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椭圆的标准方程：

1、椭圆的标准方程共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x/a+y/b=1，（a>b>0）；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y/a+x/b=1，（a>b>0）。

2、其中a-c=b，推导：PF1+PF2>F1F2（P为椭圆上的点 F为焦点）。

3、不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

相关信息：

准线几何性质：

准线到顶点的距离为Rn/e，准线到焦点的距离为P = Rn(1+e)/e = L0/e 。

当离心率e大于零时，则P为有限量，准线到焦点的距离为P = Rn(1+e)/e = L0/e 。

当离心率e等于零时，则P为无限大，P是非普适量。用无限远来定义圆锥曲线是不符合常理的。

教科书中定义局限性的原因是不了解准线的几何性质，当e等于零时则准线为无限远，准线是非普适量，是局限性的量。教科书中用准线来定义圆锥曲线不包含圆的原因。

共分两种情况：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)； 

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)； 其中a^2-c^2=b^2

1、如果在一个平面内一个动点到两个定点的距离的和等于定长，那么这个动点的轨迹叫做椭圆。

2、椭圆的图像如果在直角坐标系中表示，那么上述定义中两个定点被定义在了x轴。若将两个定点改在y轴，可以用相同方法求出另一个椭圆的标准方程：

3、在方程中，所设的称为长轴长，称为短轴长，而所设的定点称为焦点，那么称为焦距。在假设的过程中，假设了，如果不这样假设，会发现得不到椭圆。当时，这个动点的轨迹是一个线段；当时，根本得不到实际存在的轨迹，而这时，其轨迹称为虚椭圆。

c的平方等于a的平方减b的平方，c是焦点到原点的距离。

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；

其中a^2-c^2=b^2

推导：PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点，F为焦点)

平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。

扩展资料：

顶点：

焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）

短轴顶点：（0，b），（0，-b）

焦点在Y轴时：长轴顶点：（0,-a），（0,a）

短轴顶点：（b,0），（-b,0）

注意长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻。

焦点：

当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c,0）F2(c,0)

当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0,c)

——椭圆的标准方程

椭圆的标准方程可以通过几何性质和代数推导得出。以下是形成椭圆的标准方程的步骤：

1 定义：椭圆是所有到两个焦点距离之和等于常数2a的点的集合，其中a是椭圆的半长轴长度。

2 坐标系：假设我们在平面直角坐标系中工作，将椭圆的中心放置在原点(0, 0)处。

3 焦点和半长轴：假设焦点的坐标为(-c, 0)和(c, 0)，其中c是与半长轴相关的常数。

4 焦半距离：焦半距离定义为d = ae，其中e是椭圆的离心率，满足0 < e < 1。

5 坐标点上椭圆的定义：对于任意一点(x, y)，其到两个焦点的距离之和等于2a，即√((x + c)^2 + y^2) + √((x - c)^2 + y^2) = 2a。

6 平方化处理：对该等式进行平方化处理，可以得到 (√((x + c)^2 + y^2))^2 + (√((x - c)^2 + y^2))^2 + 2√((x + c)^2 + y^2)√((x - c)^2 + y^2) = (2a)^2。

7 化简：将等式中的根号项进行化简和整理，最终可以得到标准形式的椭圆方程：((x + c)^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1，其中b满足b^2 = a^2 - c^2。

通过上述推导步骤，我们可以得出椭圆的标准方程，该方程描述了所有满足椭圆定义的点的集合。需要注意的是，方程中的常数a、b和c代表椭圆的特征参数，根据焦点位置和离心率的不同而变化。

椭圆的标准方程共分两种情况[1]：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；

其中a^2-c^2=b^2

推导:PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点 F为焦点)

中文名

椭圆标准方程

外文名

Standard equation of the ellipse

别称

线条

表达式

x^2/a^2+y^2/b^2=1

提出者

数学家

方程推导

设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离和为2a（2a>2c）。

以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1,F2的坐标分别为（-c,0)，（c,0)。

设M(x,y)为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知

|MF1|+|MF2|=2a，（a>0）

即

将方程两边同时平方，化简得

两边再平方，化简得

又

，设

，得

两边同除以 ，得

这个形式是椭圆的标准方程。

通常认为圆是椭圆的一种特殊情况[2] 。

非标准方程

其方程是二元二次方程，可以利用二元二次方程的性质进行计算，分析其特性[3] 。

几何性质

X，Y的范围

当焦点在X轴时 -a≤x≤a,-b≤y≤b

当焦点在Y轴时 -b≤x≤b,-a≤y≤a

对称性

不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

顶点：

焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）

短轴顶点：（0，b），（0，-b）

焦点在Y轴时：长轴顶点：（0,-a），（0,a）

短轴顶点：（b,0），（-b,0）

注意长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻[4] 。

焦点：

当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c,0）F2(c,0)

当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0,c)

计算方法

(（其中 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长，可由圆的面积可推导出来)或 （其中 分别是椭圆的长轴，短轴的长）[5] 。

圆和椭圆之间的关系：

椭圆包括圆，圆是特殊的椭圆。

参考资料

[1] 曹才翰中国中学教学百科全书:数学卷[M]沈阳:沈阳出版社

[2] 沈金兴 数学文化视角下的椭圆标准方程推导[J] 数学通讯, 2015(8):