椭圆的标准方程！

椭圆的标准方程共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x²/a²+y²/b²=1，（a>b>0）；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y²/a²+x²/b²=1，（a>b>0）。

其中a²-c²=b²，推导：PF1+PF2>F1F2（P为椭圆上的点 F为焦点）。

不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

顶点：焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）；短轴顶点：（0，b），（0，-b）；焦点在Y轴时：长轴顶点：（0，-a），（0，a）；短轴顶点：（b,0），（-b，0）。

椭圆的面镜

椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

离心率范围：0<e<1。离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。

设椭圆上任一点为（x,y），由题意焦点在y轴上，则可设焦点F1=(0,c)；F2＝(0,-c) c>0

再由椭圆的定义：到定点的距离和为定值的点的集合，可得椭圆上任一点(x,y)到定点F1=(0,c)；F2＝(0,-c)的距离和为 {（x-0)２＋（y-c）２}+{(x-0)２+[y-(-c)]２}=2a；b２＋c２＝a２

上式中大括号表示根号，因为我不会打根号。

化简得　x２/b２+y２/a２=1

可设椭圆方程为

(x²/a²)+(y²/b²)=1 (a＞b＞0)

两个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)

长轴的两个端点A1(-a，0)，A2(a，0)

因点P在椭圆上，故可设P(acost，bsint)， t∈R。

由两点间距离公式可得

|PF1|²=(acost+c)²+(bsint)²

=a²cos²t+2accost+c²+b²sin²t

=(a²-b²)cos²t+2accost+c²+b²

=c²cos²t+2accost+a²

=(a+ccost)²

由-1≤cost≤1 且a＞c＞0可知

0＜a-c≤a+ccost≤a+c

∴|PF1|=a+ccost

∴| PF1|min=a-c，此时，cost=-1，sint=0，P(-a，0)

又|PF1|+|PF2|=2a

∴当|PF1|min=a-c时，|PF2|max=a+c，

此时点P在长轴的一个端点上。

扩展资料：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；

其中a^2-c^2=b^2

推导：PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点，F为焦点)

设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离和为2a（2a>2c）。

以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1,F2的坐标分别为（-c，0)，（c，0)。

当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c，0）F2(c，0)

当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0，c)

--椭圆的标准方程

根据“一动点到两个定点距离之和为一常数”的椭圆定义推出来的。 设一动点P(x,y)到点A(-c,0)和到点B(c,0)的距离之和为2a，求P点轨迹。 根据题意有： 根号下[(x+c)^2+y^2]+根号下[(x-c)^2+y^2]=2a 上式移项: 根号下[(x+c)^2+y^2]=2a- 根号下[(x-c)^2+y^2] 两边平方、整理： 4a^2-4cx=-4a根号下[(x-c)^2+y^2] 两边再平方、整理：16x^2(a^2-c^2)+16a^2y^2=16a^2(a^2-c^2) 令b^2=a^2-c^2,并把两边除以16， b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 最后，两边同除以a^2b^2，得到： x^2/a^2+y^2/b^2=1根号不会打，不好意思，至于2a和2c表示什么楼上已经说出来了，不再重复

麻烦采纳，谢谢!

如下：

1、椭圆离心率的定义为椭圆上焦距与长轴的比值，（范围：0<X<1）。e=c/a（0<e<1），因为2a>2c。离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近于圆形。

2、椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线（如焦点（c，0）与准线x=±a^2/c） 的距离为a^2/c-c=b^2/c。

3、焦点在x轴上：|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex（F1，F2分别为左右焦点）。

4、椭圆过右焦点的半径r=a-ex。

5、过左焦点的半径r=a+ex。

6、焦点在y轴上：|PF1|=a+ey |PF2|=a-ey（F2，F1分别为上下焦点）。

7、椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A，B之间的距离，即|AB|=2b^2/a。

8、如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx²+ny²=1（m>0，n>0，m≠n），即标准方程的统一形式。

相关信息：

椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。

椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。