数学的二进制是什么意思，有何运用

一、二进制数的表示法

二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”。二进制数也是采用位置计数法，其位权是以2为底的幂。例如二进制数11011，其权的大小顺序为22、21、20、2-1、2-2。对于有n位整数，m位小数的二进制数用加权系数展开式表示，可写为：

（N）2＝an-1×2n-1+an-2×2n-2+……+a1×21+a0×20+a-1×2-1+a-2×2-2

+……+a-m×2-m＝

式中aj表示第j位的系数，它为0和1中的某一个数。

二进制数一般可写为：（an-1an-2…a1a0a-1a-2…a-m）2。

例1102将二进制数11101写成加权系数的形式。

解： （11101）2＝1×22+l×21+1×20+1×2-2

你知道十进制吧？每10个数进一位，二进制就是每2个数进一位，例如：

十进制的：1,2,3,4,5,6，分别对应二进制的：1,10,11,100,101,110

同理，十六进制是16个数进一位，需要用15个符号表示，分别是1~9,A~F，如0x0F

=

15D

=

1111B（0x是十六进制标志，D是十进制标志，B是二进制标志）

二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”。

二进制数（binaries）是逢2进位的进位制，0、1是基本算符；计算机运算基础采用二进制。电脑的基础是二进制。在早期设计的常用的进制主要是十进制（因为我们有十个手指，所以十进制是比较合理的选择，用手指可以表示十个数字，0的概念直到很久以后才出现，所以是1－10而不是0－9）。电子计算机出现以后，使用电子管来表示十种状态过于复杂，所以所有的电子计算机中只有两种基本的状态，开和关。也就是说，电子管的两种状态决定了以电子管为基础的电子计算机采用二进制来表示数字和数据。常用的进制还有8进制和16进制，在电脑科学中，经常会用到16进制，而十进制的使用非常少，这是因为16进制和二进制有天然的联系：4个二进制位可以表示从0到15的数字，这刚好是1个16进制位可以表示的数据，也就是说，将二进制转换成16进制只要每4位进行转换就可以了。

二进制的“00101000”直接可以转换成16进制的“28”。字节是电脑中的基本存储单位，根据计算机字长的不同，字具有不同的位数，现代电脑的字长一般是32位的，也就是说，一个字的位数是32。字节是8位的数据单元，一个字节可以表示0－255的十进制数据。对于32位字长的现代电脑，一个字等于4个字节，对于早期的16位的电脑，一个字等于2个字节。

电脑使用二进制是由它的实现机理决定的。我们可以这么理解：电脑的基层部件是由集成电路组成的，这些集成电路可以看成是一个个门电路组成，（当然事实上没有这么简单的）。

当计算机工作的时候，电路通电工作，于是每个输出端就有了电压。电压的高低通过模数转换即转换成了二进制：高电平是由1表示，低电平由0表示。也就是说将模拟电路转换成为数字电路。这里的高电平与低电平可以人为确定，一般地，25伏以下即为低电平，32伏以上为高电平

电子计算机能以极高速度进行信息处理和加工，包括数据处理和加工，而且有极大的信息存储能力。数据在计算机中以器件的物理状态表示，采用二进制数字系统，计算机处理所有的字符或符号也要用二进制编码来表示。用二进制的优点是容易表示，运算规则简单，节省设备。人们知道，具有两种稳定状态的元件（如晶体管的导通和截止，继电器的接通和断开，电脉冲电平的高低等）容易找到，而要找到具有10种稳定状态的元件来对应十进制的10个数就困难了

1）技术实现简单，计算机是由逻辑电路组成，逻辑电路通常只有两个状态，开关的接通与断开，这两种状态正好可以用“1”和“0”表示。 （2）简化运算规则：两个二进制数和、积运算组合各有三种，运算规则简单，有利于简化计算机内部结构，提高运算速度。 （3）适合逻辑运算：逻辑代数是逻辑运算的理论依据，二进制只有两个数码，正好与逻辑代数中的“真”和“假”相吻合。 （4）易于进行转换，二进制与十进制数易于互相转换。 （5）用二进制表示数据具有抗干扰能力强，可靠性高等优点。因为每位数据只有高低两个状态，当受到一定程度的干扰时，仍能可靠地分辨出它是高还是低。

进制的概念

1。 十进制

十进制使用十个数字（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）记数，基数为10，逢十进一。

历史上第一台电子数字计算机ENIAC是一台十进制机器，其数字以十进制表示，并以十进制形式运算。设计十进制机器比设计二进制机器复杂得多。而自然界具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关，电路的通和断，电压的高和低等，非常适合表示计算机中的数。设计过程简单，可靠性高。因此，现在改为二进制计算机。

2。 二进制

二进制以2为基数，只用0和1两个数字表示数，逢2进一。

二进制与遵循十进制数遵循一样的运算规则，但显得比十进制更简单。例如：

（1）加法：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0

（2）减法：0-0=0 1-1=0 1-0=1 0-1=1

（3）乘法：00=0 01=0 10=0 11=1

（4）除法：0/1=0 1/1=1，除数不能为0

二。进制转换

1。二进制与十进制数间的转换

（1）二进制转换为十进制

将每个二进制数按权展开后求和即可。请看例题：

把二进制数（101101）2=12^2+02^1+12^0+12^-1+02^-2+12^-3=（5625）10

（2）十进制转换为二进制

一般需要将十进制数的整数部分与小数部分分开处理。

整数部分计算方法：除2取余法 请看例题：

十进制数（53）10的二进制值为（110101）2

小数部分计算方法：乘2取整法，即每一步将十进制小数部分乘以2，所得积的小数点左边的数字（0或1）作为二进制表示法中的数字，第一次乘法所得的整数部分为最高位。请看例题：

将（05125）10转换成二进制。（05125）10=（0101）2