单摆周期公式推导过程

采用牛顿第二定律推导：

如下图，摆长为l,重物受力为：重力mg和绳子的张力T。取如图所示的二维坐标系，张力T可以分解为垂直和水平方向的二个力。L与垂线的夹角为θ。

F=ma，可以列出重物在x和y二个方向上的运动方程：

这二个微分方程相当难解，所以只能采用一种“小角度近似”的方法进行处理，

解的物理意义很明确，A是最大振幅，ω是角速度，φ是初相角（视初始条件而定）。

扩展资料：

科学是严谨的，在此补充在任意角度下单摆的周期公式。在此之前先提出两个概念（这里用Mathematica的定义）：

第一类不完全椭圆积分：

第一类完全椭圆积分：

下面用微分方程进行讨论，设摆长为l,摆线与竖直方向的夹角为θ，那么单摆的运动公式为：

令  ，于是有

上式改写成：

这是一个可分离变量的微分方程！分离变量：

其通解为：

给定初始条件 （0≤α≤π），  ，则其特解为：

所以考虑t（t是四分之一周期）：

设  ，则

又考虑到

便可以化简得到

按照前面的定义，便有

此处的α就是常说的摆角。

参考资料：

　　1、单摆的周期公式是 T=2π√(L/g)。

　2、证明：摆球的摆动轨迹是一个圆弧，设摆角(摆球偏离竖直方向的角度)为θ，则摆球的重力mg沿此圆弧的切线方向的分力为mgsinθ，设摆球偏离平衡位置的位移为x、摆长为l，则当摆角很小时,可以认为sinθ=x/l。所以，单摆的回复力为F=-mgx/l。

　3、对于系统而言,m、g、l均为定值，故可认为k=mg/l，则F=-kx。因此在单摆很小的情况下，单摆做简谐运动。

由于单摆的形式不同，其单摆的周期公式也不同，以下是几个常见的单摆以及公式。

1、理想单摆

高中学过的单摆小摆角振动的周期公式为T=2πLg这是把摆球当作质点即假设 r << L 的情况。此时公式中没有 r 的依赖项。

2、考虑为复摆

如果不把小球看作质点，而是将小球和摆线整体视为刚体，则为小摆动的复摆周期公式为

T=2πImgL=2πIc+mL2mgL,

式中 L 为摆的悬挂点到球心的距离，Ic=25mr2 为小球过质心轴的转动惯量。I=Ic+mL2 为小球对通过悬挂点的水平轴的转动惯量，满足平行轴定理。

3、考虑为双摆

更细心的同学可能对于把摆球和摆线整体视为刚性有疑问，认为系统中同时存在两个可变角度，绳子同竖直方向的夹角 α，绳子与球的连接点与球心连线同竖直方向的夹角 β ，二者在摆动时可能并不相等。这个模型较为复杂，要用理论力学的方法来处理。

4、双摆解与复摆解的关系

双摆小振动严格解很复杂，但是它在 r << L 的近似下给出的领头阶修正 O(r^2/L^2) 与复摆解是一致的。这表明当实验中需要考虑摆球大小带来的周期误差时，复摆解通常是足够好的近似。只有当 r 确实已经大到和 L 可以比拟的程度了，例如 r ≥ 02L，才需要用两个自由度的双摆小振动解分析单摆周期。详细情况要做实验才能观察出来。