何谓平面弯曲和纯弯曲？弯曲正应力在横截面上如何分布？

平面弯曲和纯弯曲

举例说明：1、将一块木板一端水平插入墙缝里，在另外一端加个往上或者往下的垂直力，那么这块木板所受的力就是平面弯曲和纯弯曲；2、如果将木板的一端垂直插入地面结构，你再在木板的另外一端加个往下的力和侧弯力，那么木板所受的力就是压弯。

横截面上的应力分布：应力方向垂直于弯曲平面，最大压应力和最大拉应力在弯曲平面的上下缘，横截面其他点按三角形分配

主要因素：应变片的方向和贴片位置是否准确；是否进行温度补偿；；梁的摆放位置；下端支撑位置；加载力位置，是否满足中心部位的纯弯。

法向应力的变化分量沿厚度上的变化可以是线性的，也可是非线性的。其最大值发生在壁厚的表面处，设计时一般取最大值进行强度校核。

壁厚的表面达到屈服后，仍能继续提高承载能力，但表面应力不再增加，屈服层由表面向中间扩展。所以在压力容器中，弯曲应力的危害性要小于相同数值的薄瞋应力（应力沿壁厚均布）。

扩展资料：

梁纯弯曲时横截面上的正应力分布规律。由此式可知，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比，距中性轴等远的同一横线上的各点处的正应力相等，中性轴各点处的正应力均为零。

弯曲正应力公式是在纯弯曲情况下推导的。当梁受到横向力作用时，在横截面上，一般既有弯矩又有剪力，这种弯曲称为横力弯曲。

由于剪力的存在，在横截面上将存在切应力τ，从而存在切应变γ=τ/G。由于切应力沿梁截面高度变化，故切应变γ沿梁截面高度也是非均匀的。

--弯曲应力

不会。

施加的荷载和测试应变成线性关系。实验时，在加外载荷前，首先进行了测量电路的平衡（或记录初读数），然后加载进行测量，所测的数（或差值）是外载荷引起的，与梁自重无关。

一般不用考虑梁的自重。梁的自重应该只有几公斤且为均布载荷，而外载荷一般是几百、上千公斤。相对于所加的外部荷载，梁的自重几乎可以不考虑，对荷载产生的力偶影响很小，所以实验结果误差较小。如果只独立计算力偶作用应力当然可以，如果要计算组合应力，当要考虑自重。

扩展资料：

弯曲正应力公式是在纯弯曲情况下推导的。当梁受到横向力作用时，在横截面上，一般既有弯矩又有剪力，这种弯曲称为横力弯曲。由于剪力的存在，在横截面上将存在切应力τ，从而存在切应变γ=τ/G。由于切应力沿梁截面高度变化，故切应变γ沿梁截面高度也是非均匀的。

因此，横力弯曲时，变形后的梁截面不再保持平面而发生翘曲，1-1截面变形后成为1'-1'截面。既然如此，以平面假设为基础推导的弯曲正应力公式，在横力弯曲时就不能适用。

-弯曲应力

剪应力为零、正应力最大。

以弯曲变形为主要变形的构件称之为梁。显示了梁在竖向荷载作用下变形的特点。梁在竖向荷载作用下产生弯曲变形，一侧受拉。而另一侧受压。

同时通过截面之间的相互错动传递剪力，最终将作用在其上的竖向荷载传递至两边支座。梁的内力包括了剪力和弯矩。

扩展资料

梁工程量计算方法

一、梁的体积=梁的截面面积梁的长度

1、现浇混凝土梁按设计图示尺寸以体积计算。不扣除构件内钢筋、预埋铁件所占体积，伸入墙内的梁头、梁垫并入梁体积内。

2、梁与柱连接时，梁长算至柱侧面，主梁与次梁连接时，次梁长算至主梁侧面。

3、圈梁与梁连接时，圈梁体积应扣除伸入圈梁内的梁的体积。

4、在圈梁部位挑出的混凝土檐，其挑出部分在300px以内时，并入圈梁体积内计算；挑出部分在300px以外时，以圈梁外皮为界限，挑出部分为挑檐天沟。

5、预制混凝土梁按设计图示尺寸以体积计算。不扣除构件内钢筋、预埋铁件所占体积。

弯曲应力（bending stress）系指法向应力的变化，分量沿厚度上的变化可以是线性的，也可是非线性的。其最大值发生在壁厚的表面处，设计时一般取最大值进行强度校核。壁厚的表面达到屈服后，仍能继续提高承载能力，但表面应力不再增加，屈服层由表面向中间扩展。所以在压力容器中，弯曲应力的危害性要小于相同数值的薄瞋应力（应力沿壁厚均布）。

在载荷作用下，梁横截面上一般同时存在剪力和弯矩。由切应力τ构成剪力，由正应力σ构成弯矩，如图1所示。由正应力与切应力引起的弯矩分别称为弯曲正应力与弯曲切应力。

推导纯弯曲梁横截面的正应力公式，与推导扭转切应力公式相似，也需要从变形几何关系、物理关系和静力学三方面来考虑。 [2]

变形几何关系

纯弯曲时梁的纵向“纤维”由直线变为圆弧，相距 的两横截面1'－1'和2'－2'绕中性轴发生相对转动，如图2所示。横截面1'－1'和2'－2'延长相交于O点，O点即为中性层的曲率中心。设中性层的曲率半径为ρ，此两横截面夹角为 ，则距中性层为y处纵向“纤维”ab的正应变为

图2

图2

实际上，由于距中性层等远各纵向“纤维”的变形相同，所以，上述正应变ε即代表距中性层为y的任一纵向“纤维”的正应变。

物理关系

根据纵向纤维假设，各纵向”纤维”处于单向拉伸或压缩状态，因此，当正应力不超过材料的比例极限时，胡克定律成立，由此得横截面上距中性层y处的正应力为

该式就是梁纯弯曲时横截面上的正应力分布规律。由此式可知，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比，距中性轴等远的同一横线上的各点处的正应力相等，中性轴各点处的正应力均为零。

静力学关系

图3

图3

上面虽已得到正应力分布规律，但还不能用所给公式直接计算梁纯弯曲时横截面上的正应力。至此有两个问题尚未解决：一是中性层的曲率半径ρ仍未知；二是中性轴位置未知，故式中之y还无从确定。解决这两个问题，需要借助于静力学关系。

令横截面纵向对称轴为y轴，中性轴为x轴，梁轴线为x轴，在坐标（y，a）处取一微面积dA，法向微内力为ρdA（图3），横截面各微面积上的法向微内力ρdA组成一空间平行力系，而且横截面上不存在轴力，仅存在位于x－y平面内的弯矩M，因此

得：

由于 ≠0，故

式中左边的积分代表横截面对z轴的静矩 。只有当z轴通过横截面形心时，静矩 才为零。由此可见，中性轴通过横截面形心。

可得：

此式为用曲率表示的弯曲变形公式。公式中 代表横截面对z轴的惯性矩。

由推出的公式易得纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式为：

此式为弯曲正应力的一般公式。

弯曲正应力公式的应用范围编辑

弯曲正应力公式是在纯弯曲情况下推导的。当梁受到横向力作用时，在横截面上，一般既有弯矩又有剪力，这种弯曲称为横力弯曲。由于剪力的存在，在横截面上将存在切应力τ，从而存在切应变γ=τ/G。由于切应力沿梁截面高度变化，故切应变γ沿梁截面高度也是非均匀的。因此，横力弯曲时，变形后的梁截面不再保持平面而发生翘曲，如图4中的1-1截面变形后成为1'-1'截面。既然如此，以平面假设为基础推导的弯曲正应力公式，在横力弯曲时就不能适用。但是，如果两截面间没有载荷作用时，则两截面的剪力相同，其翘曲程度也相同，由弯矩所引起的纵向纤维的线应变将不受剪力的影响，所以弯曲正应力公式仍然适用。当梁承受分布载荷作用时，两截面上的剪力不同，因而翘曲程度也不相同，而且，此时纵向纤维还受到分布载荷的挤压或拉伸作用，但精确分析表明，如果梁长l与梁高h相比足够大时，这种翘曲对弯曲正应力的影响很小，应用公式计算弯曲正应力仍然是相当精确的。

综上所述，对于各横截面剪力相同的梁和各横截面剪力不相同的细长梁，在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式仍然适用。

第八章 梁的强度与刚度

第二十四讲 梁的正应力 截面的二次矩 第二十五讲 弯曲正应力强度计算（一） 第二十六讲 弯曲正应力强度计算（二） 第二十七讲 弯曲切应力简介 第二十八讲 梁的变形概述 提高梁的强度和刚度

第二十四讲 纯弯曲时梁的正应力 常用截面的二次矩

目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。

教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。

教学难点：平行移轴定理及其应用。

教学内容：

第八章 平面弯曲梁的强度与刚度计算

§8-1 纯弯曲时梁的正应力

一、 纯弯曲概念：

1、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。

2、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。

二、纯弯曲时梁的正应力：

1、中性层和中性轴的概念：

中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。

中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。

2、纯弯曲时梁的正应力的分布规律：

以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。

3、纯弯曲时梁的正应力的计算公式：

（1）、任一点正应力的计算公式：

（2）、最大正应力的计算公式：

其中：M---截面上的弯矩； IZ---截面对中性轴(z轴)的惯性矩；

到中性轴的距离。

说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。

所求应力的点 y---

§8-2 常用截面的二次矩 平行移轴定理

一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数：

1、矩形截面：

2、圆形截面和圆环形截面：

圆形截面

圆环形截面

其中：

3、型钢：

型钢的二次矩和弯曲截面系数可以查表。

二、组合截面的二次矩 平行移轴定理

1、平行移轴定理：

截面对任一轴的二次矩等于它对平行于该轴的形心轴的二次矩，加上截面面积与两轴之间的距离平方的乘积。

IZ1=IZ+aA

2、例题：

例1：试求图示T形截面对其形心轴 的惯性矩。

解：1、求T形截面的形心座标yc

2

2、求截面对形心轴z轴的惯性矩

第二十五讲 弯曲正应力强度计算（一）

目的要求：掌握塑性材料弯曲 正应力强度计算。

教学重点：弯曲正应力强度条件的应用。

教学难点：弯曲正应力强度条件的理解。

教学内容：

§8-3 弯曲正应力强度计算

一、 弯曲正应力强度条件：

1、 对于塑性材料，一般截面对中性轴上下对称，最大拉、压应力相等，而塑性材料的抗拉、压强度又相等。所以塑性材料的弯曲正应力强度条件为：

（1）、强度校核

（2）、截面设计

（3）、确定许可荷载

2、 弯曲正应力强度计算的步为：

(1)、 画梁的弯矩图，找出最大弯矩（危险截面）。

(2)、 利用弯曲正应力强度条件求解。

二、例题：

例1：简支矩形截面木梁如图所示，L=5m,承受均布载荷q=36kN/m，木材顺 纹许用应力［σ］＝10MPa，梁截面的高宽比h/b=2，试选择梁的截面尺寸。

解：画出梁的弯矩图如图，最大弯矩在梁中点。

由

得

矩形截面弯曲截面系数：

h=2b=0238m

最后取h=240mm,b=120mm

例2：悬臂梁AB如图，型号为No18号式字钢。已知［σ］＝170MPa，L=12m 不计梁的自重，试求自由端集中力F的最大许可值［F］。

解：画出梁的恋矩图如图。

由M图知：Mmax=FL=12F

查No18号工字钢型钢表得

Wz=185cm3

由

得

Mmax≤Wz[σ]

12F≤185×10-6×170×106

[F]=262×103N=262kN

第二十六讲 弯曲正应力强度计算（二）

目的要求：掌握脆性材料的弯曲正应力强度计算。

教学重点：脆性材料的弯曲正应力强度计算。

教学难点：脆性材料的正应力分布规律及弯曲正应力强度条件的建立。

教学内容：

一、 脆性材料梁的弯曲正应力分析

1、脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，例如T字形截面梁（图）。

2、脆性材料的弯曲正应力强度计算中，脆性材料的抗拉强度和抗压强度不等，抗拉能力远小于抗压能力，弯曲正应力强度计算要分别早找出最大拉应力和最大压应力。

3、 由于脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，上下边沿点到中性轴的距离不等，因此最大拉、压应力不一定发生在弯矩绝对值最大处，要全面竟进行分析。

三、 例题：

例1：如图所示的矩形截面外伸梁，b=100mm，h=200mm，P1=10kN， P2=20kN，[σ]=10MPa，试校核此梁的强度。

解：1、作梁的弯矩图如图

（b）

由梁的弯矩图可得：

2、强度校核

σmax>[σ]

即：此梁的强度不够。

例2：T型截面铸铁梁如图，Iz=136×104mm4,y1=30mm,y2=50mm,铁铸的抗拉许用应力[σt]＝30MPa，抗压许用应力[σc]＝160MPa，F=25kN,q=2kN/m，试校核梁的强度。

解：（1）求出梁的支座反力为

FA=075kN,FB=375kN

（2）作梁的弯矩图如图（b）

（3）分别校核B、C截面

B截面

可见最大拉应力发生在C截 的

下边缘。以上校核知：梁 的正

应力强度满足。

C截面

可见最大拉应力发生在C截 的下边缘。以上校核知：梁 的正应力强度满足。

第二十七讲 弯曲切应力简介

目的要求：掌握弯曲切应力的强度计算。

教学重点：最大弯曲切应力的计算。

教学难点：弯曲切应力公式的理解。

教学内容：

§8-4 弯曲切应力简介

一、 弯曲切应力：

1、 梁横截面上的剪力由

弯曲切应力组成。

2、 梁横截面上的弯曲切

应力成二次抛物线规律分布，中

性

轴处最大，上下边沿点为零。

（如图）

三、 最大弯曲切应力的计算：

1、 矩形截面梁：最大弯曲切应力是平均应力的1、5倍

2、 圆形截面梁：最大弯曲切应力是平均应力的三分之四

3、 工字钢：最大弯曲切应力有两种算法 （1）、 公式：

（2）、 认为最大弯曲切应力近似等于腹板的平均切应力。

四、 弯曲切应力的强度计算：

1、 强度条件：

τmax ≤[τ]

[τ]---梁所用材料的许用切应力 2、 例题：

例1：如图所示简支梁，许用正应力[σ]=140MPa，许用切应力

[τ]=80MPa，试选择工字钢型号。

解：

（1）由平衡方程求出支座反力

FA=6kN, FB=54kN

（2）画出剪力图弯矩图

（3）由正应力强度条件选择型号

查型钢表：选用No126号工字钢。

Wz=77529cm3,h=126mm，δ=84mm, b=5mm

（4）切应力校核

故需重选。

重选No14号工字钢，h=140mm,δ=91mm,b=55mm。

虽然大于许用应力，但不超过5％，设计规范允许。故可选用No14工字钢。

第二十八讲 梁的变形概述 提高梁的强度和刚

度的措施

目的要求：掌握叠加法计算梁的变形。

教学重点：叠加法计算梁的变形。

教学难点：提高梁的强度和刚度的措施的理解。

教学内容：

§8-5 梁的变形概述

概念：

1、挠度和转角：梁变形后杆件的轴线由直线变为一条曲线。梁横截面的形心在铅垂方向的位移称为挠度。挠度向上为正，向下为负。梁横截面转动的角度称为转角，转角逆时针转动为正，顺时针转动为负。

2、挠曲线方程：梁各点的挠度若能表达成坐标的函数，其函数表达式称为挠曲线方程。

挠曲线方程 w＝f(x)

挠曲线方程对坐标的一阶导数等于转角方程。

§8-6 用叠加法计算梁的变形

一、 叠加原理：在弹性范围内，多个载荷引起的某量值（例如挠度），等于每单个载荷引起的某量值（挠度）的叠加。

二、 用叠加法计算梁的变形：

1、步骤：将梁分为各个简单载荷作用下的几个梁，简单载荷作用下梁的变形（挠度和转角）可查表得到。然后再叠加。 2、例题：

例1：用叠加法求(a)图所示梁的最大挠度yc和最大转角θc。 解：图(a)可分解为(b)、（c）两种情况的叠加，分别查表得

三、梁的刚度条件：梁的刚度计算以挠度为主

梁的刚度条件：

ωmax≤[ω]

θmax≤[θ]

1、刚度校核

2、截面设计

3、确定许可荷载

在设计梁时，一般是先按强度条件选择截面或许可荷载，再用刚度条件校核，若不满足，再按刚度条件设计。

§8-7 提高梁的强度和刚度的措施

一、 合理安排梁的支承：

例如剪支梁受均布载荷，若将两端的支座均向内移动02L，则最大弯矩只有原来最大弯矩的五分之一。（图）

二、 合理布置载荷：

将集中力变为分布力将减小最大弯矩的值。（图）

三、 选择合理的截面：

1、截面的布置应该尽可能远离中性轴。工字形、槽形和箱形截面都是很好的选择。

2、脆性材料的抗拉能力和抗压能力不等，应选择上下不对称的截面，例如T字形截面。