基础乐理（十二平均律原理）

（本篇为了各位能够更清晰的理解十二平均律，我附了视频链接在文章的最后。文章里的大多数知识也是取自这两个视频。这篇文章没有插科打诨（严肃的知识幽默起来有难度）。而现阶段写文章我也主要是为了巩固知识。不过以后我会想办法让大家看的下去。）

上篇写的是音的性质，这一篇来讲一下十二平均律。

一般的教材是直接把十二平均律的规则讲出来——并不做解释。但是我觉得深入了解十二平均律对于后续基础乐理的学习很重要。所以单开一篇着重写一下十二平均律。

除了十二平均律，其实还有很多其他的律制，只是现今用的不多而已。

为什么呢？

因为相比于十二平均律，之前的五度相生律、纯律以及三分损益法（中国）在使用中不怎么适合复杂的音乐对于转调以及和声的需求。

首先，有两组关于乐理的物理知识要了解：

第一：一根弦在振动的时候除了整体，弦的各部分——1/2、1/3、1/4……也都在振动——把一根弦在振动的时候发出的所有的音（分音）从高到底排列起来，就叫做 分音列 。整体振动的时候产生的音就称为 基音 ；1/2、1/3、1/4……这些分段的弦振动的时候产生的音就称为 泛音 ，而全部的泛音的集合就是 泛音列 。

在人耳听来， 基音决定音高。泛音列决定音色。

关于基音决定音高的原因一般的解释是基音的强度最大。不过在音乐界，这是还没有定论的。再深究下去就要扯到神经科学了。这里就不细讲了。只要记住 基音决定音高 就可以了。

现存的乐理基本上就是前人总结的经验而已，很多地方都需要死记硬背。在到达一定的水平之后，再深入研究也不迟。

泛音列决定音色 。为什么呢？在我分享的视频中有讲到——泛音列中有时候是第一个泛音比较突出，有时候是第二个泛音比较突出，也有可能是第十几二十几这些泛音比较突出（泛音是无穷无尽的），而这些不同就会导致乐器音色的不同。

你可以想象一个乐团，乐团有一个拿话筒的主唱（基音），主唱带着一个有无穷无尽的人的合唱团（泛音列），而里面的每个人则代表一个泛音。这样可能会比较好理解一点。

第二： 频率（每秒振动次数）二倍关系的音在人耳这里听起来是一样的。以及，两组音的频率的比例一样时听起来距离是一样的。

乍一听比较抽象，下面来说一下我的理解，仅供参考。

首先，“ 频率二倍关系的音在人耳这里听起来是一样的 ”说的是大概一样。

就是说两个音是有重合的。比如一个基音为110赫兹（一秒振动110次）的乐器，它的第一泛音（二倍）为220赫兹。依此类推，后面的泛音的频率为：330 440 550 660……。由此，可以算出基音为220赫兹（二倍关系）的乐器的泛音分别为440 660 880……。

可以看出，基音为110赫兹以及220赫兹的两个音它们有一半的分音是重合的。

所以他们听起来相似。

（这里可配合视频观看）

另外：

“ 两组音的频率的比例一样时听起来距离是一样的 ”就比较好理解了——不是真听起来一样，说的是不同音域的同一首歌听起来是一样的。不管是只有两个音还是一整首歌，只要编排是一模一样的。听起来就是一样的。

你可以去全民K歌，在录歌的界面找到升降调。实际体验一下这个规律。这很重要。

这个乐理常识只能靠实验去感知，是个公理，不证自明的那种。

接下来就可以依靠上面的几个规律推导出来十二平均律了。

先给音律下个定义： 乐音体系中各音的绝对值及相互关系叫音律 。

前面讲了，在十二平均律之前还有一种应用得很广泛的律法—— 五度相生律 。我们先讲一下五度相生律。

这样有助于更好地理解十二平均律为什么产生，以及它的作用。

五度相生律是出自于毕达哥拉斯之手。毕达哥拉斯很厉害。在哲学以及数学的很多方面都有贡献，可以说是开山的几位鼻祖。但是这里不多讲。这里只分析一下五度相生律的推算过程。

毕达哥拉斯学派认为“完美协和音程的频率比需为完美数的比例”。什么意思呢？意思是两个音一起弹的时候如果要好听的话，比例必须为自然数的比例。按照他们那时候的计算，这样的比例有三个：

纯八度：2比1

纯五度：3比2

纯四度：4比3

而五度相生律就是根据“纯五度”推算出来的。

首先，假设有一根弦（音），比如一根吉他的弦C1。把C1减去三分之一，这时候就只剩下了三分之二，我们暂时把这根弦命名为C2。那么C1和C2的比例就是3比2，也就是纯五度。再如此重复操作四次，加上初始的那个音的话就一共可以得出六个音：C1、C2、C3、C4、C5、C6。

这几个音就是C D E G A B的前身。

因为这时候可以发现，除了C1和C2。其它的音都超出了一个八度（如果弦少了一半的话也就等于是频率升了一倍，那么也就是等于升了一个八度。而七个基本音级都是在一个八度内的）。

那么怎么办呢？

把它们都翻几倍就行了，因为“频率二倍关系的音在人耳这里听起来是一样的”。

翻到超过2比1的那根虚线就行。

但是要记住，只能以二倍关系翻倍。

这时候所有音就都在一个八度内了。然后我们把它们从长到短排列，就可以得出音高从低到高的CDEGAB这六个基本音级。

不过还是少了F这个音。怎么把他求出来呢？把C1乘于3/2就行了。就能得出F这个音。这时候F比C1就等于3比2，符合了纯五度。如果要用图形表示的话，就是F在C1的上面，比C1长了二分之一。

按照这个方法，可以求出其余的降B、降E、降A、降D、降G。

这样五度相生律一共十二个音就全求出来了：C、D、E、F、G、A、B、降D、降E、降G、降A、降B。

看起来，五度相生律好像已经完美了，够用了。

但其实不是的，不然也不会在之后出现革命性的十二平均律。

在十二平均律之前的五度相生律、纯律，以及中国的三分损益法等等我们都可以统称为非平均律。而它们的缺点也就出在“非平均”。

对乐理有一定常识的人应该都知道。在钢琴中一个键经常有好几种叫法。也就是说他们的音高相同，但是有很多种叫法。在十二平均律中把这种情况称为等音。

但是这个常识只适用于十二平均律。而在十二平均律之前出现的那些律法中，有些音是无法达到这个在现在已经很容易实现的要求的。

比如五度相生律中的升F和降G——升F和降G在概念里应该是相等的。

然而它们在实际中不相等。

这就导致了非平均律对于转调以及和声不怎么适用。可能弹着弹着就偏了。也不好合奏。

这让非平均律无法演奏变化多端的，复杂的音乐。像是齿轮无法完美契合。而音乐跟文学或者其他的任何学科一样，随着年代愈久就会发展的越来越复杂（为了更好的表达）。从开始的一个人唱，到后来两个人的复调，再到加上和声以及转调。

而为了解决这个难题。十二平均律就被发明了出来。

最初发明十二平均律的是一个中国人。不过像很多中国的发明一样，发明是发明出来了——但也就止步于此了。

一段时间之后，欧洲也发明了十二平均律。

为了更好的转调，更好的和声。十二平均律直接就 把一个八度平均分成了十二份 。

这是个进步，但其实也可以说是一次妥协。

为什么呢？因为虽然十二平均律的发明解决了转调跟和声的难题，但也使每个音不再那么标准，不再那么和谐。

和谐是个什么概念？在数学上我觉得可以理解为音律中的每个音都可以对应上泛音列中的某个泛音。

在文化上——让我们回到毕达哥拉斯的那个时代。毕达哥拉斯学派对工整是很有执念的；曾经有个学生因为发现了无理数就被暗杀了。由此可以感知，和谐是个什么概念。

每个时代对音乐的感知是不一样的。五度相生律在已经用了上千年之后突然发生了变革。那个时代的人们当然会感觉不和谐。

另外，人耳对单个音的不和谐其实不是那么敏感。但是对一整个的音乐的变化的不和谐却有明显的感知。也正是出于这个原因，十二平均律才得以被发明出来。

再讲一遍：十二平均律直接把一个八度平均分成了十二份。所以在十二平均律中相邻的两个音之间的距离全都是一样的。不管是C和降D，还是E和F。

在十二平均律中，相邻两个音之间的距离我们把它称为半音。两个半音就等于全音。

十二平均律一共有十二个音，但是一般我们只用七个音来演奏，也就是七声调式。

这七个音就是从这十二个音中选取的。

白的键是基本音级，黑键是变化音级。

因而，也就发展出了很多怎么选取这七个音的方法，大小调式是常用的两种：

大调式：全全半全全全半

小调式：全半全全半全全

下面我举几个例子：

C大调（从C开头）：C D E F G A B C

D大调：D E 降G G A B 降D D

依此类推……

C小调：C D 降E F G 降A 降B C C

D小调：D E F G A 降B C D

依此类推……

另外，第八个音我们会把他去掉，因为他就是第一个音的高八度。而前面的七个音就是我们要的do re mi fa sol la si。

前面说了，十二个键的每个键都有多种写法，主要是为了方便；这个下期会讲到。这期为了知道调式这个概念我们先认识降号就行了。降号的作用就是：加了这个号的音需要降半音。

另外，说一些国际上的规定：

钢琴是把27赫兹到4000赫兹分成了七组多三个音。小字一组的C叫中央C，频率是2616赫兹。

小字一组的A是440赫兹，被称为国际标准音（在钢琴的最中间）。

但是在历史上，各个国家的标准音的频率都是不一样的。这也就直接导致了每个国家自己的律法的各个音的频率都不一样。

而国际标准音的规定，就是为了更有助于现在各个国家间的音乐的交流。

有利有弊吧算是。

总结一下：

为了能更好的合奏，转调。在用了很久五度相生律之后，人们发明出了十二平均律。

我们现在学习十二平均律也是为了能更好的创造音乐。但是学无止境，音乐里一切规矩都是为了创造好音乐的工具而已。

视频链接：

1、https://mbilibilicom/video/BV1yV411k7cG

2、https://mbilibilicom/video/BV1rK4y1U7fG

网上帮你搜了一段整体的平均律分析，希望有所帮助。

《平均律钢琴曲集》一共两卷，各24首。第一卷BWV846—869；第二卷BWV870—893。在第一卷的扉页，巴赫作有这样的说明：“《平均律钢琴曲集》（48首前奏曲与赋格）使用一切全音和半音的调，和有关的三大度do、re、mi，小三度re、mi、fa作成的前奏曲和赋格曲集。这不仅能给热心学习音乐的年轻人提供一个机会，也能使熟悉此类技巧的人从中获得乐趣。”前奏曲与赋格或幻想曲与赋格，井不是古老的曲种。这种曲体起源，可能是自由的即兴部分与赋格曲部分所交替的多段体的托卡它。托卡它的创世者可能是梅鲁洛(Claudio Merulo，1533－1604)，梅鲁洛的托卡它是把对位方式部分放在中间的三段体。后来，弗洛贝尔格(Johann Jakbb Froberger，1616—1667)等，把即兴性的第三部极端缩小，把第二部赋格曲扩大，最后把第三部删去。把第一、第二部分开，就产生了前奏曲与赋格。前奏曲原来是乐曲的即兴部分，并无确定形式，所以巴赫在这部作品中，赋予各种形态，大约可分为3类：1音形装饰化；2旋律型，在和弦伴奏之上，流动着美妙的旋律；3创意曲型，主题以对位方式运作。赋格曲形态也是千变万化，大致也可分为两类：1浓缩型，有较多次的主题导入，主题的反行或紧密发展等使用较多的对位技法。2弛缓型，与浓缩型相反，除呈示部，全部声部的发展都是绝无仅有。

　　巴赫的这部《平均律钢琴曲集》，以C大调开始，根据各音为主音的12种大调以及12种小调分别写成前奏曲与赋格，按调性发展而排列。在排列过程中，以细微的差异体现变化、体现转调的魁力。这些前奏曲与赋格，在主题上彼此并没有直接的联系，它们靠调性与内在的思想感情结合在一起。巴赫在每一调性的表现中，都充分拓展了该调性的音乐内涵，每一调性的表现和调性间的关系，充满手法上的变化，使人回味无穷。这部平均律当时使用的乐器，音乐史家们一直争执不已。有人认为是用击弦的古钢琴(Clavichord)，有人认为是用拨弦的大键琴。持击弦古钢琴观点者认为，击弦古钢琴虽比大键琴音量小，键盘上音域也窄，但能靠手指敲击作力度渐强渐弱变化与圆滑奏，巴赫当时因此而钟爱它，认为大键琴缺少精神性。而持大键琴观点者则认为，当时，1719年，巴赫曾亲自挑选，高价为克膝宫廷买了一台大键琴，他所有的键盘音乐都是在这台他心爱的大键琴上创作的。不管如何，这里有一点可以确定：这部作品，巴赫所希望的是优美如歌的奏法。

《平均律钢琴曲集》的每一首都包括一个前奏曲和一个赋格曲，所以《平均律钢琴曲集》也有叫作《四十八首前奏曲与赋格》的。

赋格艺术对一般作曲家来说，是一个难以逾越的障碍，然而在天才的巴赫手中，却可以写成最富于情感最深刻动人的作品。他的赋格主题既有抒情性的、悲剧性的也有风俗性的、英雄性的，它们是当时德国人民精神面貌的反映，也是巴赫个人内心世界的写照。巴赫在赋格的创作中，将这一体裁发展到前所未有的高度，他充分发挥写作上的自由度，只严格遵循呈示部的原则，而在展开部或插部则灵活地施展他的变化技能，他运用主题的技艺性处理（倒影、逆行、扩大、紧缩）作为贯穿前后的线索，而在富于对比的答题和对题上进行丰富多彩的变化，并加进新的因素，使全曲达到高度的对比统一。巴赫在赋格创作上又一超越前人的地方，是他的赋格体现了严密的逻辑性和均衡的结构感，这是因为在赋格大厦的底部有坚实的和声基础，和声在巴赫乐思的发展上和结构布局上起着巨大的作用，因此，巴赫的赋格至今仍被视为复调与和声相结合的最高典范。

从宏观上品味这两卷作品性格上的差异，我们甚至能够感受到巴赫生活上的沧桑与变迁：

第一卷创作于1722年，巴赫37岁，那几年在克滕的宫廷里任职，受命创作了许多非宗教音乐，前此不久的1720年，巴赫的第一个妻子去世，翌年他与小17 岁的安娜·马格达莲娜结了婚，写第一卷时，巴赫必定还沉溺于新婚的喜悦之中。第一卷里的巴赫很有生活情趣，其音乐使人亲近，容易引起共鸣，每一首都那么鲜明而有特点，听来引人入胜。

第二卷里表现的是另一个样子的巴赫，事隔十六年后，他已经逐渐走向老年，早就离开了克滕，在莱比锡古老而又阴沉的托马斯教堂任职，埋头创作了无数宗教音乐清唱剧，第二卷里的巴赫衰老且略带悲凉。第二卷也不像第一卷那样一气呵成，而是断断续续地写了约四年之久。仅仅把每一卷第一首中的前奏曲拿出来比较，我们就能感受到这种差异。

上卷的第一首(BWV846)是用C 大调写成。它的前奏曲，也可以说是整部钢琴曲集的序曲，使用的手法极其简练，分解和弦构成的优美音型贯穿全曲，像流水一般地流淌着。这里展示的是一个清凉、纯美、圣洁的世界。后来，19 世纪法国作曲家古诺（1818—1893）以此为基础，给它配上一个庄重而又深邃的旋律，这就是著名的歌曲《圣母颂》，而此《前奏曲》就成为《圣母颂》天衣无缝、相得益彰的伴奏。

下卷第一首(BWV870)的前奏曲也是用C 大调写成，情绪上却与上卷的那一首有天壤之别，音乐从持续主音上的连续十六分音符间隔三十二分音符开始，庄重、深沉，具有管风琴的效果，我们可以想见巴赫正在庄严肃穆的托马斯教堂里演奏管风琴。

其实，在以严谨、理性著称的巴赫《平均律钢琴曲集》面前，任何文学性的阐述都是苍白幼稚的，但是透过这两个性格迥异前奏曲，我们至少可以看到巴赫情绪上的变化，因为，任何艺术作品必定是烙上时代的印记的。我们再来看其它两首作品。

上卷的第三首(BWV848)有可能占一个世界之最，它是用升C大调写成的，这可能是世界上最早用升C大调写成的作品。在巴赫之前，按纯律调音的古钢琴只能弹少数几个调，调性一多，音就不准了，所以超过三、四个调号的调性几乎不用，何况包括所有升号的升C 大调！这个升C大调“黑键”前奏曲，用3/8拍子写成，前半部分只用了两种节奏型：一是连续十六分音符，一是四分音符与八分音符的长短结合，由两只手交替着演奏，在对比的基础上流动不息，充满着灿烂的光辉。而赋格曲则具有加伏特舞曲的风格，活泼且富有青春气息。

下卷的第四首(BWV873)，用升c小调写成。前奏曲是9/8 拍子，这是一首感情至深的三重唱，精致且富有表情的装饰音、巧妙处理的主题、深刻的表现力，使之成为第二卷中最杰出的作品之一。三声部的赋格曲类似吉格舞曲的风格，流动、轻快与内省的前奏曲形成对比。从第二十七小节开始，出现半音阶式的对位旋律，表情丰富。

将纯八度分成十二个均等的部分的音律叫做十二平均律。

其中每一个部分就是一个半音，每个半音的距离是相等的，它的最大好处是转调方便。

十二平均律最早在古希腊时就有人提出了，但当时并未加以科学的计算。世界上最早根据数学来制订十二平均律的是我国明朝大音乐家朱载堉（1584年）。

在十二平均律中，半音是十二平均律组织中最小的音高距离。两音间的距离等于两个半音的叫做全音。八度内包括有十二个半音，也就是六个全音。在音列的基本音级中，除了E到F、B到C是半音外，其余相邻两音间的距离都是全音。

由于十二平均律的半音是相同的，所以就出现了“等音”——音高相同而音的记法和意义却不相同的各个音叫做“等音”。

十二平均律多用在钢琴、手风琴、电子琴、风琴等键盘乐器中，在钢琴上，相邻的两个琴键（包括黑键）都构成半音，隔开一个琴键的两个音则都构成全音。

扩展资料：

十二平均律是音乐中最底层的系统，规定了两个单音的相对音高，就像计算机中的二进制系统规定了各种运算方式一样。简单来讲，十二平均律体系将一个“纯八度”分成12份，每份称为1个半音，两份为1个全音，以此定出所有中间的单音。

音程就是两个音之间的频率差距，用音数来衡量。频率不同则音不同，而从数学上讲频率是连续的，因此音也是连续不可数的。但是十二平均律系统规定了离散的音的产生方法，这样就可以“数出”音程了。

频率比为1:2的两个单音之间的音程被定义为“纯八度”，例如某个单音的频率为f，那么它与频率为2f的另一个单音之间就构成了一个“纯八度”音程。

按照十二平均律系统，我们可以以f为基准音，在区间[f,2f]内得到13个不同的单音，它们的频率分别为：f×2112，f×2212，…，f×21112，f可以视为f×2012，2f可以视为f×21212。如果将f设定为440Hz，从f到2f这13个单音的频率就可以用前述公式算出。

-十二平均律

十二平均律，亦称“十二等程律”,世界上通用

的把一组音（八度）分成十二个半音音程的

律制，各相邻两律之间的振动数之比完全相

等。十二平均律是指将八度的音程（二倍频

程）按频率等比例地分

成十二等份，每一

等份称为一个半音即小二度。一个大二度则

是两等份。

将一个八度分成12等份有着惊

人的一些凑巧。它的纯五度音程的两个音的

频率比（即

2

的

7/12

次方）与

15

非常接

近，人耳基

本上听不出“五度相生律”和“十

二平均律”的五度音程的差别。十二平均律

在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用，现

在的钢琴即是根据十二平均律来定音的。

　　要介绍《十二平均律曲集》，就得先介绍什么是“十二平均律”。而要介绍“十二平均律”，就得先介绍什么是“律”。　“律”，即“音律”（intonation），指为了使音乐规范化，人们有意选择的一组高低不同的音符所组成的体系，以及这些音符之间的相互关系。比如大家都知道的do、re、mi、fa、so、la、si，这7个音符就组成了一组音律。研究音律的学问叫做“律学”。也就是研究为什么要选择do、re、mi……这7个音（当然也可以选择其它音）作为规范、这些被当成“标尺”的音是怎么产生的、以及它们之间到底是什么关系的学问。　对于任何民族来说，只要他们有着丰富的音乐体验，只要他们想积累起关于音乐的知识，迟早都会遇到关于律学的问题。令人惊讶的是，古今不同民族，虽然各自钟爱的音乐形式可谓万紫千红、百花争艳，彼此也没有互相借鉴，但大家的律学的基础概念却出奇地相似。这也许是音乐本身超文化、超地域的魅力所致吧。　（BTW：现代人学习的do、re、mi、fa、so、la、si，这些好像没有意义的单词，其实都是中世纪时西方教会中很流行的一些拉丁文圣咏（chant）的首音节。这些圣咏是西方现代音乐的源头。）学过高中物理的都知道，声音的本质是空气的振动。而空气的振动是以波的形式传播的，也就是所谓的声波。所有的波（包括声波、电磁波等等）都有三个最本质的特性：频率／波长、振幅、相位。对于声音来说，声波的频率（声学中一般不考虑波长）决定了这个声音有多“高”，声波的振幅决定了这个声音有多“响”，而人耳对于声波的相位不敏感，所以研究音乐时一般不考虑声波的相位问题。　律学当然不考虑声音有多“响”，所以律学研究的重点就是声波的频率。一般来说，人耳能听到的声波频率范围是20HZ（每秒振动20次）到20000HZ（每秒振动20000次）之间。声波的频率越大（每秒振动的次数越多），听起来就越“高”。频率低于20HZ的叫“次声波”，高于20000HZ的叫“超声波”。　（BTW：人耳能分辨的最小频率差是2HZ。举例而言就是，人能听出100HZ和102HZ的声音是不同的，但听不出100HZ和101HZ 的声音有什么不同。另外，人耳在高音区的分辨能力迅速下降，原因见后。）　需要特别指出的是，人耳对于声波的频率是指数敏感的。打比方说，100HZ、200HZ、300HZ、400HZ……这些声音，人听起来并不觉得它们是“等距离”的，而是觉得越到后面，各个音之间的“距离”越近。100HZ、200HZ、400HZ、800HZ……这些声音，人听起来才觉得是“等距离”的（为什么会这样我也不清楚）。换句话说，某一组声音，如果它们的频率是严格地按照×1、×2、×4、×8……，即按2n的规律排列的话，它们听起来才是一个“等差音高序列”。　（比如这里有16个音，它们的频率分别是110HZ的1倍、2倍、3倍……16倍。大家可以听一下，感觉它们是不是音越高就“距离”越近。用音乐术语来说，这些音都是110HZ的“谐波”（harmonics），即这些声波的频率都是某一个频率的整数倍。这个ogg文件可以用“暴风影音”／StormCodec软件来试听。）　由于人耳对于频率的指数敏感，上面提到的“×2就意味着等距离”的关系是音乐中最基本的关系。用音乐术语来说，×2就是一个“八度音程”（octave）。前面提到的do、re、mi中的do，以及so、la、si后面的那个高音do，这两个do之间就是八度音程的关系。也就是说，高音do的频率是do的两倍。同样的，re和高音re之间也是八度音程的关系，高音re的频率是re的两倍。而高音do上面的那个更高音的do，其频率就是do的4倍。也可以说，它们之间隔了两个“八度音程”。显然，一个音的所有“八度音程”都是它的“谐波”，但不是它的所有“谐波”都是自己的“八度音程”。　很自然，用do、re、mi写的歌，如果换用高音do、高音re、高音mi来写，听众只会觉得音变高了，旋律本身不会有变化。这种等效性，其实就是“等差音高序列”的直接结果。　“八度音程”的重要性，世界各地的人们都发现了。比如我国浙江的河姆渡遗址，曾经出土了一管距今9000年的笛子（是用鹤的腿骨做的），它能演奏8个音符，其中就包含了一个八度音程。当然这个八度音程不会是do到高音do，因为只要是一个音的频率是另一个的两倍，它们就是八度音程的关系，和具体某一个音有多高没有关系。明白了八度音程的重要性，下面来介绍在一个八度音程之内，还有那些音是重要的。这其实是律学的中心问题。也就是说，如果某一个音的频率是F，那么我们要寻找F和2F之间还有那些重要的频率。　如果大家有学习弦乐器（比如吉它、古琴、小提琴）的经验的话，都明白它们能发声是因为琴弦的振动。而琴弦的振动是和琴弦的长度有关系的。如果在一根弦振动的时候，用手指按住弦的中点，即让原来全部振动的弦，变成两根以1/2长度振动的弦，我们会听到一个比较高的音。这个音和原来的音之间就是八度音程的关系。因为在物理上，弦的振动频率和其长度是成反比的。　由于弦乐器是世界各地发展得最早的乐器种类之一，所以这种现象古人早已熟悉。他们自然会想：如果八度音程的2:1的关系在弦乐器上用这么简单一按中点的方式就能实现，那么试试按其它的位置会怎么样呢？数学上2:1是最简单的比例关系了，简单性仅次于它的就是3:1。那么，我们如果按住弦的1/3点，会怎么样呢？其结果是弦发出了两个高一些的音。一个音的频率是原来的3倍（因为弦长变成了原来的1/3），另一个音是原来的3/2倍（因为弦长变成了原来的2/3）。这两个音彼此也是八度音程的关系（因为它们彼此的弦长比是2:1）。这样，在我们要寻找的F～2F的范围内，出现了第一个重要的频率，即3/2F。（那个3F的频率正好处于下一个八度，即2F～4F中的同样位置。）　接着再试，数学上简单性仅次于3:1的是4:1，我们试试按弦的1/4点会怎样？又出现了两个音。一个音的频率是原来的4倍（因为弦长变成了原来的1/4），这和原来的音（术语叫“主音”）是两个八度音程的关系，可以不去管它。另一个音的频率是主音的4/3倍（因为弦长是原来的3/4）。现在我们又得到了一个重要的频率，4/3F。　同一根弦，在不同的情况下振动，可以发出很多频率的声音。在听觉上，与主音F最和谐的就是3/2F和4/3F（除了主音的各个八度之外）。这个现象也被很多民族分别发现了。比如最早从数学上研究弦的振动问题的古希腊哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前6世纪）。我国先秦时期的《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》也记载了所谓“三分损益律”。具体说来是取一段弦，“三分损一”，即均分弦为三段，舍一留二，便得到3/2F。如果“三分益一”，即弦均分三段后再加一段，便得到4/3F。得到这两个频率之后，是否继续找1/5点、1/6点等等继续试下去呢？不行，因为听觉上这些音与主音的和谐程度远不及3/2F、4/3F。实际上4/3F已经比3/2F的和谐程度要低不少了。古人于是换了一种方法。与主音F最和谐的3/2F已经找到了，他们转而找3/2F的3/2F，即与最和谐的那个音最和谐的音，这样就得到了（3/2）2F即9/4F。可是这已经超出了2F的范围，进入了下一个八度。没关系，不是有“等差音高序列”吗？在下一个八度中的音，在这一个八度中当然有与它等价的一个音，于是把9/4F的频率减半，便得到了9/8F。　接着把这个过程循环一遍，找3/2的3次方，于是就有了27/8F，这也在下一个八度中，再次频率减半，得到了27/16F。　就这样一直循环找下去吗？不行，因为这样循环下去会没完没了的。我们最理想的情况是某一次循环之后，会得到主音的某一个八度，这样就算是“回到”了主音上，不用继续找下去了。可是（3/2）n，只要n是自然数，其结果都不会是整数，更不用说是2的某次方。律学所有的麻烦就此开始。　数学上不可能的事，只能从数学上想办法。古人的对策就是“取近似值”。他们注意到（3/2）5≈759，和23＝8很接近，于是决定这个音就是他们要找的最后一个音，比这个音再高一点就是主音的第三个八度了。这样，从主音F开始，我们只需把“按3/2比例寻找最和谐音”这个过程循环5次，得到了5个音，加上主音和4/3F，一共是7个音。这就是为什么音律上要取do、re、mi等等7个音符而不是6个音符或者8个音符的原因。　这7个音符的频率，从小到大分别是F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。　如果这里的F是do，那么9/8F就是re、81/64F就是mi……，这7个频率组成了7声音阶。这7个音都有各自正式的名字，在西方音乐术语中，它们分别被叫做主音（tonic）、上主音（supertonic）、中音（mediant）、下属音（subdominant）、属音（dominant）、下中音（submediant）、导音（leading tone）。其中和主音关系最密切的是第5个“属音”so和第4个“下属音”fa，原因前面已经说过了，因为它们和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的。由于这个音律主要是从“属音”so即3/2F推导出来的，而3/2这个比例在西方音乐术语中叫“纯五度”，所以这种音律叫做“五度相生律”。西方最早提出“五度相生律”的是古希腊的毕达哥拉斯（所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning），东方是《管子》一书的作者（不一定是管仲本人）。我国历代的各种音律，大部分也都是从“三分损益律”发展出来的，也可以认为它们都是“五度相生律”。　仔细看上面“五度相生律”7声音阶的频率，可以发现它们彼此的关系很简单：do～re、re～mi、fa～so、so～la、la～si 之间的频率比都是9:8，这个比例被称为全音（tone）；mi～fa、si～do 之间的频率比都是256:243，这个比例被称为半音（semitone）。“五度相生律”产生的7声音阶，自诞生之日起就不断被批评。原因之一就是它太复杂了。前面说过，如果按住弦的1/5点或者1/6点，得到的音已经和主音不怎么和谐了，现在居然出现了81/64和243/128这样的比例，这不会太好听吧？于是有人开始对这7个音的频率做点调整，于是就出现了“纯律”（just intonation）。　“纯律”的重点是让各个音尽量与主音和谐起来，也就是说让各个音和主音的频率比尽量简单。“纯律”的发明人是古希腊学者塔壬同（今意大利南部的塔兰托城）的亚理斯托森努斯（Aristoxenus of Tarentum）。（东方似乎没有人独立提出“纯律”的概念。）此人是亚理士多德的学生，约生活在公元前3世纪。他的学说的重点就是要靠耳朵，而不是靠数学来主导音乐。他的书籍现在留下来的只有残篇，不过可以证实的是他最先提出了所谓“自然音阶”。　自然音阶也有7个音，但和“五度相生律”的7声音阶有不小差别。7个自然音阶的频率分别是：F、9/8F、5/4F、4/3F、3/2F、5/3F、15/8F。确实简单多了吧？也确实好听多了。这么简单的比例，就是“纯律”。　可以看出“纯律”不光用到了3/2的比例，还用到了5/4的比例。新的7个频率中和原来不同的就是5/4F、5/3（＝5/4×4/3）F、15/8（＝5/4×3/2）F。　虽然“纯律”的7声音阶比“五度相生律”的7声音阶要好听，数学上也简单，但它本身也有很大的问题。虽然各个音和主音的比例变简单了，但各音之间的关系变复杂了。原来“五度相生律”7声音阶之间只有“全音”和“半音”2种比例关系，现在则出现了3种：9:8（被叫做“大全音”，major tone，就是原来的“全音”）、10:9（被叫做“小全音”，minor tone）、16:15（新的“半音”）。各位把自然音阶的频率互相除一下就能得到这个结果。更进一步说，如果比较自然音阶中的re和fa，其频率比是27/32，这也不怎么简单，也不怎么好听呢！所以说“纯律”对“五度相生律”的修正是不彻底的。事实上，“纯律”远没有“五度相生律”流行。对于“五度相生律”的另一种修正是从另一个方向展开的。还记得为什么要取7个音符吗？是因为（3/2）5≈759，和23＝8很接近。可这毕竟是近似值，而不是完全相等。在一个八度之内，这么小的差距也许没什么，但是如果乐器的音域跨越了好几个八度，那么这种近似就显得不怎么好了。于是人们开始寻找更好的近似值。　通过计算，古人发现（3/2）12≈1297，和27＝128很接近，于是他们把“五度相生律”中“按3/2比例寻找最和谐音”的循环过程重复12次，便认为已经到达了主音的第7个八度。再加上原来的主音和4/3F，现在就有了12个音符。　注意，现在的“规范”音阶不是do、re、mi……等7个音符了，而是12个音符。这种经过修改的“五度相生律”推出的12声音阶，其频率分别是：F、2187/2046F、9/8F、19683/16384F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、59049/32768F、243/128F。　和前面的“五度相生律”的7声音阶对比一下，可以发现原来的7个音都还在，只是多了5个，分别插在它们之间。用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是C、D、E、F、G、A、B。新多出来的5个音符于是被叫做C#（读做“升C”）、D#、F#、G#、A#。12音阶现在不能用do、re、mi的叫法了，应该被叫做：C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。把相邻两个音符的频率互相除一下，就会发现它们之间的比例只有两种：256:243（就是原来的“半音”，也叫做“自然半音”），2187:2048（这被叫做“变化半音”）。　也就是说，这12个音符几乎可以说又构成了一个“等差音高序列”。它们之间的“距离”几乎是相等的。（当然，如果相邻两个音符之间的比例只有一种的话，就是严格的“距离”相等了。）原来的7声音阶中，C～D、D～E、F～G、G～A、A～B之间都相隔一个“全音”，现在则认为它们之间相隔了两个“半音”。这也就是“全”、“半”这种叫法的根据。　既然C#被认为是从C“升”了半音得到的，那么C#也可以被认为是从D“降”了半音得到的，所以C#和Db（读做“降D”）就被认为是等价的。事实上，5个新加入的音符也可以被写做：Db、Eb、Gb、Ab、Bb。　这种12声音阶在音乐界的地位，我只用举一个例子就能说明了。钢琴上的所有白键对应的就是原来7声音阶中的C、D……B，所有的黑键对应的就是12声音阶中新加入的C#、Eb……Bb。　从7声音阶发展到12声音阶的做法，在西方和东方都出现得很早。《管子》中实际上已经提出了12声音阶，后来的中国音律也大多是以“五度相生律”的12声音阶为主。毕达哥拉斯学派也有提出这12声音阶的。不过西方要到中世纪晚期才重新发现它们。能不能把“五度相生律”的12声音阶再往前发展一下呢？可以的。12声音阶的依据就是（3/2）12≈1297，和27＝128很接近，按照这个思路，继续找接近的值就可以了嘛。　还有人真地找到了，此人就是我国西汉的著名学者京房（77 BC－47 BC）。他发现（3/2）53≈2151×109，和231≈2147×109也很接近，于是提出了一个53音阶的新音律。要知道古人并没有我们现在的计算器，计算这样的高次幂问题对他们来说是相当麻烦的。　当然，京房的新律并没有流行开，原因就是53个音阶也太麻烦了吧！开始学音乐的时候要记住这么多音符，谁还会有兴趣哦！但是这种努力是值得肯定的，也说明12声音阶也不完美，也确实需要改进。“五度相生律”的12声音阶中的主要问题是，相邻音符的频率比例有两种（自然半音和变化半音），而不是一种。而且两种半音彼此差距还不小。（2187:2048）/（256:243）≈1014。好像差不多哦？但其实自然半音本身就是256:243≈1053了。　如果12声音阶是真正的“等差音高序列”的话，每个半音就应该是相等的，各个音阶就应该是“等距离”的。也就是说，真正的12声音阶可以把一个八度“等分”成12份。为什么这么强调“等分”、“等距离”呢？因为在音乐的发展过程中，人们越来越觉得有“转调”的必要了。　所谓转调，其实就是用不同的音高来唱同一个旋律。比方说，如果某一个人的音域是C～高音C（也就是以前的do～高音do），乐器为了给他伴奏，得在C～高音C之内弹奏旋律；如果另一个人的音域是D～高音D（也就是以前的re～高音re），乐器得在D～高音D之内弹奏旋律。可是“五度相生律”的12声音阶根本不是“等差音高序列”，人们会觉得C～高音C之内的旋律和D～高音D之内的旋律不一样。特别是如果旋律涉及到比较多的半音，这种不和谐就会很明显。可以说，如果现在的钢琴是按“五度相生律”来决定各键的音高，那么只要旋律中涉及到许多黑键，弹出来的效果就会一塌糊涂。　这种问题在弦乐器上比较好解决，因为弦乐器的音高是靠手指的按压来决定的。演奏者可以根据不同的音域、旋律的要求，有意地不在规定的指位上按弦，而是偏移一点按弦，就能解决问题。可是键盘乐器（比如钢琴、管风琴、羽管键琴等）的音高是固定的，无法临时调整。所以在西方中世纪的音乐理论里，就规定了有些调、有些音是不能用的，有些旋律是不能写的。而有些教堂的管风琴，为了应付可能出现的各种情况，就预先准备下许多额外的发音管。以至于有的管风琴的发音管有几百甚至上万根之多。这种音律规则上的缺陷，导致一方面作曲家觉得受到了限制，一方面演奏家也觉得演奏起来太麻烦。　问题的根源还是出在近似值上。“五度相生律”所依据的（3/2）12毕竟和27并不完全相等。之所以会出现两种半音，就是这个近似值造成的。　对“五度相生律”12声音阶的进一步修改，东、西方也大致遵循了相似的路线。比如东晋的何承天（370 AD－447 AD），他的做法是把（3/2）12和27之间的差距分成12份，累加地分散到12个音阶上，造成一个等差数列。可惜这只是一种修补工作，并没有从根本上解决问题。西方的做法也是把（3/2）12和27之间的差距分散到其它音符上。但是为了保证主音C和属音G的3/2的比例关系（这个“纯五度”是一个音阶中最重要的和谐，即使是在12声音阶中也是如此），这种分散注定不是平均的，最好的结果也是12音中至少有一个“不在调上”。如果把差距全部分散到12个音阶上的话，就必须破坏C和G之间的“纯五度”，以及C和F之间的4/3比例（术语是“纯四度”）。这样一来，虽然方便了转调，但代价就是音阶再也没有以前好听了。因为一个八度之内最和谐的两个关系――纯五度和纯四度――都被破坏了。　一直到文艺复兴之前，西方音乐界通行的律法叫“平均音调律”（Meantone temperament），就是在保证纯五度和纯四度尽量不受影响的前提下，把（3/2）12和27之间的差距尽量分配到12个音上去。这种折衷只是一种无可奈何的妥协，大家其实都在等待新的音律出现。终于还是有人想到了彻底的解决办法。不就是在一个八度内均分12份吗？直接就把2:1这个比例关系开12次方不就行了？也就是说，真正的半音比例应该是21/12。如果12音阶中第一个音的频率是F，那么第二个音的频率就是21/12F，第三个音就是22/12F，第四个音是23/12F，……，第十二个是211/12F，第十三个就是212/12F，就是2F，正好是F的八度。　这是“转调”问题的完全解决。有了这个新的音律，从任何一个音弹出的旋律可以复制到任何一个其它的音高上，而对旋律不产生影响。西方巴洛克音乐中，复调音乐对于多重声部的偏爱，有了这个新音律之后，可以说不再有任何障碍了。后来的古典主义音乐，也间接地受益匪浅。可以说没有这个新的音律的话，后来古典主义者、浪漫主义者对于各种音乐调性的探索都是不可能的。　这种新的音律就叫“十二平均律”。首先发明它的是一位中国人，叫朱载堉（yù）。他是明朝的一位皇室后代，生于1536年，逝世于1611年。他用珠算开方的办法（珠算开12次方，难度可想而知），首次计算出了十二平均律的正确半音比例，其成就见于所著的《律学新书》一书。很可惜，他的发明，和中国古代其它一些伟大的发明一样，被淹没在历史的尘埃之中了，很少被后人所知。　西方人提出“十二平均律”，大约比朱载堉晚50年左右。不过很快就传播、流行开来了。主要原因是当时西方音乐界对于解决转调问题的迫切要求。当然，反对“十二平均律”的声音也不少。主要的反对依据就是“十二平均律”破坏了纯五度和纯四度。不过这种破坏程度并不十分明显。　“十二平均律”的12声音阶的频率（近似值）分别是：F（C）、1059F（C#／Db）、1122F（D）、1189F（D#／Eb）、1260F（E）、1335F（F）、1414F（F#／Gb）、1498F（G）、1587F（G#／Ab）、1682F（A）、1782F（A#／Bb）、1888F（B）。　注意，现在所有的半音都一样了，都是21/12，即1059。以前的自然半音和变化半音的区别没有了。　另外，原来“五度相生律”的12音阶中，C和G的比例是3/2（即纯五度），现在“十二平均律”的12音阶中，C和G的比例是1498，和纯五度所要求的3/2（15）非常接近。原来“五度相生律”的12音阶中，C和F的比例是4/3（即纯四度），现在“十二平均律”的12音阶中，C和F的比例是1335，和纯四度所要求的4/3（1333）也非常接近。所以“十二平均律”基本上保留了“五度相生律”最重要的特性。又加上它完美地解决了转调问题，所以后来“十二平均律”基本上取代了“五度相生律”的统治地位。现在的钢琴就是按“十二平均律”来确定各键音高的。现在学生们学习的do、re、mi也是按“十二平均律”修改过的7声音阶。现在如果想听“五度相生律”或者“纯律”的do、re、mi，已经很不容易了。　BTW：现在钢琴的音高标准是按“中央C”（即通常的do）右边的第五个白键（按术语说是A4）的频率来定的。这个A键的频率被确定为440HZ。确定了它，钢琴上其它键的频率都可以按“十二平均律”类推得到。不过在某些国家（比如东欧），也有把这个键的频率定为444HZ的。历史上，这个A键的标准曾经有过很多次变化。比如在1759年，英国剑桥的“三一学院”（Trinity College Cambridge）的管风琴的这个A键，就曾经被定在309HZ。可以想像在这里听到的旋律和我们现在听到的旋律该有怎样大的差别。研究古代音乐家的作品的时候，对于当时音高标准的研究也是很重要的一部分。（关于音高标准在历史上的变化，可以参考这里。）关于“十二平均律”，最后要提的是所谓“大调”、“小调”的问题。自从“五度相生律”提出12音阶以来，12音阶和原来的7音阶之间的关系一直就被人们所研究。也就是说，在原来的7音阶之外，现在人们可以在12音阶中选取其它的7个音来作为音乐的“标尺”了。这可以给作曲家们以更大的创作自由。　以C～高音C的八度为例，如果我们选择原来的7音阶，即C、D、E、F、G、A、B，这就被称为“大调”（major scale），又因为这个大调的主音是C，所以被称为“C大调”。而如果我们选择C、D、D#（Eb）、F、G、G#（Ab）、A#（Bb），这就被称为“c小调”（C minor scale）。用小写c的原因是表示这是小调。　大调和小调的区别就在于，大调和小调里各音之间的“距离感”不同，以它们为基础来作曲，给听众的感觉也不相同。这就让作曲家有了用音乐表现不同情绪的机会。　西方中世纪的音乐理论里，曾经提出了8种不同的方法在12音中选7个音作为基准，其中就包含了我们现在谈的大调和小调。当时的音乐理论给予这8种调性（mode）以不同的感情色彩，比如有的被认为是“悲伤的”，有的被认为是“快乐的”，有的被认为是“朝气蓬勃的”等等。这8种调性中有一些现在已经很少用了，现在最流行的是大调和小调这两种。　由于“十二平均律”允许随意转调，这就让作曲家可以更为地自由创作。以前由于各音之间的半音“不等距”的问题，有些调被认为不能写作的，现在也可以毫无阻碍的进行创作了。

朱载堉对古代文化的最大贡献是他创建了十二平均律。此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴 ，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”。 朱载堉著书

朱载堉用横跨81档的特大算盘，进行开平方、开立方的计算，提出了“异径管说”，并以此为据，设计并制造出弦准和律管。 朱载堉的“十二平均律”使这十二个键的每相邻两键音律的增幅或减幅相等。对这个音乐领域遗留了一千多年的学术难题，朱载堉经过几十年的潜心研究，终于以他的十二平均律之说解决了。十二平均律一经出现，世界上有十分之八九的乐器发音和理论标准都是参照十二平均律的。比如说被称为“乐器之王”的钢琴，就是依据十二平均律的原理发明的。或许音乐上的这种专业词汇让我们费解，那么让我们量化一下：到今天，世界上十有八九的乐器定音，都是在十二平均律的基础上完成的，它被今天的西方普遍认为是“标准调音”、“标准的西方音律”。