解析式；
③ 与 是不同的
3、例题教学：
师出示例1 ，某西瓜摊卖西瓜，6斤以下每斤4角，6斤以上每斤6角请表示出西瓜重量x与售价y的函数关系
生解:用解析法，这个函数的解析表示应分两种情况：
当时，；当时，
师：这种函数叫分段函数，我们还可以用图象法来表示请一位学生画出这个函数的图象
师：请问这个函数关系是否能用列表法表示呢不方便因为西瓜重量的等级太多，列表不易列全
三、巩固练习1：下列图形中可以作为函数图象的是（ ）
练习2：下列函数中哪个与函数是同一函数？
四、课堂小结
这节课的研究学习就到这里了，请大家回顾一下这节课的探索和收获
生1、我们知道了函数定义：设A，B都是非空的数集，那么A到B的映射就叫做A到B的
函数，记作，其中，
生2、我们知道了函数有三种表示方法：解析法，列表法，图象法
生3、我们知道了函数的三要素：定义域；值域；
中的为对应法则定义域为函数的基础，对应法则为函数的核心
生4、本节课我们讨论、合作、交流等小组活动，亲身经历了将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，觉得我们身边处处有数学
师：说得好！这些正是我们这一节课的重心所在，希望以后能看到你们独立思考探索的成果，展示你们的研究风采
五、建模作业
①某种钉子，每只1角5分，买只钉子的钱数是元，请列出与的函数关系式，并画出函数的图象
②邮寄包裹，每千克重的包裹收邮资费2元，邮程超过100km以后，每增加1km加收2角，求邮资与包裹所走的千米数的函数关系
③请同学记录一周的天气预报，列出日最高气温与日期的函数关系
教学评析
一、注重函数概念形成过程，感悟数学真谛
我们都知道数学概念都是从客观世界中直接或间接抽象出来的，其定义大多采用“问题情景—抽取本质属性—推广到一般”的方法给出本节课函数的概念就是在教师的引导下，学生以探索者的姿态出现，参与了概念的形成规律的揭示过程，使其思维亲身经历了一个由具体到抽象、概括事物本质的认知过程，领悟知识形成过程中隐藏的思想方法，则学生获得的不仅是函数概念，更重要的是拓宽了思维空间感悟了数学的真谛，在掌握概念的同时其概括能力得到训练
二、问题设计开放新颖，渗透数学思想方法
我们都知道学生原有的知识和经验是学习的基础，学生的学习都是在原有的知识经验基础上自我生成的过程在学习函数概念前，学生在初中已经接触函数，教学中教师善于运用类比思想，抓住初中与高中两个函数概念的优劣，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性。在学生合作交流的基础上，学生归纳出函数定义的几个注意方面，渗透了转化思想与归纳方法
三、挖掘教材资源，拓展学生探究空间
我们都知道数学教材是数学课程标准的体现，是数学学科知识体系的精选，师生使用起来非常方便本节课教师在教学中没有只停留在课本表面，而是认真钻研和熟悉教材，针对教材中的知识点，充分利用各种教学资源，组织学生探究，以培养学生的探究能力这种精心设计的探究活动，能激发学生学习数学的积极性，提高学生探索问题、研究问题的能力
四、改善教与学的方式，使学生主动地学习
丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。本节教学中，既有教师的讲授和指导，也有学生的自主探索与合作交流，整节课教师都关注了学生的主体参与，给学生留有适当的拓展、延伸的空间和时间，激发学生对数学学习的兴趣，养成良好的学习习惯
五、注重数学建模活动，发展学生应用意识
著名数学教育家弗赖登塔尔在谈到数学应用时，曾指出“应从两个方面来理解数学应用：既要重视从实际问题中提取数学概念和原理，又要重视用数学概念与原理反过来处理实际问题”；“而要将学校数学更为广泛地应用到不同的脉络背景，数学化应该是数学教学的主要方式”。本节课教师通过数学建模活动引导学生从实际情境中发现问题，并归结为数学模型，形成数学问题（即实际问题数学化）。同时开阔了学生的视野，体会了数学的科学价值、应用价值、人文价值
“知”包括知识、技能、思想观念；“情”则包括多种类、多层次的情感现象。情感属于非智力因素范畴，它是学生智力发展的内驱力。在数学教学中，情感随着认识过程从觉察某种现象并愿意作出注意→作出需求的反应→对行为的满意欣赏→形成个性、人生观；与知识的识记、理解掌握、应用是紧密平行交叠着发展，共存在于一个统一体中。为了达到教学目的，时而需要用情感目标作为达到认知目标的手段；时而把认知领域中的变化作为引起情感变化的手段。一、情感教育在数学教学中的现状情感是人们对于客观事物是否符合个人需要而产生的态度的体验，是人们复杂心理活动的一种反映。在数学教学中，我们不仅要培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，还要培养学生具备良好的学习心理素质、个性品德素质及审美素质，这些都是数学素质中不可缺少的重要组成部分。善于运用情感教育于数学教学之中，不仅是对数学教学工作更高层次的要求，也是当前数学素质教育的需要。《中国教育改革与发展纲要》明确地把心理素质培养作为受教育者全面发展的规格标准之一。《数学新课程标准》中也指出：义务教育阶段的数学课程……不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。数学科的教学由于其学科的原因，本身就有其枯燥乏味的一面，如果不注意情感的投入和趣味性的引入，势必让学生感到数学难学难懂，从而丧失学好数学的信心。毫不夸张地说，情感是数学教学中的润滑剂、催化剂。在目前的数学教学过程中，学生学得苦，教师教得更苦。这种局面，对学生学习数学是相当不利的。在学习活动中学生往往带有情绪性，如果伴随学生思考的是兴奋，激动和对发现真理的诧异、惊讶、产生愉快的体验，那么这种情感就能强化人的智力活动，从而促进智力的发展。然而学生由于知识和生活经验的缺乏，他们不善于用理智来支配情感，却常常以情感支配影响理智，对某一学科感兴趣，对某一任课教师有好感，或情绪高涨时，学习劲头足时，掌握知识的质量好。反之，学习效果就差。这就说明学生的情感活动是影响教学过程的一个重要因素，因此，在教学过程中、教师通过发挥自已的主导作用，积极地利用学科知识，挖掘教学过程中蕴含的情感因素，激发和培养学生的积极情感，创造出一个充满积极情感的教学环境、以取得发展学生智力的最佳效果。因此在数学教学中教师要以情感人、以心育人。二、情感教育在数学教学中的作用现代心理学研究表明，学生的学习并不是一个“纯认识”的过程。正如人文心理学家罗杰斯所指出：学习本身就包括认识和情感两个方面。作为学生（学习的主体）在数学学习过程中，其智力因素担负着信息加工的任务，即对信息进行感知、加工、识记、保持和应用。它可以使人类积累的经验转化成个体的知识结构，属于主体的操作系统。而非智力因素担负着信息选择的任务，即对信息进行鉴别、筛选，当认为是有趣的、有价值时，主体便主动而有效地吸收，否则反之。这就是为什么有的教师一味加大知识信息量而不能真正进入学生头脑的原因。因此非智力因素对操作系统起着始动、定向、维持和调节的作用，它属于主体的动力系统。我们的教学如果只注重操作系统的过程，即认知过程，而忽略动力系统的过程，即情感过程，或者虽然有时也讲兴趣、动机、情感、意志，但充其量只作为吸引学生注意，保证上课不走神的一般条件，作为附加于教学活动之上可有可无、无足轻重的东西，就不能不说是一个很大的缺陷。从现代教学观看，在教学过程中两种系统是协同作用、互相依存、相互促进、密切配合的，因此数学教学必须努力实现学生的认知与情感、智力因素与非智力因素培养的和谐统一，在充满活力的教学过程中追求最佳的教学效果。三、在数学教学中渗透情感教育的方法由于情感教育具有非理性、非逻辑的特点，其教育方式也是没有模式化的，应以渗透为主。所以，根据教育现状和面临的问题，结合数学教学的本身需要，我觉得情感教育应从以下几个方面来渗透：1、精心创设问题情境，诱发学生的情感需要学生学习情感的激发是促进学生主动、积极有效学习的重要方面，赞可夫说：“教学法一旦触及学生的情绪和意志领域，触及学生的心理需要，这种教法就会变得高度有效。”情感总与情景相伴随，为此，我们必须注重创设问题情境，即教师根据教材内容创设出一种学习环境，在学习环境中诱发学生的情感。如创设问题情境：汽车站入口处常常会在墙上11m、14m处各标上一条红线，小朋友进站时，只要走到这里脚跟靠墙站立，看看身高有没有超过免票线，或者半票线，就可以决定这个孩子是否需要购买全票。教师引导学生思考这个问题解决的依据和方法是什么，从而引入线段大小的比较的学习。这一设计恰当的贴近学生生活的问题情境，引入新课，学生会倍感亲切，觉得数学就在自己身边，从而激发学习的兴趣，打开思考的闸门，发掘创造的源泉。2、建立融洽的师生关系，形成积极的情感体验在一个班级中有好多孩子，每个孩子，相貌有美丑，智商有高低，但人的尊重需求，是与生俱来的。对于这一点，我个人认为学生和教师之间在教育过程当中扮演着不同的角色但是彼此之间又有着不可替代的依赖性。教师最重要的是不可以“偏心”，教师应是一位公正的法官，对每个学生都是等同的，更要像一个无私的园丁，把爱的雨露公平的洒入每个孩子的心田。虚弱的禾苗更需要阳光雨露。尊重全体学生的关键，在于能否面向全体学生最重要的是差生，对他们应当变忽视为重视，变嫌弃为喜爱，变冷眼为尊重。我们要调整课堂上的视线投向，让差生也能天天看到老师亲切的目光，也过上幸福快乐的校园生活。老师的每一句赞语、每一次表扬，对学生来说都是一种激励。课堂上教师对学生关注的一声，信任的一点头，爱抚的一摸、轻声的询问都是师爱情感的流露。教师学生双方处于积极情感状态时候，便会产生感情上的合流、课堂上将会出现一种协调、自然、宽松的气氛。对差生要创造条件，使他们有机会完全而体面的表现自己，使差生在表扬→努力→成功→自信→再努力→取得更大的成功，这样的过程中形成学习上的良性循环，不断萌发上进的心理。一个教师若能以真诚的自我对待学生，坦率地表达自己的真实思想情感。做到言行一致，表里如一，学生就会向教师敞开心灵的大门。愿和老师心心相印，投之以桃，报之以李，当学生感到自已被老师尊重、欣赏、理解时，他就会全心全意地与教师配合，并以百倍的努力报答教师，从而也使自已的潜能得到充分的发挥。3、采用灵活多样方法，保持稳定的情感表现教学活动是认知过程与情意过程相互交织、相辅相成的一个过程，而兴趣和愉快的相互作用和互补更为学生的智力活动提供了最佳的情绪背景，它可以改变学生在教学过程中的情感活动的性质，变消极状态为积极状态，提高课堂教学效率和学生的学习效果。如何培养兴趣呢？首先是采取灵活多样的教法。比如：用创设情景法讲概念；用发现法、比较法讲性质、法则、公式或定理；用讲讲、练练或议论等方式上练习课或复习课等等。启发诱导，充分调动学生的积极性，让他们主动参与，生动活泼地学习。其次是增强数学学习的趣味性。在课堂上，结合教学，运用多媒体课件或教具，让学生看一看、画一画、做一做，用动态的方式帮助学生掌握一些抽象的知识，甚至可以用交互的方式让学生动手自己制作教具，其效果是传统教学方式无法比拟的，这样既使学生学到了知识，又增加了趣味，也提高了学生动手动脑的能力。如在学习“相似三角形的应用”时，教师给学生边讲个古希腊哲学家泰勒斯测量金字塔高度的故事，边用多媒体展示情景，学生都非常疑惑不解，教师因势利导引入相似三角形知识应用的学习，学完新课后，再一起回过头来思考泰勒斯是用什么方法原理测量金字塔高度。这样的一个持续的问题情境贯穿于整堂课堂教学，激发了学生的思维，同时也培养了学生应用数学知识解决设计问题的意识。4、挖掘数学中的美，内化良好的情感品质数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。数学美即是蕴藏于它所特有的抽象概念、公式符号、命题模型、结构系统、推理论证、思维方法……之中的简单、和谐、严谨、奇异等形式，它是数学创造的自由形式，它揭示了规律性，是一种科学的真实美。数学中美的因素是多方面的、具体的、意义深刻的，其主要表现在以下四方面：（1）简单性。简单性是美的特征，也是数学美的基本内容。数学的简单美具有形式简洁、秩序、规整和高度统一的特点，还具有数学规律的普遍性和应用的广泛性。例如，众所周知的三角形、平行四边形、梯形的面积公式，形式多么简洁规整，应用又多么广泛普遍。在梯形的面积公式s=1/2（a＋b）h（a为上底，b为下底，h为高）中，当a=0时变成三角形的面积公式；当a=b时，变成平形四边形的面积公式，这种既有区别又有联系、既对立又统一、从量变到质变的辩证方法在数学中处处可见。其思维方法引入深思。（2）和谐性。各种自然形态，特别是动植物的生态以及人类的许多造物形态都有蕴含丰富的数学关系，有丰富的对称美、和谐美。作为反映和研究客观规律的数学科学，集中反映了这种美的特征。数学美的和谐性是指数学内容与结构系统的协调完备和数学所表现出的均衡对称。（3）严谨性。严谨性是数学的独持之美。它表现在数学定义准确地揭示了概念的本质属性；数学结论存在且唯一，对错分明，不模棱两可；数学的逻辑推理严密，从它的公理开始到演绎的最后一个环节不允许有一句假话，即使错一个符号也不行。此外，数学结构系统协调完备，数学图形美丽和谐，数学语言生动严密等等都表现了数学的严谨性，例如，极限过程，是一个无限接近的过程，人们无法经历它的全过程，而极限理论却使我们在推理想象中完成这个过程。对它所推出的结论的正确性人们确信无疑，达到尽善尽美，令人陶醉的境界。数学美的这种严谨性，要求数学工作者具有实事求是，谦虚谨慎，孜孜不倦地追求真理的美德，这正是数学美的伦理价值所在。（4）奇异性。数学中新颖的结论、出人意料的反例和巧妙的解题方法都表现出了一种独特的令人惊讶的奇异美。总之，在数学教学中渗透情感教育，对我们数学教学起着事半功倍地效果。无论是一个巧妙的比喻，还是一个有趣的故事，或者一个恰当的幽默都可使学生回味无穷，从而增强数学教学艺术的感染力。正如陕西师大罗增儒教授说的一样：知识只有插上了情感的翅膀，才会富有趣味性的幽默与魅力”。所以说，数学教育与情感教育在教学中相互交融、相互渗透、相互影响、相互促进。因此，我们要使以后的数学教学更加符合素质教育的要求，更加贴近新课程的标准，努力探索情感教育的有效途径，不断提高情感教育的效益，通过情感教育更有效地提高数学课的教学质量。只有这样，我们才能将21世纪的教育真正落到实处！作为一名青年教师，我们应该尽快成长起来，不要怕摔跤，不要怕挫折和困难，要不断学习、反思，不断充实自己，积累经验，在实践中去感悟新课程理念，让实践之树常青。
加强初中数学建模教学 培养学生应用数学意识
厦门前埔中学 阮颖芳
九年义务教育《数学课程标准》中指出：数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。数学教学要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
近几年，不仅每年高考都出了应用题，中考也加强了应用题的考察，这些应用题以数学建模为中心，以考察学生应用数学的能力，但学生在应用题中的得分率远底于其他题，原因之一就是学生缺乏数学建模能力和应用数学意识。因此中学数学教师应加强数学建模的教学，提高学生数学建模能力，培养学生应用数学意识和创新意识，本文结合教学实践，谈谈初中数学建模教学的一些学习体会。
⒈数学建模是建立数学模型的过程的缩略表示，可用下面的框图来说明这一过程：
实际问题
抽象、简化，明确变量和参数
根据某种“定律”或“规律”建立变量和参数间的一个明确的数学关系
解析地或近似地求解该数学问题
解释、验证
投入使用
通不过
通过
11 审题 建立数学模型，首先要认真审题。实际问题的题目一般都比较长，涉及的名词、概念较多，因此要耐心细致地读题，深刻分解实际问题的背景，明确建模的目的；弄清问题中的主要已知事项，尽量掌握建模对象的各种信息；挖掘实际问题的内在规律，明确所求结论和对所求结论的限制条件。
12 简化 根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要简化。抓住主要因素，抛弃次要因素，根据数量关系，联系数学知识和方法，用精确的语言作出假设。13 抽象 将已知条件与所求问题联系起来，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来，从而建立数学模型。按上述方法建立起来的数学模型，是不是符合实际，理论上、方法上是否达到了优化，在对模型求解、分析以后通常还要用实际现象、数据等检验模型的合理性。
⒉具体的建模分析方法
① 关系分析法：通过寻找关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型方法。
② 列表分析法：通过列表的方式探索问题的数学模型的方法。
③ 图象分析法：通过对图象中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法。
⒊掌握常见数学应用题的基本数学模型
在初中阶段，通常建立如下一些数学模型来解应用问题：
① 建立几何图形模型
② 建立方程或不等式模型
③ 建立三角函数模型
④ 建立函数模型
案例
例1 王**参加了某晚会，晚会中共有40人，若每两人均握手一次，问参加者共握手多少次？
例2 设计合适的包装方式。
⑴现有4盒磁带，有几种包装方式？哪种方式更省包装纸？
⑵若有8盒磁带，哪种方式更省包装纸？
例3 已知 、 、 均为非负实数，求证：
前两个问题比较明显的须建立几何图形模型来加以分析，第三个问题若用不等式变形来解决则非常困难，但建立几何图形模型解决则轻而易举，
如下图。
例4 甲、乙两厂分别承印八年级数学教材20万册和25万册，供应A、B两地使用，A、B两地的学生数分别为17万和28万，已知甲厂往A、B两地的运费分别为200元/万册和180元/万册；乙厂往A、B两地运费分别为220元/万册和210元/万册。（1）设总运费为w元，甲厂运往A地x万册，试写出w与x的函数关系式；（2）如何安排调动计划，能使总运费最少？
例5 我们已经学会了一些测量方法，现在请你观察一下学校中较高的物体，如教学楼、旗杆、大树等等，如何测量它们的高度呢？
本题显然要建立三角函数模型来分析解决
例6 爸爸准备为小明买一双新的运动鞋，但要小明自己算出穿几“码”的鞋。小明回家量了一下妈妈36码的鞋子长23厘米，爸爸41码的鞋子长255厘米。那么自己穿的215厘米长的鞋是几码呢？
本题较合理的数学模型是一次函数。
例7 1997年11月8日电视正在播放十分壮观的长江三峡工程大江截流的实况。截流从8：55开始，当时龙口的水面宽40米，水深60米。11：50时，播音员报告宽为344米。到13：00时，播音员又报告水面宽为31米。这时，电视机旁的小明说，现在可以估算下午几点合龙，从8：55到11：50，进展的速度每小时减少19米，从11：50到13：00，每小时宽度减少29米，小明认为回填速度是越来越快的，近似地每小时速度加快1米。从下午1点起，大约要5个多小时，即到下午6点多才能合龙。但到了下午3点28分，电视里传来了振奋人心的消息：大江截流成功！小明后来想明白了，他估算的方法不好，现在请你根据上面的数据，设计一种较合理的估算方法（建立一种较合理的数学模型）进行计算，使你的计算结果更切合实际。
建模合理性分析：本题建模合理性有以下两个评价点
⑴回填速度以每小时多少立方米填料计。这样，能否建立合理的回填速度计算模型便成为第一个评价要点。
⑵注意到回填速度是逐渐加快的：水流截面越大，水越深，回填时填料被冲走的就越多，相应的进展速度就越慢。反之就越快。在模型中对回填速度越来越快这一点如何作出较合理的假设，这是第二个评价要点。
⒋数学建模教学活动设计的体会
①鼓励学生积极主动地参与，把教学过程更自觉地变成学生活动的过程。
教师不应只是“讲演者”、“总是正确的指导者”而应不时扮演下列角色：模特——他不仅演示正确的开始，也表现失误的开端和“拨乱反正”的思维技能。参谋——提一些求解的建议，提供可参考的信息，但并不代替学生做出决断。询问者——故作不知，问原因、找漏洞，督促学生弄清楚、说明白，完成进度。仲裁者和鉴赏者——评判学生工作成果的价值、意义、优劣，鼓励学生有创造性的想法和作法。
②注意结合学生的实际水平，分层次逐步地推进。
数学建模对教师、对学生都有一个逐步的学习和适应的过程。教师在设计数学建模活动时，特别应考虑学生的实际能力和水平，起始点要低，形式应有利于更多的学生能参与。在开始的教学中，在讲解知识的同时有意识地介绍知识的应用背景。在应用的重点环节结合比较多的训练，如实际语言和数学语言，列方程和不等式解应用题等。逐步扩展到让学生用已有的数学知识解释一些实际结果，描述一些实际现象，模仿地解决一些比较确定的应用问题，到独立地解决教师提供的数学应用问题和建模问题，最后发展成能独立地发现、提出一些实际问题，并能用数学建模的方法解决它。
③重视知识产生和发展过程教学。
由于知识产生和发展过程本身就蕴含着丰富的数学建模思想，因此老师既要重视实际问题背景的分析、参数的简化、假设的约定，还要重视分析数学模型建立的原理、过程，数学知识、方法的转化、应用，不能仅仅讲授数学建模结果，忽略数学建模的建立过程。
④注意数学应用与数学建模的“活动性”。
数学应用与数学建模的目的并不是仅仅为了给学生扩充大量的数学课外知识，也不是仅仅为了解决一些具体问题，而是要培养学生的应用意识、数学能力和数学素质。因此我们不应该沿用老师讲题、学生模仿练习的套路，而应该重过程、重参与，更多地表现活动的特性。
参考文献
摘 要生存一直是我们探求而未尽的事物，面对自然和人如何生存如何生存的更好，先哲已经为我们开辟了一条方向，通过数学的模型化概括抽象出事物之间的普遍联系、发展演变；便于我们在生存中做出更好的选择，但这是一条并不完善的道路，还需要我们继续坚定走下去。
关键词数学的模型化；周易；卦
一、周易是数学模型
《易经》是中国古代最重要的经典之一，在两千多年的封建社会中，它几乎一直居于“六经”或“十三经”之首的地位。明代大儒朱熹认为它是一本卜筮用的书。《易经》又叫《周易》,“卦”是它的基本构成单位。《周易》有六十四卦构成，由八卦推演出来的，八卦称为经卦，六十四卦称为别卦。[1]
《周易》中最先产生的是八卦，八卦由爻组成。爻分阴、阳，即有阴爻和阳爻。阴爻和阳爻以不同的数量和顺序，每三个组成一卦，这便是八卦。六十四卦与八卦组成类似，六十四卦是以八卦的不同顺序，两两组成而成，即为六十四卦。八卦指：乾、坤、震、艮、坎、离、兑、巽；对应天、地、雷、山、水、火、泽、风。不管是八卦还是六十四卦，卦与卦之间的不同，是卦内部所含有的爻的数量、性质、顺序不同造成的。这也恰恰契合古代人认为阴阳构成世间万物的哲学思想。古人想要建立数学模型，了解世界的发展规律，从古代社会生活的需要出发，将几乎涵盖全部社会生活的事物或者状态抽象为六十四卦。将社会生活中的事物和状态抽象为六十四卦远比八卦精确的多，六十四卦是对八卦的补充。用我们现代数学中称之为算法的，数学法则将《周易》中的六十四卦与现实生活中的事物或者状态建立起对应关系，以此用来卜筮。尽管在马克思的视域下，古代人的做法不科学，卜筮属于封建时代迷信思想的遗留产物，不过这种建立数学模型的方法却内涵深刻的哲学和数学思想，并为后人开辟了一个对世界观察研究的道路。首先，古人必然是认识到事物之间存在着普遍联系，并相互影响着。其次，从现实的生存需要出发，要建立一种“理论”能够模拟出世界的发展变化规律，以此来知道人们的生活实践，所谓推天道以明人事，说的就是这个目的。将事物的内在矛盾变化归结为阴阳变化，在阴阳的数量和时序上区别开不同的发展状态。再建立六十四种不同状态和现实存在的模型关系。这样就可以通过《周易》来推演天地变化和人的处境。但是古人没有认识到世界的复杂性，也远远不具备能够对人类存在的世界整体的发展变化建立数学模型的能力。
之所以这种“理论”能够在古代社会具有很大的影响力，还跟最初建立六十四种状态的概率方法有关。古人最初概括自然与人发生各种关系的状态并不是现今所看到的六十四卦，这六十四卦是古人在长期生活实践中总结的发生可能性大的的大概率事件，小概率事件则逐渐湮灭在历史之中。正是这样，六十四卦在古代社会中与现实的巧合概率较大，导致古人的盲目迷信。
科学，建立在数学和原子论基础上。在原子论基础上，个门学科在以惊人速度用数学被量化。我们的世界具有普遍联系，这种普遍的，难以把握的联系～正在被数学以逻辑的，课推理的，可论证的。数理关系，清晰地，有条理的展现出来。也正因为数学的存在和量化，许多学科的界限变得模糊起来，相互间的融合逐渐开始，是各种知识的普遍联系性，初显。“杜威说到数学：‘我们借助于符号，或者是姿态，或者是文字’——注意，语言和文字，都是符号。‘……或者更精巧的构造’——我们借助于符号,好处就是可以想像动作，‘可以不动作而动作’。这是概念的惟一的用途：‘借助符号进行实验’。所以，‘专门符号的发明，标志着思维有了这样一种可能性，就是从常识的层次发展到科学的层次’，从现实的层次进入到可能的层次。这是杜威对数学符号的最重要的一种洞见，根据这一洞见，数学让我们把实践的过程变成符号运算的过程。”[2]
二、数学模型发展的不完善性
在数学模型化的世界中，混沌理论能够很好说明数字化的不完善性，在一个简单的变量模型模拟现实的某简单量变过程（线性的方程）时，模型与现实的高度统一性，始终准确的，明晰的展现过程的发展变化，但如果是同样的运算规则产生的多次叠加（非线性方程）时，准确性和，明晰性则大大减退，随着过程时间的发展到一定程度，所得到结果几乎是随机的、混乱的。然而这种数学模型与现实不符的情况是普遍存在于自然界当中的。由此可见我们所建立的数学模型具有明显的不完善性，由此诞生的一门学科计量方法就是专门研究这类问题的，数量模型是对现实的抽象，抽象必然导致微小因素的忽略，相异之处会随着模型与世界对应过程的时间发展而展开，逐渐暴露出来。然而蝴蝶效应却清楚的告诉我们，在面对庞大复杂的系统时，微小的量变因素，能导致整个系统的巨大变化。因此现在我们看来的具有严密逻辑推理但还不完善的数学一定存在更完善的更精确形式，数学模型的发展应该趋向于向着更微小因素的关注与涵盖。尽管数学是实证的和确实的，但我们还应该看到数学作为科学一部分，本身具有的不确定性。正如爱因斯坦所说那样，我们永远不可能得到真理，只能不断接近真理。正确的知识存在于我们认为正确，实则不完全正确的那部分知识中；科学的进步如同剥洋葱一般，剥去一层又一层的外皮，向着不断内核前进。当然这种确定与不确定之间的矛盾成为促使我们不断前进的根本动力。
三、发展中解决问题
现代数学的不完善性，导致的很多人类生存困境问题比如说市场经济领域大量使用数学模型，建立各种经济模型，模拟预测经济的发展。这本是很有效率和准确性的资源配置方式，但是数学模型的建立的同时，被赋予利润最大化。利润最大化的存在忽略了人类生活感情的一面，在追逐利益的同时，淡漠了人和人情感的交流。再比如在建立大气发展变化的数学模型中，因为对地球整体的发展变化，还没有全部了解，对于气候和天气的变化，还是采用兵来将挡水来土掩的老办法，那是片面的孤立的看待问题，就绝问题的办法，必然导致问题的积累，近些年厄尔尼诺现象的频繁发生，很可能就和片面孤立的解决环境问题有关。
看到数学模型的不完善性，有些人转而开始怀疑科学，怀疑人类意识和客观存在的统一性问题，即倒向不可知论。这些都是不正确的，马克思说过事物的发展是在曲折的盘旋的前进。对待数学模型的不完善性，我们要在发展中解决。
参考文献
[1]朱伯昆《易学基础教程》九州出版社,第13页
[2]汪丁丁《数学和社会科学方法的关系》社会科学战线2004年第五期,第36页
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