如何掌握高中数学的四种思维方法

一、函数方程思想

函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系,从而解决问题的一种思维方式,是很重要的数学思想

1函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来,并研究这些量间的相互制约关系,最后解决问题,这就是函数思想；

2应用函数思想解题,确立变量之间的函数关系是一关键步骤,大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式,把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数,利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中,往往需要根据一些要求,确定某些变量的值,这时常常列出这些变量的方程或（方程组）,通过解方程（或方程组）求出它们,这就是方程思想；

3函数与方程是两个有着密切联系的数学概念,它们之间相互渗透,很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决,很多函数的问题也需要用方程的方法的支援,函数与方程之间的辩证关系,形成了函数方程思想

二、数形结合思想

数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一,对于所研究的代数问题,有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题,可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形）,这种解决问题的方法称之为数形结合

1数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性,发挥数的思路的规范性与严密性,两者相辅相成,扬长避短

2恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”这就是说：数形结合是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一因此,数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂

3数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系,数量关系决定了几何图形的性质

4华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观,形少数时难入微；数形结合百般好,隔裂分家万事非”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系

5把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中,历年高考的解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现

6我们要抓住以下几点数形结合的解题要领：

(1) 对于研究距离、角或面积的问题,可直接从几何图形入手进行求解即可；

(2) 对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题,可通过函数的图象求解（函数的零点,顶点是关键点）,作好知识的迁移与综合运用；

(3) 对于以下类型的问题需要注意：可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的

三、分类讨论的数学思想

分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结果,最终综合各类结果得到整个问题的解答

1有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：

（1）涉及的数学概念是分类讨论的；

（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；

（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；

（4）数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值导致不同的结果的；

（5）较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决的

2分类讨论是一种逻辑方法,在中学数学中有极广泛的应用根据不同标准可以有不同的分类方法,但分类必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏,包含各种情况,同时要有利于问题研究

四、化归与转化思想

所谓化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而达到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题,将难解问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题

造成学生学习成绩差异的因素很多，从学生方面看，优等生和后进生在学习兴趣方面的显著差异是一个重要的因素。因此学习兴趣在数学教学中具有现实的积极意义。注重培养和激发学生学习数学的积极性，大面积提高数学教学质量，正是当代数学教学中的重要课题之一。

一、激发和培养学生学习数学兴趣的重要性和必要性

兴趣是一种对智力活动有重要影响的非智力因素。兴趣是人力求知识，探究某种事物或从事某种活动的心理倾向。

兴趣可以激发情感，培养意志，兴趣可以唤起动机，改变态度。浓厚的兴趣还能激励人们积极地探索、敏锐地观察、牢固地记忆。也能促使人们积极地提出问题、研究问题、解决问题。

古今中外，卓有成就的人无不对自己所从事的事业，有强烈的浓厚的兴趣。早在两千多年前，著名教育家孔子就说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”科学巨匠爱因斯坦曾深有体会地说：“在学校和在生活中，工作的最重要的动机是工作的乐趣。是工作获得结果时的乐趣，以及对这个结果的社会价值的认识。发展并且加强青年人的这些力量，我看这应该是学校的最重的任务。”诺贝尔奖获得者丁肇中教授也说过这么一段说：“任何科学研究，最重要的是要看对于自己从事的工作有没有兴趣，换句话说，也就是有没有事业心，这不能有丝毫的强迫。比如搞物理实验，因为我有兴趣，我可以两天两夜，甚至三天三夜呆在实验室里，守在仪器旁，我迫切的希望发现我所要探索的东西。”可见，注重兴趣的培养，能使教学成为有渊之水，有本之木。

数学是一门有很强的系统性和逻辑性的学科。对数学有浓厚兴趣的学生，他会全神贯注地进行学习，千方百计地想办法去认识和解决数学问题，能全身心地投入到数学学习中去，有时达到废寝忘食的地步。著名数学家华罗庚曾说过：“有了兴趣就会乐此不疲，好之不倦，因而也就会挤时间来学习了。”如果学生对数学没有兴趣，那就会视数学学习为一种苦役，也就不可能心情愉快地进行学习，从而导致学习效果较差，成绩下降。

二、激发和培养学习数学兴趣的方法和途径

1热爱是最好的老师，认识是热爱的前提。

首先，应当对学生进行数学史的教育，以提高民族自尊心和自信心。

回顾中华民族的文明史，悠悠数千年，光辉灿烂，数学的发展高潮迭起，蔚为壮观。当欧洲大部分还处在蒙昧时期，记载着勾股定理及其应用的《周髀算经》已在中国问世。在欧洲还处在宗教神学占统治地位的黑暗时代，祖氏父子（祖冲之和祖�）对圆周率π的计算误差已不超过一千万分之一。“中国的牛顿”——刘徽超前牛顿·莱布尼兹约1400年左右提出了数列极限的思想、积极的思想。还有沈括的“造微术”比西方约早600多年。秦九韶发展了“孙子定理”比西方约早500年，朱世杰的高次内插公式比西方牛顿的一般插值法约早300年，凡此种种不胜枚举。通过数学史的学习，能够使学生学习先辈的智慧和研究方法，了解中国数学已有的杰出成就与特点，提高民族自信心和自尊心，激发学习兴趣。

著名数学家陈景润在读中学时，其数学教师沈元经常对他进行数学史的教育：“自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论，哥德巴赫猜想是皇冠上的明珠。”正是这些催人奋进的话语，在少年陈景润的心中播下了崇高理想的种子，激励着他以浓厚的兴趣，顽强的意志去夺取数学皇冠上的明珠。

其次，经常指导学生阅读著名数学家的传记。

榜样的力量是无穷的。徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》曾经起过鼓舞人心、激励大家向科学进军的巨大作用。现在有一些博士导师，科学精英还能回忆起阅读此文时的激动情形。他们撰文回忆时，曾把此文比作催化剂，比作信号中继站。华罗庚、苏步青、陈省身、王梓坤、丘成桐等等的故事也是教育学生的上好题材，它们使人感动，使人奋发，使人信心倍增，使人朝气蓬勃。

尤为重要的是，数学是一门智慧的学问，数学使人聪明。

经常有学生问到：学习数学有什么作用，我又不当数学家，花这么多时间去学数学值吗？答案是显然的。

数学不但是其他各门学科的工具和助手，更重要的是，数学在训练人的思维、思想方法以及熏陶人的精神方面有着无法替代的作用。日本来山国藏教授说：“在那些学者、科学工作者的研究工作中，经常活跃着的，最感需要的，实际上是数学之科学的精神、思想和方法。唯有这些精神、思想和方法的启发锻炼、体验，才是不仅在数学，而且在一切科学技术中，不！在人生的各个方面筹划各种事业飞跃发展所绝对必需的。这一点已为许多事例所证实，应是很清楚了。”

罗伯特·麦克纳马拉一生的经历就是对这一点的有力证明。麦克拉马拉在美国加州大学学习期间，成绩优秀，在数学方面下了很大的功夫，被同学们称为“顶类的数学人种”。毕业后，他依靠在数学学习中获得的智慧和思维方法屡创奇迹，取得了如此辉煌的成就。①他把数字化管理模式引入现代企业，开创了全球现代企业科学管理的先河，被称为“美国现代企业管理之父”。②在排名世界第二的美国福特汽车公司中，成为首位非福特家族成员的总裁。③当了7年美国国防部长。④担任了13年之久的世界银行总裁。⑤获得了爱因斯坦和平奖。在他晚年所著的回忆录《回顾越战的悲剧与教训》中，颇有感触地写到：“应将数学视为一个思维过程，它是一种语言，虽然不能表达全部，但足以表达人类的大部分活动。它给予我意想不到的启示。时至今日，我仍将数量关系作为一种语言，它有助于我更为准确的看待世界。”

2用数学美感染学生是激发学习兴趣的有效方法。

华罗庚曾说过：“认为数学枯燥无味，没有艺术性，这种看法是不正确的，就象人站在花园外面，说花园里枯燥无味一样。”

数学是研究客观世界存在的空间形式和数量关系的科学。数学中的美，不仅表现在数的美、形的美、比例的美，还表现在它的精确美、抽象美、逻辑美、简单美、符号美、和谐美、对称美、秩序美的统一上。正如罗素所讲：“数学如果正确的看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美。”

在提出数学问题时，揭露它的新颖、奇异或形态的美，以引起学生学习的好奇心。在分析解决问题时，使他们感受到思维方式、方法的巧妙、新奇、别致，促使他们自觉地去掌握。在把知识加以整理的过程中，让他们体验到数学的和谐、统一、简单的美。这样不仅可以减轻记忆的负担，而且能使学生品尝到数学知识结构的美妙。这样学生在受到数学美的熏陶的同时，不知不觉对数学产生了浓厚的兴趣。

从“杨辉三角”中我们能感受到丰富多彩的简单、整齐、对称、和谐的组合数的性质的美。 如 C ＝C ， C ＋C ＝C ，C ＋ C ＋C ＋…＋C ＝2 ，从而对组合数的性质的学习发生兴趣。

黄金数( －1)/2≈0618是数学美内容中的一个因素。正五边形对角线的交叉分割是黄金比，正十边形的边长等于其外接圆半径乘以黄金数，甚至人的思维活动的“心脑最佳频率耦合系数”也是以黄金数为中心。因而人们由此启发创造出美的数学方法——黄金数0618的优选法。

圆周长公式C＝2πR这个初等数学公式，揭示了圆周长和半径之间这样一种简洁、绝妙、和谐的美。天地间有无穷多少圆，但唯有C＝2πR这个纯数学圆最标准，最精密，这是数学家心灵和智慧再生的数学艺术美。它创造了庄严、永恒和宏伟的意境。

3精心设疑，是激发兴趣的重要手段。

曾有人说过这么一句话：善问是数学老师的基本功，也是所有数学教育家十分重视研究的问题，一个恰当而富有吸引力的问题往往能拨动全班学生思维之弦，奏出一曲耐人寻味，甚至波澜起伏的大合唱。

问题的提法不同，会有不同的效果，要设法使得提法新颖，引起学生的好奇心，注意力和求知欲，激发学习兴趣。使学生处于积极思维状态，欲解决而后快。下面是几则生动的例子。

“225是几位数？用对数计算。”该问题提出后，学生不怎么感兴趣。有的老师换一种提法：某人听到一则谣言后，一小时内传给两个人，这两个在一小时内每人分别传给两人。如此下去，一昼夜能传遍一千万人口的大城市吗？这样一发问，学生就有了解决问题的兴趣和积极性，学习效果就大不一样。

在讲授完指数和对数部分后，我曾从王梓坤教授所著的《科海乏舟——漫谈德、 识、才、学与人才培养》一书中引一道题为“聪明的猪”的趣题让同学思考。趣题中说到：“有人要杀10000头猪。他把猪排成一行，先杀第一头，然后隔一头杀一头。杀完第一遍后，不打乱猪的队形，又用同样的方法杀第二遍。如此继续下去，直到剩下一头时，他才停下刀来。这时有一头聪明的猪，它很快找到一个避难的地方。试问它应排在第几，才能太平无事？”同学们对这道题表现出极大的兴趣，那几天，“杀猪”成风，不得正确答案决不罢休。

另外在解决某一个具体数学问题时，老师也可以分层次的设问，把一个大问题分解成苦干个小问题。一来可以使学生注意力集中，二来可以活跃课堂气氛，振作精神。使难题的解决变得容易。譬如在讲授：“不在同一直线上的三点确定一个圆”时，不妨逐步提出如下问题：

①过一点可以画多少个圆？为什么？

②过两点可以画多少个圆？这些圆的圆心位置有什么规律？为什么？

③过不在同一条直线上的三点A，B，C画圆，这样的圆要经过A，B，圆心应在哪里？这样的圆要经过B，C。圆心又应在哪里？同时要经过点A，B，C，圆心应该在哪里？

④这样的圆可以画多少个？

随着这些问题的逐一提出，学生就会边动脑，边动手，逐步使问题得到解决，从而使学习兴趣大大提高。

4一题多解及灵活多变的教学方法是激发兴趣的得力措施。

数学题中的解法甚多。恰当的使用一题多解对培养学生的非智力因素和智力因素都有好处。它可以使学生更深刻地理解课本知识、熟练地掌握相应的解题方法和技巧，进而启迪思维，开发智力，激发学习兴趣。

例如平面几何中的证明三角形的内角和为180°的方法就有如下5种之多，以图示为例：

以上六种证法有一个共同的思路就是将三角形的三内角转化为个平角，强调了辅助线的作用。我们可以认为辅助线就好象“春雨断桥人不渡，小舟撑出绿荫来。”中的小舟，行人过河遇断桥，借舟过河。辅助线也起了牵线搭桥的作用。适当的讲解会使学生感到奇妙的解法既在意料之外，又在情理之中。从而信趣倍增。

每节课都有每节课不同的教学目标。为实现不同的目标，可以运用不同的教学方法。诸如指导尝试法、谈话法、发现法、探究法等等。灵活多变的教学方法能更好地调动学生学习的积极性，激发学生的学习兴趣。

科学家茅以升在唐山工学院授课时，曾采用这样一种独具一格的方法：考试时不是老师出试卷考问学生，而是以学生向老师提问的形式，由学生所提出的问题确定分数的高低。提的问题越多越深刻，分数就越高。没有问题提的人，那么全班同学都将向他发问。这样一来，大大地提高了学生学习的积极性，督促学生独立思考，激发学生学习的兴趣。我们在教学中也不妨借来一试。

5训练思想方法是激发兴趣的重要途径。

做任何事情都存在着思想方法问题。数学思想是数学活动的基本观点。数学方法是在数学思想指导下，为数学活动提供思路和逻辑手段以及具体操作原则的方法。数学知识的应用是有条件的，数学中所包含的思想方法是无处不用的。当学生体会到掌握了思想方法后所得到的自由，那对激发学习数学的兴趣的作用是可想而知的。譬如学完一章一节后，如何能够使学生一想就能够将学过的知识回忆起来，这就需要系统的掌握知识结构，而对知识结构的认识就需要用变化发展的观点来认识它的内部联系。

例如： 二次函数由y＝x2→y＝ax2→y＝ax2＋n→y＝a(x＋m)2＋n，一般式 y＝ax2＋bx

b 4ac－b2

＋c可变为y＝a(x＋ )2＋ 综观二次

2a 4a

函数各种形式的图象之间的联系，可以发现其核心问题是x2≥0，(-x)2＝x2，对于二次函数的应用求值，值域，不等式的证明等，主要依据是x2≥0。掌握了这一关键及各种二次函数之间的联系，就可以把二次函数的有关内容系统、牢固的掌握起来，这样的学习当然是有趣的。

6热爱学生是培养学习兴趣的不可缺少的环节。

热爱教育事业是以热爱学生为前提的。

上海特级教师于漪说过：“热爱学生是教师的天职，是做好教育工作的基础。有这个基础，师生就缺乏共同语言，感情就不能融洽，教育就难有成效。”

当教师的情感灌注在教学内容中，激起了学生的学习情感时，学生就能够更好地接受教师所教的知识，这是培养学生学习兴趣的秘诀。

教师热爱学生应包括了解学生，因材施教，要尊重学生，信任学生。想方设法增强学生的信心，要关心学生，严格要求学生。一般来讲，使人获得愉快体验的那些事物和活动，其本身也将变得有趣味。不愉快的事，往往不经意识就为知觉抵制。所以老师应崐对学生的进步表示赏识，使学生获得愉快的体验，从而激发学生兴趣。

曾有老师做过这样一次试验。在一个新带的班里，随机地抽取少数同学，暗示他们是最有发展潜力的学生。在以后的一个学期中，教师经常对他们提出表扬。学生想着自己是最有潜力的学生，激发了学习的兴趣，学习更加刻苦认真，决心不辜负老师的期望。果不其然，一个学期后，这些学生学习真的比其他同学进步快。可见，教师对学生的关心，对学生真诚的期望是多么的重要，效果是多么的显著。

培养学生的学习兴趣还可以利用教具及现代化的教学手段，开展多种形式的课外活动等等。空间图形模型可以帮助学生建立立体概念，增强空间想象能力，培养学生学习空间几何的兴趣。另外数学竞赛，数学游戏等也都是培养学习数学兴趣的有效途径。

数学是科学美中的皇后。数学研究的成功，使得各门自然科学能用数学的方法和语言建立起自己的理论，成为精确的科学。学好数学是学好其他各科的基础。兴趣影响和制约着数学成绩的好坏。所以培养和激发学生学习数学的兴趣变得尤为重要，它将是每一位数学老师终身研究的课题。

　学数学，基本功最重要，就如同你想练习武功，最早就是从扎马步开始，基础越扎实，可能达到的高度就越高;也如同盖楼一样，根基扎的深，扎实，楼才可能稳固。而数学思想，也是这基本功中的一部分。做题不如总结规律，总结规律的意义就是在总结数学思想，我特意将初中常见的17中思维方式总结出来，希望对大家有帮助!

　初中数学思维方法

　1、对应思想方法

　对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。

　2、假设思想方法

　假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。

　3、比较思想方法

　比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。

　4、符号化思想方法

　用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。

　5、类比思想方法

　类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。

　6、转化思想方法

　转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。

　7、分类思想方法

　分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。

　8、集合思想方法

　集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。小学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合思想。在讲述公约数和公倍数时采用了交集的思想方法。

　9、数形结合思想方法

　数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。

　10、统计思想方法

　小学数学中的统计图表是一些基本的统计方法，求平均数应用题是体现出数据处理的思想方法。

　11、极限思想方法

　事物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。在讲“圆的面积和周长”时，“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。

　12、代换思想方法

　它是方程解法的重要原理，解题时可将某个条件用别的条件进行代换。如学校买了4张桌子和9把椅子，共用去504元，一张桌子和3把椅子的价钱正好相等，桌子和椅子的单价各是多少

　13、可逆思想方法

　它是逻辑思维中的基本思想，当顺向思维难于解答时，可以从条件或问题思维寻求解题思路的方法，有时可以借线段图逆推。如一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的1/7，第二小时比第一小时多行了16千米，还有94千米，求甲乙之距。

　14、化归思维方法

　把有可能解决的或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类以便解决可较易解决的问题，以求得解决，这就是“化归”。而数学知识联系紧密，新知识往往是旧知识的引申和扩展。让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题，对独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助。化归的方向应该是化隐为显、化繁为简、化难为易、化未知为已知。

　15、变中抓不变的思想方法

　在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，抓不变的量为突破口，往往问了就迎刃而解。如：科技书和文艺书共630本，其中科技书20%，后来又买来一些科技书，这时科技书占30%，又买来科技书多少本

　16、数学模型思想方法

　所谓数学模型思想是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程，得到简化和假设，它是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。

　17、整体思想方法

　对数学问题的观察和分析从宏观和大处着手，整体把握化零为整，往往不失为一种更便捷更省时的方法。

　初中数学学什么

　主要考查具体的“数”与“形”，以及抽象的“函数”

　“数”——实数、代数式、代数方程

　“形”——角与线、三角形、四边形、多边形、圆

　“函数”——正反比例函数、一次函数、二次函数

　这三者之间，知识相连，数形互通

　环环相扣，无懈可击

1 函数思想

把某一数学问题用函数表示出来，并且利用函数探究这个问题的一般规律。

2 数形结合思想

把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答。

3 整体思想 

整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。

4 转化思想

在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。

5 类比思想 

把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。 

扩展资料：

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。

它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。

在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。

我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系。

实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：

① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。

② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q=1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。

③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

参考资料：

-数学思想方法

《标准》在“课程目标”的总目标中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能体会数学知识之间┅┅解决问题的能力。”另外，在“知识技能、过程方法、情感态度与价值观”的三维目标下，数学课程目标双细化出了“数学思考”，其直接指向的是三维目标中的“过程方法”目标。

所谓数学思考，就是在面临各种现实的问题情境，特别是非数学问题时，能够从数学的角度去思考问题，也就是能够自觉应用数学的知识、方法、思想和观念去发现其中所存在的数学现象和数学规律，并能够运用数学的知识和数学的思想方法去解决问题。数学思考作为一种“过程性目标”，实际上是让学生经历“做数学”的过程，也就是让学生经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程。数学思考是学生进行数学学习的核心；让学生经历数学思考的过程，是唤起学生对数学的好厅心，激发并维持学生主动和自主学习的根本保证；是提高学生发现和提出问题、分析和解决问题能力的有力措施；是培育学生实践能力和创新意识的有效途径。

数学思考包括的内容：

1、建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维和抽象思维。

2、体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。

3、在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。

4、学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。

从2001年进行新课改以来，到2011年版新课标的颁布，我们的数学教材发生了很多变化，无论从形式还是到内容都充分地关注了学生的数学思考。小版本变成了大版本，版面设计清爽美观、图文并茂、装帧精美、文字准确，能很好地吸引小学生阅读学习，激发学生的数学思考；从教学内容看，新的数学教材内容丰富，重视学生的经验和体验，根据小学生学习数学的规律，体现了合理的教学顺序和节奏，为培养学生解决问题的能力提供了清晰的思路和步骤，教给了学生解决问题的一般方法，教材中呈现的是：知道了什么，即理解现实的问题情境，发现要解决的数学问题；怎样解答，即分析问题找到解决的方案并解决；解答正确吗，即对解答的结果和解决的方法进行检验、回顾与反思。每册数学教材都设计一次综合实践活动，从一年级下册教材开始设置“数学广角”单元，利用直观操作等手段渗透重要的数学思想方法。每单元内容结束后，设置过程性评价板块，建立成长小档案，为学生提供自我反思与评价的机会，使学生获得学习数学的良好体验，形成良好的学习习惯。学期末结束后，设置了自我评价表，围绕学习表现进行自我评价。所有这些，不仅利于落实“四基、四能”目标，也更利于落实“数学思考”目标。

关注学生数学思考的过程，能更好地唤起学生对数学的好奇心，激发并维持学生主动、自主学习的积极性。真正有效地让学生进行数学思考，教师是真正的执行者和落实者。首先教师必须真正把握教材明确编者意图，结合不同的教学内容将“数学思考”目标落实到课堂教学中。如数与代数的内容应侧重于建立数感、符号意识、初步形成运算能力、体会模型思想，发展形象思维和抽象思维；空间与图形的内容应侧重于几何直观和空间观念的培养；统计与概率的内容应侧重于发展数据分析观念；综合与实践的内容应侧重于应用意识和创新意识的培养。推理能力的培养应该渗透在数学课程的各个领域内容里。当然，年段不同，侧重点也不同。低年段侧重于体验，重在积累数学思考经验；高年段重在思考的深度，培养学生各种数学能力。其次，教师在进行教学设计时，还要注意以下几点：

1、有效创设问题情境

问题是数学的心脏，只有好的问题才能引发学生的积极思考。教师要认真创设具有新颖性、挑战性和可行性的问题情境，激发学生的数学思考。教材基本上每部分内容都创设了很好的情境，教师要充分有效地使用。另外，现实的、生活的题材可以作为问题情境，数学本身的内容也可以作为问题情境。

根据自己上周的思考感悟，本周关于思维模型方面的实践主要立足于创新，即创造可以通用型的思维模型，而不是再局限于自身。本周忙于工作的时间居多，所以没有将思维模型在每一天进行更新，这是自己偷懒的原因，此外，之前之所以可以长时间持续的更新思维模型，一个原因是自己储备了很多的文章，所以并不担心。但是，由此自己考虑到，因为有储备所以更加给了自己一个拖延的理由，现在因为没有了储备文章，自己的更新节奏就停滞了下来，这个弊端就显现出来了。每天去更新，锻炼的就是自己的自律能力，无论遇到什么事情都能去完成这件任务，这就是自律，因为这种自律会增加自己对于外界不确定环境的控制感，并通过这个过程进而增强自己对于生活的掌控感，并获得心理的稳定。

本周自己出差三天，虽然在外面自己获得了很大的自由，但这种自由却并没有让自己的身心获得放松，反而是更加的疲惫。出差回到家里之后，妻子向往常一样还在唠叨，但是休息一晚后自己的精神也就恢复了过来，由此自己想到一个情感思维模型，即情感有紧密连接的两个人或者多个人在一起与不在一起的情感连接模式是怎样的，对此，自己要进行一下分析，并将其推而广之。

1：在一起时情感本身获得了丰满、充实。有情感紧密联系的且经常在一起的两人因为已经适应了对方的所有情绪、行为，所以对于对方有一个确定性的判断，且知道对方的情感投放到你身上时你需要为此做出什么样的回应，因为这种适应所以丰满感自然会有。另一方面也是因为熟悉，因为非常的熟悉对方，所以，导致了身体与对方的连接感也非常强，对方也能想你所想，思你所思，所以你想要的情感对方都会给你，所以才有充实。简单来说，因为对方给了你熟悉并能回应你的情感诉求，所以丰满和充实之感也就随之而来。

2：不在一起时情感也能获得丰满和充实。工作的时候，虽然没有在一起，不过因为工作本身的挑战性所以情感的充实被满足，但是情感的丰满在工作时却并不能实现。想到的另一个情感被充实且能实现丰满的时刻是工作一天之后再车上对一天所进行的反思，在这个过程中，情感因为思考本身而得到了丰满，且因为工作了一天，情感的充实质之感也是有的。简单来说，这一时刻是指非“实质”的孤独，即可以立马摆脱孤独，但又不是真正的孤独。

3：在一起的时候情感本身进入干瘪、空虚。这是双方爆发矛盾以及生活乏味之时的状态，双方之间的矛盾一旦爆发，那么双方的情感连接就会陷入干瘪状态，不止是干瘪还有可能陷入负数，恨不得一个眼神“杀死”对方，这时情感是干瘪的，但并不空虚。干瘪且空虚的情感感受来自于吵架之后，这时情感本身陷入了干瘪，再加上各自的沉默，一个人的思绪就会开始考虑两人之间这样的生活到底会持续多长时间，考虑的时间越长，就会为接下来的生活设置更多的无形障碍，直到进入一种“空虚”的状态。简单来说，情感陷入干瘪和空虚是因为矛盾爆发之后各自都考虑了最坏的结果，并由最坏的结果倒推生活，才会有现在的情感感受。

4：不在一起时的情感干瘪、空虚。这和第1种情形刚好相反，因为没有了确定性，没有了情感诉求的回应，所以情感就会开始陷入干瘪和空虚，但是这种干瘪和空虚是和时间的长短有关的，离开的时间越长，干瘪和空虚的感觉也会越长，但是到达一个节点之后就会停滞并开始回归常态，这是时间对于情感本身的疗愈。简单来说，不在一起会因为时间的长短影响情感的干瘪和空虚，但这种状态不会持续很长，只是在短时间内会发生。

思考感悟：我也可以独自回应自己的情感诉求，这样情感本身就能在任何时候得到被满足。因为情感模型本身并不健全，它会根据自己的生活经历而变得更加的完善，届时自己将会有新的更加成熟的思考。

模型思想是《课程标准（2011年版）》新增的核心概念。而且它也是10个核心概念中唯一一个以“思想”指称的概念。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。

所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地，概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。

数学建模就是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程，这一过程的步骤可以用下图来体现：

如果将这一过程进一步简化，就可以成为这样三个环节：首先是从现实生活或具体情境中抽象出数学问题；然后用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律；最后通过模型去求出结果，并用此结果去解释讨论它在现实问题中的意义。

比如在教学分数应用题的过程中，我们就是通过一些具体问题，引导学生通过观察，比较和分析这些题目间的联系，从而抽象出“单位1✖分率=对应的数量”这一规律，然后再运用这一规律去解决更多相关的问题。

显然，数学建模过程可以使学生在多方面得到培养，而不只是知识、技能，使学生更有思想、方法，也有一些经验积累，其情感态度也会得到培养。

那么，在实际教学中，该怎样培养模型思想呢？

1模型思想需要教师在教学中逐步渗透和引导学生不断感悟。

学生的学习过程是一个从简单到复杂，从具体到抽象螺旋上升的过程，因此就要求我们在教学中要注意根据学生的年龄特征和不同学段的要求，逐步渗透模型思想，使学生逐步积累经验，掌握建模方法，逐步形成运用模型去进行数学思维的习惯。

相对于第二学段来说，就可以通过一些具体问题，引导学生通过观、分析抽象出更为一般的模式表达，如用字母表示有关的运算律和运算性质，总结出路程、速度、时间，单价、数量、总价的关系式。

以数的认识为例，第一学段，可以引导学生经历从现实情境中抽象出数，借助计数器，点子图，方格图和立方体等直观模型，使学生认识数，学会用适当的符号来表示这些现实情境中的简单现象。

第二学段，数的认识扩展到了亿以上的数，分数，小数以及负数，结合学生的年龄特点及认知规律，此时就可以通过一些具体问题，引导学生通过观察，分析，抽象，概括，选择，判断等活动，抽象出不同的数的模型。在这个过程中，使学生逐步积累经验，掌握建模方法，逐步形成运用模型去进行数学思维的习惯。

2使学生经历“问题情境--建立模型--求解验证”的数学活动过程。

“问题情境--建立模型--求解验证”的数学活动过程完全可以结合相关课程内容有机进行。比如，关于正比例的教学，之前是把精力更多地放在了概念的理解上，也就是从概念到概念，强调的是正比例的定义，判断的方法等比较“纯粹”的知识、技能，而现在，我们可以思考让学生从丰富多样的现实具体问题中，抽象出“正比例”这个模型，然后通过正反例子的辨析，明晰正比例意义的核心，进而去寻找生活中更多相关的实例，并解决具体的问题。

再比如关于分数的量、率区分的问题，一直以来都是学生学习过程中的难点，易混点，之前教学中，总是会教给学生说，括号后面带单位了，就用带单位的数除以份数，没有带单位了就用单位“1”除以份数，可以说是死记硬背式的告知，没有任何思维含量。但去年对于这个问题，我尝试渗透模型思想，让学生从实际问题情境中抽象出数学问题，然后分析比较两个问题的区别和联系，在变与不变中感受数学问题的本质，通过举例验证，发现了其中的规律，抽象出此类问题的模型，然后又将此模型拓展到生活中的其他问题情境中，以解决更多的问题，使学生在这个过程中发现，虽然问题情境不同，但解题的方法都是一样的，从而建立了这一问题的模型。

这样做，使学生在活动过程中，理解掌握有关知识，技能，积累数学活动经验，感悟模型思想的本质，从而更有利于学生去发现、提出、分析、解决问题，培养创新意识。