椭圆的参数方程（焦点在Y轴上）的推导

参数方程的原理（X轴的）：设A为椭圆上一点：坐标(X，Y)。O=(-c，0)。O为椭圆焦点K是以OX为始边OA为终边的角，取K为参数，X=|OA|COS(K)，Y=|OB|SIN(K)，设参数方程为X=aCOS(K)Y=bSIN(K)。

==>X^2/a^2+Y^2/b^2=(COSK)^2+(SINK)^2=1为椭圆标准方程。==>参数方程X=aCOS(K)Y=bSIN(K)为椭圆的参数方程。

扩展资料：

（1）曲线的极坐标参数方程ρ=f(t)，θ=g(t)；

（2）圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ（θ∈ [0，2π) ） (a,b) 为圆心坐标，r 为圆半径，θ 为参数，(x,y) 为经过点的坐标；

（3）椭圆的参数方程 x=a cosθ　 y=b sinθ（θ∈[0，2π）） a为长半轴长 b为短半轴长 θ为参数 

（4）双曲线的参数方程 x=a secθ （正割） y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数；

（5）抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数。

一、推导过程：

解：设C：（（x^2）/（a^2））+（（y^2）/（b^2））=1-----式1；

（a^2）-（b^2）=（c^2）；

F1（-c，0）；F2（c，0）；P（xp，yp）

AB：（y-yp）=k（x-xp）=>y=kx+（yp-kxp）；令m=yp-kxp=>AB：y=kx+m-----式2；

联立式1和式2消去y得：（（k^2）+（（b^2）/（a^2）））（x^2）+2kmx+（（m^2）-（b^2））=0；

因为直线AB切椭圆C于点P，所以上式只有唯一解，则：

4（（km）^2）-4（（k^2）+（（b^2）/（a^2）））（（m^2）-（b^2））=0=>m^2=（（ak）^2）+（b^2）；

m^2=（yp-kxp）^2=（（yp）^2）+（（kxp）^2）-2kxpyp=（（ak）^2）+（b^2）；

=>（（a^2）-（xp^2））（k^2）+2xpypk+（（b^2）-（yp^2））；

由根的判别式得：4（（xpyp）^2）-4（（a^2）-（xp^2））（（b^2）-（yp^2））=0；

所以k值有唯一解：k=（-2xpyp）/（2（（a^2）-（xp^2）））=-xpyp/（（a^2）-（xp^2））；

由式1得：（a^2）-（xp^2）=（ayp/b）^2=>k=-（xp（b^2））/（yp（a^2））；

m=yp-kxp=（（（ypa）^2）+（（xpb）^2））/（yp（a^2））=（（ab）^2）/（yp（a^2））=（b^2）/yp

二、椭圆上一点到焦点距离等于到x轴直线的距离。

三、

解：（（（a^2）-xpc）^2）/（（（a^2）+xpc）^2）=（（（xp-c）^2）+（yp^2））/（（（xp+c）^2）+（yp^2））；

=>（（（a^2）-xpc）^2）（（（xp+c）^2）+（yp^2））=（（（a^2）+xpc）^2）（（（xp-c）^2）+（yp^2））

=>（（（a^2）-xpc）^2）（（xp+c）^2）+（（（a^2）-xpc）^2）（yp^2）=（（（a^2）+xpc）^2）（（xp-c）^2）+（（（a^2）+xpc）^2）（yp^2）

=>[（（（a^2）-xpc）^2）（（xp+c）^2）-（（（a^2）+xpc）^2）（（xp-c）^2）]=[（（（a^2）+xpc）^2）-（（（a^2）-xpc）^2）]（yp^2）

∴过焦点与X轴垂直与椭圆相交的点坐标为（±c，b²/a ）

性质：

1、把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用，老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

2、设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P，且A和B在直线上位于P的两侧，则∠APF1=∠BPF2。（也就是说，椭圆在点P处的切线即为∠F1PF2的外角平分线所在的直线）。

3、设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F1PF2。

4、离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。

5、椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。

椭圆定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和为定值（定值大于两定点的距离）的点的集合（或轨迹）为椭圆，F1，F2称为椭圆的两个焦点．

设|F1F2|=2c（c＞0），定值为2a（a＞0），且a＞c＞0，

取F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为坐标原点O，

建立直角坐标系，设动点M（x，y），则F1（-c，0），F2（c，0），

由已知条件，得|MF1|+|MF2|=2a，

∴

(x+c)2+y2

+

(x−c)2+y2

＝2a，

化简，整理得

x2

a2

+

y2

a2−c2

＝1，

∵a＞c＞0，∴令a2-c2=b2，（b＞0），

则有

x2

a2

+

y2

b2

＝1，（a＞b＞0）．

∴焦点在x轴的椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1，（a＞b＞0）．

如果取F1F2所在的直线为y轴，则椭圆的标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

＝1（a＞b＞0）．

椭圆当然有圆心了！

椭圆的定义

椭圆是一种圆锥曲线（也有人叫圆锥截线的）

1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离，一般称为2a）（这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距）；

2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）。这两个定义是等价的

标准方程

高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。

椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：

1）焦点在X轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1

2）焦点在Y轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1

其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们分别叫椭圆的长半轴和短半轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2(a^2-b^2)^05，焦距与长短半轴的关系:b^2=a^2-c^2 ,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c

又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。既标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ

标准形式的椭圆在x0，y0点的切线就是 ： xx0/a^2+yy0/b^2=1

公式

椭圆的面积公式

S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长)

或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长)

椭圆的周长公式

椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。

椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如

L = 4a sqrt(1-e^sin^t)的(0 - pi/2)积分, 其中a为椭圆长轴,e为离心率

椭圆的离心率公式

e=c/a

椭圆的准线方程

x=+-a^2/C

椭圆焦半径公式 x=a+ex1 x2=a-ex1

椭圆过右焦点的半径r=a-ex

过左焦点的半径r=a+ex

点与椭圆位置关系 点M（x0，y0） 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1

点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1

点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1

点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1

直线与椭圆位置关系

y=kx+m ①

x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②

由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1

相切△=0

相离△＜0无焦点

相交△＞0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2)

|AB|=abs(1+k^2)|x1-x2|

椭圆通径公式：2b^2/2

还有找圆心其实很简单的，左右对折再上下对折就可以找到了。