Fisher（LDA） 判别分析

(sklearn)线性判别分析LinearDiscriminantAnalysis

算法一般解释：

将高维度空间的样本投影到低维空间上，使得投影后的样本数据在新的子空间上有最小的类内距离以及最大的类间距离，使得在该子空间上有最佳的可分离性

最大的类间距离--即要投影后两个样本的质心离得越远越好，那么就能得到

最小的类内距离--即要使得投影后同一类的样本点尽可能聚拢在一起，离质心越近越好

"""

现在我们对LDA降维的流程做一个总结。

输入：数据集D={(x1,y1),(x2,y2),,((xm,ym))},其中任意样本xi为n维向量，yi∈{C1,C2,,Ck}，降维到的维度d。

输出：降维后的样本集

1) 计算类内散度矩阵Sw

　2) 计算类间散度矩阵Sb

　3) 计算矩阵Sw^−1 Sb

　4）计算Sw^−1 Sb的最大的d个特征值和对应的d个特征向量(w1,w2,wd),得到投影矩阵W

　5) 对样本集中的每一个样本特征xi,转化为新的样本zi=WTxi

　6) 得到输出样本集

"""

fix(X,y)：训练模型。

predict(X)：用模型进行预测，返回预测值。

score(X,y[,sample_weight])：返回（X，y）上的预测准确率（accuracy）。

predict_log_proba（X）：返回一个数组，数组的元素一次是 X 预测为各个类别的概率的对数值。

predict_proba（X）：返回一个数组，数组元素一次是 X 预测为各个类别的概率的概率值。

线性判别方法（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）是一种经典的线性学习方法，在二分类问题上因为最早由（Fisher）提出，亦称为“Fisher判别分析”。       （严格说来LDA与Fisher判别分析稍有不同，前者假设了各类样本的协方差矩阵相同且满秩）。

41投影降维

LDA的思想非常朴素：给定训练设法将样例投影到一条直线上，使得同类的样例的投影点尽可能接近、异类样例的投影点尽可能远离；在对新样本进行分类时，将其投影到同样的这条直线上，再根据投影点的位置来确定新样本的类别。如下图是一个二维示意图：

上面二维示意图中的‘+’、‘-’分别代表正例和反例，椭圆表示数据簇的外轮廓，虚线表示投影，红色实心圆和红色实心三角形分别表示两类样本投影后的中心点。

以下先给出Fisher判别分析的步骤，以后会添加原理的内容。

罗素悖论：由所有不包含自身的集合构成的集合

例子：理发师称只给那些不给自己理发的人理发。

基于集合论，理发师无论给自己理发还是不给自己理发都是矛盾的。

因此集合论不是完备的。 即使后面冯罗伊德等科学家提出了各种假定条件。

由于上述的原因，集合率无法很好的描述自然语言，科学家发现通过概率模型可以更好的描述自然语言。

深度学习来处理自然语言属于概率模型

证明最小点位于坐标轴上

h = f+c|x|

由于在x = 0处不可导

h-left'(0)h-right'(0) = (f'+c)(f'-c)

那么如果c>|f'(0)|可得，h在0处左右导数异号

0是最值。

那么在损失函数加入L1正则化后，可以得到某些维度容易为0，从而得到稀疏解

几乎所有的最优化手段，都将适用凸优化算法来解决

P(A|B) = P(A and B) / P(B)

if A and B 独立

=》P(A and B| C) = P(A|C)P(B|C)

也可以推出

=>A(A|B and C) = P(A|C) (B交C不为空)

抛9次硬币，硬币出现正面的概率是05，出现k次的概率分布如下如

服从正态分布

x的平均值

E = xp(x) +

x相对于期望的偏离

var = (x-E(x))^2

conv = (x - E(x))(m - E(m))

描述x,m是否有同分布

按理协方差为0，并不代表x和m没有关系

例如下图

如果点的分布对称的分布，会得到协方差为0，但是其实他们是有关系的。

把每个相关的概率累加，得到联合概率

P(x1=m1,x2=m2) = n!P1 m1/m1!P2 m2/m2!

T(n) = (n-1)!

T(x)用一条曲线逼近n!，进而可以求得非整数的阶乘

由二项式分布推出

P = T(a+b)x (a-1)(1-x) (b-1)/(T(a)T(b))

则正态分布

y为0时，不考虑y‘。y为1时，y'越接近1，越小，越靠近0，越大

把D最小化，迫使y'逼近y

对于一个句子，有若干单词组成。例如

C1: The dog laughs

C2: He laughs

那么计算P(C1) = P(The, Dog, laughs)的概率和P(C2) = P(He, laughs)的概率。

根据历史文本的统计学习。

可以得到P(C1)<<P(C2)

P('I love the game') = P('I')P('love')P('the')P('game')

其中P(<work>) = 频率/总单词数

计算一篇文章是积极的还是消极的。

P(y|x) = sigmod(wx)

x是文章内每个单词的频率

y表示积极和消极情感

其中P(xk|x1, x2,xk-1) = frequence(x1, x2 ,, xk)/frequence(x1, x2xk-1)

2-gram模型例子

把多个gram的模型进行线性整合

P(y|x1, x2, xn) = P(y)P(x1, x2, xn|y) / P(x1, x2, xn)

y代表是否是垃圾邮件

x代表单词

广州市长寿路 -》 广州市长|寿路

广州市长寿路 -》 广州市|长寿路

匹配词袋：广州市，广州市长，长寿路

使用最大匹配发，第二个分词更优

通过统计P(A|B)，得出各个option的概率，取最大的概率，则为最后的分词

word => [0, 0 , 1, 0]

word => [0, 1, 0, 1, 0, ]

可以解决词相似性问题

计算附近词的频率

word => [0, 3, 0, 1, 0, ]

w是附近词的one-hot encoding

score是词的one-hot encoding

最后一层通过softmax，取拟合文本

最终中间层则为词向量

输入为词one-hot encoding

输出为附近此的one-hot encoding

最后通过softmax预测附近词

最后中间层则为结果词向量

混合模型是一种统计模型，问题中包含若干个子问题，每个子问题是一个概率分布，那么总问题就是若干个子问题的组合，也就是若干个子分部的组合，这样就形成了混合模型。

有红黑两种硬币，把它们放在盒子里，从盒子里随机抽取一个硬币并投币，抽到红色的概率是p，红色硬币正面的概率是q，黑色硬币正面的概率是m，假设我们没办法看到抽取出的硬币的颜色，只能看到最终是正面或者反面的结果，例如HTTHTTTTHHH (H:正面 T: 反面)。需要估计p,q,m三个参数。

此时可以计算出

通过EM算法迭代如下：

随机p q m

迭代以下过程：

计算上面table

p = (aC(正)+cC(反))/total

q = aC(正)/(aC正+cC正)

m = bC(正)/(bC正 + dC正)

假设有上述数据，需要用混合模型来逼近，通过分析，红色和蓝色数据分别为高斯正态分布，N(u, v)

此时可以得到如下表

p = pN红x/(pN红x+(1-p)N蓝x)

u = pN红x/n

v = pN红(x-u)^2/n

词性转换概率

词性到单词的转换概率

通过EM递归算法，训练以上参数，得到隐马尔可夫模型

PLSA主题模型

只统计词的频率，不计算词的相对位置

计算文档和单词频率的矩阵

进行奇异矩阵分解

得到A矩阵的压缩U，U中的k则为k个主题

通过分析，LSA得到的主题是跟现实无法关联，它只是一个量，而没有明显的意义。

PLSA为了解决此问题，引入概率模型，先确定主题个数

然后通过构建Doc->topic的概率table，和topic->word的概率table。

然后通过EM模型，得到这两个table的所有概率值。

进而得到文档的主题表示

PLSA的缺陷是，对于预测未知的doc，无法计算此文档的相关概率。随着doc数量的增加，PLSA模型的参数会线性增加，从而会造成过拟合。

LDA通过引入先验概率来克服PLSA的问题。

类似于编译原理的上下文无法句法分析，一颗语法树

通过对CFG引入概率参数

有了概率，可以计算每颗语法树的极大似然概率，并取最大概率的树为最终输出

上一个状态中间层的输出作为下一隐层的输入

类似于HMM的2-gram模型。t状态受到t-1时刻输出的影响，受t-k的输出的k越大，影响越小

由于RNN几乎只受到上一时刻的影响，而忽略了久远信息的影响。从而造成了一定的局限性。

LSTM通过引入长短记忆方法，来维持长记忆的信息。

通过训练核内的sigmod函数，使得LSTM可以根据不同的句子，有条件的保留和过滤历史信息，从而达到长记忆的功能。

GRU是LSTM的简化版，它只需要处理两个sigmod函数的训练，而LSTM需要三个sigmod函数的训练，减少了训练的参数，加快了训练的速度，但也损失了一部分模型的复杂，在处理较复杂问题时，没有LSTM那么好。

auto-encoder-decoder的特点是输出的单元数是固定的。对于一般自然语言处理，例如机器翻译，输入的单元个数跟输出单元的个数并不是一一对应的，此时就需要动态的生成输出单元。Seq2Seq通过动态的输出结束符，代表是否输出完成，达到可以动态的根据输入输出不同的单元个数。

seq2seq的缺点是，所有的输入序列都转化为单一的单元c，导致很多信息都将消失，对于不同的输出yi，它可能依赖的输入xj有可能不一样，此时通过加入注意力模型，通过对xi进行softmax处理，并加入到y权重的训练中，可以让不同的y，有不同的x对它进行影响

softmax的输入为输入单元x，和上一个输出单元y，联合产生softmax的权重，进而对不同的序列，对于同一个x，会有不同的注意力到输出

q = Wq(x)

k = Wk(x)

v = Wv(x)

x为词向量

通过训练，得到权重w，从而学习到这一层的softmax注意力参数

R是前一次encoder的输出

通过增加w的数量，产生多个z，并进行堆叠，通过前馈网络，最后产生z

在使用self attention处理句子时，是没有考虑单词在句子中的位置信息的。为了让模型可以加入考虑单词的位置信息，加入了位置编码的向量

计算如下：

pos为单词在句子中的位置

i为词向量的位置

d为句子的长度

位置编码加上词向量形成tranformer的输入

加入了归一化和残差网络

最终通过softmax，输出每个单词的概率，并最终输出单词