如何单摆周期公式推导

这里我只做一个对比来说明单摆是简谐振动，具体推到你可以去解微分方程，其实也很简单就能算出它的表达式。

首先我们知道弹簧振子的振动是简谐振动（要是这个不知道那就没办法了），弹簧的胡克定律是

F=k‘x

也就是ma=k’x，则有 a=k‘/mx=kx

即 x’‘=kx （或者写成微分形式：d^2x/dt^2=kx）()

只要表达式符合这样的相似条件，那么就是简谐振动。

现在我们假设摆动角度为θ，角速度为ω，角加速度为ɑ，

则有θ’=ω，ω‘=ɑ。

根据单摆的受力可知：mgsinθ=mθ’‘，即 gsinθ=θ’' (#)

根据单摆的要求知道，摆角要小于5°，也就是说θ趋近于0，我们知道当θ→0时，sinθ→θ，也就是可以用θ来代替sinθ

即 sinθ=θ

所以（#）式可以转化为

gθ=θ'' 即 θ''=g θ （或者是d^2θ/dt^2=gθ）

这显然与（）式的表达式是一致的，所以单摆是简谐振动

为什么高中没有讲,原因在于它的推导和很多公式的推导一样需要用到竞赛中讲的微元法,也就是大学课程微积分的雏形比如向心加速度的公式,也没讲吧你可以参照高中物理课本的选学部分,找到向心加速度的推导,了解一下什么是微元法先

下面假定你已经知道了什么是微元法我来告诉你怎么推导单摆

单摆在高中范围内是很小角度的摆动也就是可以近似的认为是直线上的震动通过微元法的分析(具体步骤无法做图),这个摆动的回复力是与位移成正比的,也就是符合简谐震动的条件F=kx这里的k,具体在单摆中应该是mgl将k=mgl代入简谐震动的周期公式T=2pi根号下"m/k"

可得单摆周期公式2pi根号下"gl"

由于计算周期，只需考虑最大位移处，即振幅，是标量（下同），得

F=kA

根据向心力公式F=mω^2r

由于此时半径为振幅，则F=mω^2A

代入定义式为kA=mω^2A

两边约去A，得k=mω^2

对此式变形ω^2=k/m

1/ω^2=m/k

1/ω=√(m/k)

通过对角速度公式ω=2π/T变形得

T=2π(1/ω)代入前面计算的式子得T=2π√(m/k)

注意这个就是一般的简谐运动求周期公式，只是不教罢了，下面推出单摆公式

老师上课说过，当摆角很小时可近似得出

sinθ=F/mg=x/l

变形得F=mgx/l

参照简谐运动定义式F=kx，一一对应

得k=mg/l

将k代入前面算出的一般简谐运动周期公式T=2π√(m/k)

得T=2π√(m/(mg/l))

约去m，化简得T=2π√(l/g)

　　1、单摆的周期公式是 T=2π√(L/g)。

　2、证明：摆球的摆动轨迹是一个圆弧，设摆角(摆球偏离竖直方向的角度)为θ，则摆球的重力mg沿此圆弧的切线方向的分力为mgsinθ，设摆球偏离平衡位置的位移为x、摆长为l，则当摆角很小时,可以认为sinθ=x/l。所以，单摆的回复力为F=-mgx/l。

　3、对于系统而言,m、g、l均为定值，故可认为k=mg/l，则F=-kx。因此在单摆很小的情况下，单摆做简谐运动。

单摆公式是T=2π√(L/g)，其中，L为摆长，g为当地的重力加速度。

单摆是能够产生往复摆动的一种装置，将无重细杆或不可伸长的细柔绳一端悬于重力场内一定点，另一端固结一个重小球，就构成单摆。

若小球只限于铅直平面内摆动，则为平面单摆，若小球摆动不限于铅直平面，则为球面单摆。

具体说明：

质点振动系统的一种，是最简单的摆，绕一个悬点来回摆动的物体，都称为摆，但其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。

但若把尺寸很小的质块悬于一端固定的长度为l且不能伸长的细绳上，把质块拉离平衡位置，使细绳和过悬点铅垂线所成角度小于10°，放手后质块往复振动，可视为质点的振动。

其周期T只和长度l和当地的重力加速度g有关，即T和质块的质量、形状和振幅的大小都无关系，其运动状态可用简谐振动公式表示。

如果振动的角度大于10°，则振动的周期将随振幅的增加而变大，就不成为单摆了。如摆球的尺寸相当大，绳的质量不能忽略，就成为复摆，周期就和摆球的尺寸有关了。

单摆的周期公式是

t=2π√l/g

,只与摆长和当地的重力加速度有关，与摆长的平方根成正比，与当地重力加速度的平方根成反比。

这个公式t=2π√l/g是

根据弹簧振子的周期公式t=2π√m/k

推导出来的，因为单摆做简谐运动时的比例系数(f=-kx中的k)k=mg/l代入t=2π√m/k

即得t=2π√l/g

。

采用牛顿第二定律推导：

如下图，摆长为l,重物受力为：重力mg和绳子的张力T。取如图所示的二维坐标系，张力T可以分解为垂直和水平方向的二个力。L与垂线的夹角为θ。

F=ma，可以列出重物在x和y二个方向上的运动方程：

这二个微分方程相当难解，所以只能采用一种“小角度近似”的方法进行处理，

解的物理意义很明确，A是最大振幅，ω是角速度，φ是初相角（视初始条件而定）。

扩展资料：

科学是严谨的，在此补充在任意角度下单摆的周期公式。在此之前先提出两个概念（这里用Mathematica的定义）：

第一类不完全椭圆积分：

第一类完全椭圆积分：

下面用微分方程进行讨论，设摆长为l,摆线与竖直方向的夹角为θ，那么单摆的运动公式为：

令  ，于是有

上式改写成：

这是一个可分离变量的微分方程！分离变量：

其通解为：

给定初始条件 （0≤α≤π），  ，则其特解为：

所以考虑t（t是四分之一周期）：

设  ，则

又考虑到

便可以化简得到

按照前面的定义，便有

此处的α就是常说的摆角。

参考资料：