三角形ABC的内心,外心,重心,垂心分别是什么?如何证明?

1、内心三角形三个内角平分线的交点；特点：到三角形三边距离相等

2、外心三角形三边的垂直平分线的交点；特点：到三角形三个顶点的距离相等

3、重心三角形三条中线的交点；

4、垂心三角形三条高的交点

垂 心

三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

锐角三角形垂心在三角形内部。

直角三角形垂心在三角形直角顶点。

钝角三角形垂心在三角形外部。

垂心是高线的交点

垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点

重心

三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的的重心。三角形的重心到各边中点的距离等于这边上中线的三分之一。

内心

内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。

内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。

外心

外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

注意到外心到三角形的三个顶点距离相等，结合垂直平分线定义，外心定理其实极好证。

内心

是三条角平分线的交点，它与三条边的距离相等；即内切圆的圆心；直角三角形的内心到边的距离等于两条直角边长度之和减去斜边长度之差的一半；

外心

是三条边垂直平分线的交点，它与三个顶点的距离相等；即外接圆的圆心；

重心

是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到该顶点对边中点距离的两倍；重心与三个顶点构成的三个三角形面积相等；重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数；重心是三角形内到三条边距离之积最大的点；

垂心

是三条高的交点，它可以构成许多相似直角三角形；

旁心

是一个内角平分线和它不相邻的两个外角平分线的交

点，它与三条边的距离相等。

正三角形的内心、外心、重心、垂心重合，该点叫中心。