笛卡尔简介 笛卡尔的爱心函数

笛卡尔是被誉为“近代科学的始祖”、“近代哲学之父”，是17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一笛卡儿简介，他在哲学、数学、物理学、天文学、心理学、神学等方面都有研究且成就颇高。

笛卡尔笛卡尔简介勒内·笛卡尔（Rene Descartes，公元1596年3月31日—公元1650年2月11日），出生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷拉海（现改名为笛卡尔以纪念），逝世于瑞典斯德哥尔摩，法国着名哲学家、物理学家、数学家、神学家。称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。他创立了着名的平面直角坐标系。笛卡尔是法国着名的哲学家、物理学家、数学家、神学家，他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。他与英国哲学家弗兰西斯·培根一同开启了近代西方哲学的“认识论”转向。他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学。笛卡尔自成体系，融唯物主义与唯心主义于一体，在哲学史上产生了深远的影响笛卡儿简介，同时，他又是一位勇于探索的科学家，他所建立的解析几何在数学史上具有划时代的意义。笛卡尔是二元论的代表，留下名言“我思故我在”（或译为“思考是唯一确定的存在”），提出了“普遍怀疑”的主张，是欧洲近代哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“近代哲学之父”。笛卡尔的爱心函数心形线，是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名。传说，当年52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。笛卡尔在给克里斯汀寄出第十三封信后就气绝身亡了，这第十三封信内容只有短短的一个公式：r=a(1-sinθ）。公主看到后，立即明了恋人的意图，她马上着手把方程的图形画出来，看到图形，她开心极了，她知道恋人仍然爱着她，原来方程的图形是一颗心的形状。这也就是着名的“心形线”。

首先不是画法，而是公式。

笛卡尔二维坐标系里的桃心公式：r=a(1-sinθ）

极坐标方程：

水平方向： ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a>0)。

垂直方向： ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a>0)。

直角坐标方程：

心形线的平面直角坐标系方程表达式分别为 x^2+y^2+ax=asqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-ax=asqrt(x^2+y^2）。

扩展资料

在历史上，笛卡尔和克里斯蒂娜的确有过交情。但笛卡尔是1649年10月4日应克里斯蒂娜邀请才来到瑞典，而当时克里斯蒂娜已成为了瑞典女王。

笛卡尔与克里斯蒂娜谈论的主要是哲学问题而不是数学。有资料记载，由于克里斯蒂娜女王时间安排很紧，笛卡尔只能在早晨五点与她探讨哲学。笛卡尔真正的死因是因天气寒冷加上过度操劳患上的肺炎，而不是黑死病。

笛卡尔爱情公式：r=a(1－sinθ)，按照这个公式画出来的坐标图，形似一颗心，所以常被用来表白，也叫笛卡尔爱情曲线。公式出自笛卡尔写给克丽丝汀的第十三封情书。主人公是笛卡尔，就是在数学上创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。

有一个美丽的传说。

一位已逾知天命之年的老人在路边邂逅了一位 18 岁的公主，他因为才华横溢而被公主的父亲选中当公主的数学老师。日日耳鬓厮磨，公主和老人产生了不伦之恋。国王知道后，一气之下将老人放逐，并禁止他们之间的任何交流。流离失所的老人身染沉疴，寄去的十二封书信如石沉大海，杳无回音。当写第十三封信时，他气绝身亡了，信中只有一个简单的数学公式：r=a(1-sinθ)。国王看不懂，遂将全国的数学家请来，但无人能解开谜团，于是国王很放心，将这封信交给了闷闷不乐的公主。公主收到信后立刻明白了恋人的意思。她用老人教给她的“坐标系”将这个方程画了出来（见图 8-1）。

图 8-1

她知道恋人依旧爱着她，只是不知道他们已经阴阳相隔了。

这就是数学史上著名的“心形线”。故事中的公主叫克里斯汀，老人叫勒内 ·笛卡儿（1596—1650），这个坐标系叫“笛卡儿坐标系”。只是这个故事是后人编的，就像人们宁愿相信伽利略真的爬上了比萨斜塔一样，故事永远都比现实生动。

最初的笛卡尔坐标系

笛卡儿出生于法国，比伽利略小 32 岁。他是一位伟大的哲学家、数学家、物理学家，但是这人有一点不好——身体不好，这大概是从娘胎就带来的。在他一岁的时候，他的母亲因为肺结核散手人寰，他也差点在某次生病时夭折。好在有父亲的悉心照料，他才顽强地活了下来，随后取名勒内（意为“重生”）。他的父亲后来再婚，他便由外婆带大。笛卡儿的身体一向虚弱，所以上学后老师允许他在床上多躺一会儿，但他并没有真的休息，他的脑海里总是翻腾着奇思怪想。这些想法能把老师甚至父亲惹毛，可能他的父亲因此不怎么喜欢他。父子之间的隔阂让笛卡儿备感孤独，而孤独是独自旅行的最好理由，成年后的笛卡儿总喜欢周游各国。

1616 年，20 岁的笛卡儿带着仆人加入了荷兰军队当一名军官。说是军官，实际上就是雇佣兵。当时荷兰为独立和西班牙开战，但是笛卡儿到了前线后不久，两方签订了暂时的停战协定。闲来没事，他就开始研究数学。

从古埃及开始，东方智慧与西方智慧在战争后的一次次融合让人类在代数和几何上都取得了很大的成功，但在笛卡儿之前，它们仍是两门相对比较独立的学科。几何直观形象，代数精确抽象。笛卡儿反复思考着一个问题，能否把几何图形和代数结合起来，让代数中的每个数在几何上都有意义，同时也让几何中的形与代数中的数一一对应。为此，他废寝忘食，甚至生病时都不忘思考。

据说有天笛卡儿习惯性地躺在床上思考，突然看到角落里有只蜘蛛正在结网，他一下子醒悟过来。他想如果把蜘蛛看成一个点，而把墙角看成 3 个数轴，那么空间中蜘蛛的位置就可以用这 3 个数轴的坐标确定下来；反之，如果确定了一个坐标，那么就可以确定这个点的位置，如图 8-2 所示。这就是最初的笛卡儿坐标系。

图 8-2

根据笛卡儿坐标系，我们很容易解释一些物理现象。比如蜘蛛是运动的，当蜘蛛网上落了一只苍蝇时，蜘蛛会从中心 A 点跑到苍蝇所在的 B 点，饕餮一餐后回到中心 A 点上。尽管都是在 AB 之间活动，但是意义不同，这该如何在坐标系上表达呢？很简单，画个带个箭头的线段就行了，线段的长度表示大小，箭头表示方向，所以称之为“向量”。箭者，矢也，故而又称之为“矢量”。根据伽利略的运动相对性原理，速度自然有大小有方向，故而速度也是矢量。物理学中的速度和日常生活中的速度不是一个概念，后者在物理学中通常称为“速率”。

笛卡尔眼中的物体运动

从古希腊开始，人类就认为物体运动有两种最基本的方式，其中一种是直线运动，另外一种是完美的圆周运动。这两种方式都被伽利略很好地继承了下来。笛卡儿曾研究过物体的圆周运动，比如拿一根绳子拴住一个小球沿圆周甩动起来，小球就会绕圆心不停地做圆周运动，但在松开绳子的那一瞬间，小球就会沿着圆周的切线方向飞走，也就是说以即时速度做直线运动去了。

这种现象并不奇怪，小球做圆周运动是因为它受到了绳子的牵引，绳子提供了向心力；松手后，小球飞走是因为绳子无法提供向心力。按照伽利略的惯性理论，小球自然会做匀速直线运动。只是有一点很奇怪，既然圆周运动需要向心力，那就不存在所谓的圆惯性。所以笛卡儿认为，在物体不受力的情况下，只有静止或者匀速直线运动这一种运动方式，所以匀速圆周运动并非是完美的，更不是匀速直线运动的归宿。

实际上，对于上述现象，伽利略绝对不会选择性地视而不见，所以他认为圆惯性只存在于天体之间，而与地球上的物体没有关系。但是这明显犯了大忌：如果真是上帝创造了世界，那么他肯定不会厚此薄彼。伽利略失去了将一种理论推广到一切物体上的机会。笛卡儿则抓住了这个机会，可是既然圆惯性不存在，又该怎么解释天体的运行呢？他认为是“引力”。比如地球绕着太阳运动，那是因为太阳给了地球引力，引力充当地球做圆周运动的向心力。可以说笛卡儿的引力和开普勒的磁力差不多，不过那个时候人们还不急于将引力推广到所有物体，而只认为引力存在于星体之间。天体间的距离如此之远，引力又该如何作用？

在此引入贯穿本书的两个词语：Duang 和 Sou~。这两个象声词

的含义就是字面上的含义：Duang 表示无时间性的瞬间，Sou~ 表示有时间性的慢动作。那么引力作用无非有以下两种看法。

1 接触作用：通过其他物质传递。既然是传递，其作用过程肯定是 Sou~。

2 超距作用：无需其他媒介，力是被瞬间赋予其上的。既然是瞬间，其作用过程必须是 Duang。

对于天体间引力的运行方式，笛卡儿选择了第一个，那就必须为引力寻找一个传递介质，笛卡儿想到了以太。

以太并不是一个新的概念，也并不是由笛卡儿凭空杜撰的，早在古希腊时代就有。以太在古希腊语中大意指的是青天或者上层的空气。亚里士多德认为构成物质的元素除了水、火、土、气之外，还有一种叫以太的元素。亚里士多德等古希腊的先哲们不仅认为神是存在的，而且认为神也会像人类一样需要呼吸，而神呼吸的“空气”就叫以太。以太弥漫在整个太空中，所以亚里士多德认为“自然厌恶真空”。因为与神相关，所以，以太从一开始就具有一层神秘的色彩；可能是神学界也无须向人们展示神仙的“真人秀”，所以，以太并没有太多研究的必要性和市场。以太一直被尘封在魔盒里，直到笛卡儿把它打开。

笛卡儿认为宇宙中弥漫着以太，太阳把以太扭曲得像个漩涡，地球就处在旋涡中的一个点上，就像搅动水桶里的水形成一个旋涡，而水上漂着的物体就会跟着旋涡转动起来。只是有个问题，如果笛卡儿的理论是正确的，那么天体的运行将不符合开普勒的第二定律和第三定律。不过在笛卡儿所处的时代，应该还没有人意识到这一点。

“我思故我在”

相对于数学和物理学，笛卡儿的哲学思想则更为重要，体现在他为人们提供了一种“授人以鱼不如授人以渔”的方法上。他在他的名著《谈谈方法》中建立了 4 条规则，我们以伽利略的小球实验试浅析之。

1 绝不接受我没有确定为真理的东西。大意是在一切没有尘埃落定之前，我拒绝接受任何所谓的真理，即便那些是从伟大的亚里士多德口中得出的。简单地说，要怀疑一切。

2 把每个研究的难题细分为若干小部分，直到可以圆满解决为止。比如每个物体的运动是如此复杂，但是可以将其细分为几种运动的组合。

3 按顺序，先易后难，一点点由简单的研究对象上升到复杂对象。比如先研究最简单的水平运动，再考虑复杂的运动，然后把实验中小球的运动形式推广到更复杂的宇宙万物中。

4 把一切情况完全列举出来。分析问题必须彻底、全面才能得出真理。尽管伽利略得出了惯性，但是也得出了圆惯性，显然这是不够全面的，不够全面就值得怀疑，于是一二三四，再来一次。

笛卡儿倡导理性，“怀疑一切”便建立理性的出发点上。他认为怀疑应具有普遍性，比如在课堂上我们可以怀疑老师所说的，读书时可以怀疑书本上所写的，我们甚至可以怀疑眼前正在发生的一切，因为那很可能是一场梦。什么东西不能怀疑呢？思考，唯有思考，因为怀疑本身就思维活动的一种，当怀疑“我在怀疑”时，就进入了严重的死循环之中。道理大约等同于：

“喂，你在吗？”

“对不起，我不在！”

“哦，那我也不在。”

……

所以，我思故我在。

这是笛卡儿一生中说过的最经典的话，也是他整个哲学体系的出发点。从字面上理解，我思考，所以我存在，但这种解释就像把“How old are you”翻译成“怎么老是你”一样望文生义。笛卡儿不否认每个物体都有其特定的客观本质，问题是该怎么认知到物体的本质呢？思考！思考的主体是什么？“我”！所以“我”必须存在。这话名言大致上是说主体与客体的认知关系，只是它有时被强行扣上了“二元论”“唯心主义”的大帽，于是笛卡儿成了我们第一印象中的“反面”，这或许是一些物理教科书里很少提到他的原因吧。

什么是哲学？可能至今也没人能下个精准的定义，但是谁都不会怀疑哲学是写给人看的，而不是给阿猫阿狗桌子板凳看的。站在这个角度，笛卡儿的思想就非常正确了，因为同一个事物在不同的人看来有不同的认知，就像西方谚语说的“一百个人眼中有一百个哈姆雷特”，那么哪个才是客观上的哈姆雷特呢？可能莎士比亚甚至哈姆雷特自己都糊涂了，所以认知一个事物时就必须把“人”的因素考虑进来，而不能脱离主体遑论客体是多么客观。

笛卡儿的哲学思想具有划时代的意义，一方面摆脱了经院哲学的盲目教条主义，转而推崇理性；另一方面开启了哲学的新思潮，为后来的哲学奠定了良好的基础，所以后人称他为“近代哲学之父”。

故事最后的真相

这位伟大的人物终于敌不过羸弱的身体，于 54 岁时去世。他暮年那段 “忘年恋”的真相是这样的：1649 年冬天，笛卡儿旅游到北欧的瑞典，瑞典年轻的女王（不是公主）很喜欢他的课（哲学课，非数学课），而且上课时间必须是从早上 5 点就开始。在正常情况下，这个时间笛卡儿正躺在床上思考问题，为此笛卡儿不得不改变自己的生活习惯以迎合女王。第二年，他因严寒感染肺炎去世。

此时，我们仿佛听到一曲悲怆而又壮怀激烈的背景音乐，而在壮怀激烈中，我们又仿佛看到一艘满载星辉的大船正在扬帆远航！

本文节选自《在悖论中前行 物理学史话》

据传说笛卡尔心形线公式是法国著名的数学家笛卡尔，写给情人克里斯汀公主第十三封信里面的内容。这封信里只有这个数学公式，将这个公式整个的曲线图作出来，就是有名的心脏线！

一、笛卡尔心形线表白公式是什么

 

二、笛卡尔心形线的由来

1650年，斯德哥尔摩的街头，52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。那时，落魄、一文不名的笛卡尔过着乞讨的生活，全部的财产只有身上穿的破破烂烂的衣服和随身所带的几本数学书籍。生性清高的笛卡尔从不开口请求路人施舍，他只是默默地低头在纸上写写画画，潜心于他的数学世界。

 

一个宁静的午后，笛卡尔照例坐在街头，沐浴在阳光中研究数学问题，突然，有人来到他身旁，拍了拍他的肩膀，“你在干什么呢？”扭过头，笛卡尔看到一张年轻秀丽的脸庞，一双清澈的眼睛如湛蓝的湖水，楚楚动人，长长的睫毛一眨一眨的，她就是瑞典的小公主，国王最宠爱的女儿克里斯汀。

 

她蹲下身，拿过笛卡尔的数学书和草稿纸，和他交谈起来。言谈中，他发现这个小女孩思维敏捷，对数学有着浓厚的兴趣。

　　

几天后，他意外地接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师，满心疑惑的笛卡尔跟随前来通知的侍卫一起来到皇宫，在会客厅等候的时候，他听到了从远处传来银铃般的笑声。转过身，他看到了前几天在街头偶遇的女孩子，慌忙中，他赶紧低头行礼。

 

从此，他便当上了公主的数学老师。

 

公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进，他们之间也开始变得亲密起来。笛卡尔向她介绍了他研究的新领域——直角坐标系。通过它，代数和几何可以结合起来，也就是日后笛卡尔创立的解析几何的雏形。在笛卡尔的带领下，克里斯汀走进了奇妙的坐标世界，她对曲线着了迷。每天的形影不离也使他们彼此产生了爱慕之心。

 

在瑞典这个浪漫的国度里，一段纯粹、美好的爱情悄然萌发。

 

然而，没过多久，他们的恋情传到了国王的耳朵里，过往大怒，下令马上将笛卡尔处死。在克里斯汀的苦苦哀求下，国王将他放逐回国，公主被软禁在宫中。

 

当时，欧洲大陆正在流行黑死病。身体孱弱的笛卡尔回到法国后不久，遍染上重病。在生命进入倒计时的那段日子，他日夜思念公主，每天坚持给她写信，盼望着她的回音。然而，这些信都被国王拦截下来，公主一直没有收到他的任何消息。

 

在笛卡尔给克里斯汀寄出第十三封信后，他永远地离开了这个世界。此时，被软禁在宫中的小公主依然徘徊在皇宫的走廊里，思念着远方的情人。

这最后的一封信上没有写一句话，只有一个方程式：r=a(1-sinθ)。

 

国王看不懂，以为这个方程里隐藏着两个人不可告人的秘密，遍把全城的数学家召集到皇宫，但是没有人能解开这个函数式。他不忍看着心爱的女儿每天闷闷不乐，便把这封信给了她。拿到信的克里斯汀欣喜若狂，她立即明白了恋人的意图，找来纸和笔，着手把方程图形画了出来，一颗心型图案出现在眼前，克里斯汀不禁流下感动的泪水，这条曲线就是著名的“心形线”。

 

国王去世后，克里斯汀继承王位，登基后，她便立刻派人去法国寻找心上人的下落，收到的却是笛卡尔去世的消息，留下了一个永远的遗憾……

 

这封享誉世界的另类情书，至今还保存在欧洲笛卡尔纪念馆里，纪念着这段唯美的爱情。

在笛卡尔坐标系中，心脏线的参数方程为：

其中r是圆的半径。曲线的尖点位于（r，0）

在极坐标系中的方程为：ρ(θ)=2r(1-cosθ)。

数学的故事》里面说到了数学家笛卡尔的爱情故事。笛卡尔于1596年出生在法国，欧洲大陆爆发黑死病时他流浪到瑞典，认识了瑞典一个小公国18岁的小公主克里斯蒂娜（Kristina），后成为她的数学老师，日日相处使他们彼此产生爱慕之心，公主的父亲国王知道了后勃然大怒，下令将笛卡尔处死，后因女儿求情将其流放回法国，克里斯汀公主也被父亲软禁起来。笛卡尔回法国后不久便染上黑死病，他日日给公主写信，因被国王拦截，克里斯汀一直没收到笛卡尔的信。笛卡尔在给克里斯汀寄出第十三封信后就气绝身亡了，这第十三封信内容只有短短的一个公式：r=a（1-sinθ）。国王看不懂，觉得他们俩之间并不是总是说情话的，大发慈悲就把这封信交给一直闷闷不乐的克里斯汀，公主看到后，立即明了恋人的意图，她马上着手把方程的图形画出来，看到图形，她开心极了，她知道恋人仍然爱着她，原来方程的图形是一颗心的形状。公主在纸上建立了极坐标系，用笔在上面描下方程的点，看到了方程所表示的心脏线，理解了笛卡尔对自己的深深爱意。这也就是著名的“心形线”。