求 “ 2011年中国大学生数学建模比赛题目”

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

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A题 城市表层土壤重金属污染分析

随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。

现要求你们通过数学建模来完成以下任务：

(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。

(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

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B题 交巡警服务平台的设置与调度

“有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。

试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：

（1）附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数据信息见附件2。请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。

对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。

根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。

（2）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。如果有明显不合理，请给出解决方案。

如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。

附件1：A区和全市六区交通网络与平台设置的示意图。

附件2：全市六区交通网络与平台设置的相关数据表（共5个工作表）。

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C题 企业退休职工养老金制度的改革

养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。

我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。

养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。

现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为585% 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。

附件1是山东省职工历年平均工资数据；附件2是2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，附件3是养老金的计算办法。请建立数学模型，解决如下问题：

问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。

问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。

问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。

问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

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D题 天然肠衣搭配问题

天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。

原料按长度分档，通常以05米为一档，如：3-34米按3米计算，35米-39米按35米计算，其余的依此类推。表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。

表1 成品规格表

最短长度 最大长度 根数 总长度

3 65 20 89

7 135 8 89

14 ∞ 5 89

为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。表2为某批次原料描述。

表2 原料描述表

长度 3-34 35-39 4-44 45-49 5-54 55-59 6-64 65-69

根数 43 59 39 41 27 28 34 21

长度 7-74 75-79 8-84 85-89 9-94 95-99 10-104 105-109

根数 24 24 20 25 21 23 21 18

长度 11-114 115-119 12-124 125-129 13-134 135-139 14-144 145-149

根数 31 23 22 59 18 25 35 29

长度 15-154 155-159 16-164 165-169 17-174 175-179 18-184 185-189

根数 30 42 28 42 45 49 50 64

长度 19-194 195-199 20-204 205-209 21-214 215-219 22-224 225-229

根数 52 63 49 35 27 16 12 2

长度 23-234 235-239 24-244 245-249 25-254 255-259

根数 0 6 0 0 0 1

根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。

公司对搭配方案有以下具体要求：

(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；

(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；

(3) 为提高原料使用率，总长度允许有± 05米的误差，总根数允许比标准少1根；

(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7-135米的进行捆扎，成品属于7-135米的规格；

(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。

请建立上述问题的数学模型，给出求解方法，并对表1、表2给出的实际数据进行求解，给出搭配方案。

只有一些资料，希望你满意！^_^

治理污染的数学模型

随着市场经济和现在工业的飞速发展，人类面临了直接危害人类生存的新的问题——环境污染，为了治理污染，提出治理污染的新的方案，我们必须建立客观合理的数学模型来解决,通过对问题的分析，我们利用微积分方程的求解方法，得出湖水污染变化的结果，

问题（一）湖水污染浓度为51178%;

问题（二）下降到原来的5%所需时间为3983120天。在模型建设中我们采用了比较理想的求解方法，在实际中还是比较有指导意义的。

一、问题重述

设一容积为V（m3）的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀地分布在湖中，没湖水更新的速率为r(m3/天)，并假设湖水的体积没有变化，试建立湖水污染浓度的数学模型。

美国安大略湖容积5941109(m2)，湖水的流量为4453651010(m3/天)。湖水现阶段的污染浓度为104，外面进入湖中的水的污染浓度为5%，并假设该值没有变化，求经过500天湖水污染浓度。

美国密西根湖的容积为4871109（m2）。湖水的流量为366351321010(m3/天)

由于治理污染措施得力及某时刻起污染源被切断，求污染被中止后，污染物浓度下降到原来的5%所需时间。

二、模型假设

1、，湖水流量为常量，湖水体积为常量；

2、流入流出湖水水污染浓度为常量，

三、符号说明

W（t）: t 时刻水污染浓度

t: 时间，以天作单位

m: 外进湖中水污染浓度

r: 湖水的更新速率

V: 湖水的体积

四、问题分析

问题（一）要求经过500天湖水的浓度，由于流入和流出的湖水浓度不同，我们在考虑此问题时，运用微积分方程和质量守恒定律得出水污染浓度与已知量之间的关系；问题（二）污染源被切断的情况，即湖水的污染浓度不再改变，即m=0，由于问题（二）给出污染物浓度下降到原来的5%，从而可以求得所需的时间。

五、模型的建立与求解

设t时刻湖区的污染物浓度为W（t），考虑时间区间[t，t +⊿t]并利用质量守恒定律：

[t，t +⊿t]内湖中污染浓度的变化量=流入湖水的污染量—流出湖水的污染量。

用数学表达式表示为：

V[w(t+⊿t )—w（t）]=rm⊿t—

于是得，令⊿t→0

dw/dt=a-bx t>0,w(0)=wo

其中a=rm/v,b=r/v

求得w(t)=m+(wo-m)e^(-rt/v)……（1）

问题（一）中v=5941e12(m3)

r=445365e10, wo=10%, m=5%,t=500代入式中，得：

w(500)=51178%

在问题（二）中，m=0,从而rm⊿t=0,其中v=4871e12,r=36635132e10,w(t)=5%wo

代入表示式（1）中，得：t=3983(天)。

附录：

用MATLAB解问题（一）过程如下：

r=445365e10;v=5941e12;wo=10;m=5;t=500;

w=m+(wo-m)exp(-rt/v)

结果：

w =51178

问题（二）

r=36635132e10;v=4871e12;m=0;w=005wo;

w=m-(wo-m)exp(-rt/v)

a=log(w);y=a(-v)/r

结果：

y = 3983120

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