线性代数有什么用啊？

线性代数可非常有用。

如果你不学，估计你连为什么有这个用处都不知道。

线性代数在所有需要分析多维线性方程的场合都有很大应用。例如大规模模拟电路，在某个集合V上定义了加法和数乘运算，若他们满足一定规律则构成一个线性空间V。线性代数就是研究线性空间的结构。这种结构很普遍，比如线性方程组，常系数齐次线性微分方程，积分方程，坐标的平移、旋转和镜像对称，函数空间等等都具有这种结构。线性代数还研究两个线性空间V1到V2的映射，即所谓线性变换。通过线性代数，我们可以一举解决许多具有类似结构的数学问题，这正是数学抽象的魅力所在。

线性代数里面有一些基本概念和定理，非常重要。比如线性相关、线性无关、基、维数、正交、秩等等，这些概念反映了线性空间的本质特征。

线性代数有什么用？

线性代数有什么用？这是每一个圈养在象牙塔里，在灌输式教学模式下的“被学习”的学生刚刚开始思考时的第一个问题。我稍微仔细的整理了一下学习线代的理由，竟然也罗列了不少，不知道能不能说服你：

1、 如果你想顺利地拿到学位，线性代数的学分对你有帮助；

2、 如果你想继续深造，考研，必须学好线代。因为它是必考的数学科目，也是研究生科目《矩阵论》、《泛函分析》的基础。例如，泛函分析的起点就是无穷多个未知量的无穷多线性方程组理论。

3、 如果你想提高自己的科研能力，不被现代科技发展潮流所抛弃，也必须学好，因为瑞典的L戈丁说过，没有掌握线代的人简直就是文盲。他在自己的数学名著《数学概观》中说：

要是没有线性代数，任何数学和初等教程都讲不下去。按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的。它是第二代数学模型，其根源来自于欧几里得几何、解析几何以及线性方程组理论。…，如果不熟悉线性代数的概念，像线性性质、向量、线性空间、矩阵等等，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多，甚至可能学习社会科学也是如此。

4、 如果毕业后想找个好工作，也必须学好线代：

l 想搞数学，当个数学家（我靠，这个还需要列出来，谁不知道线代是数学）。恭喜你，你的职业未来将是最光明的。如果到美国打工的话你可以找到最好的职业（参考本节后附的一份小资料）。

l 想搞电子工程，好，电路分析、线性信号系统分析、数字滤波器分析设计等需要线代，因为线代就是研究线性网络的主要工具；进行IC集成电路设计时，对付数百万个集体管的仿真软件就需要依赖线性方程组的方法；想搞光电及射频工程，好，电磁场、光波导分析都是向量场的分析，比如光调制器分析研制需要张量矩阵，手机信号处理等等也离不开矩阵运算。

l 想搞软件工程，好，3D游戏的数学基础就是以图形的矩阵运算为基础；当然，如果你只想玩3D游戏可以不必掌握线代；想搞图像处理，大量的图像数据处理更离不开矩阵这个强大的工具，《阿凡达》中大量的后期电脑制作没有线代的数学工具简直难以想象。

l 想搞经济研究。好，知道列昂惕夫（Wassily Leontief）吗？哈佛大学教授，1949年用计算机计算出了由美国统计局的25万条经济数据所组成的42个未知数的42个方程的方程组，他打开了研究经济数学模型的新时代的大门。这些模型通常都是线性的，也就是说，它们是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫“投入-产出”模型。列昂惕夫因此获得了1973年的诺贝尔经济学奖。

l 相当领导，好，要会运筹学，运筹学的一个重要议题是线性规划。许多重要的管理决策是在线性规划模型的基础上做出的。线性规划的知识就是线代的知识啊。比如，航空运输业就使用线性规划来调度航班，监视飞行及机场的维护运作等；又如，你作为一个大商场的老板，线性规划可以帮助你合理的安排各种商品的进货，以达到最大利润。

l 对于其他工程领域，没有用不上线代的地方。如搞建筑工程，那么奥运场馆鸟巢的受力分析需要线代的工具；石油勘探，勘探设备获得的大量数据所满足的几千个方程组需要你的线代知识来解决；飞行器设计，就要研究飞机表面的气流的过程包含反复求解大型的线性方程组，在这个求解的过程中，有两个矩阵运算的技巧：对稀疏矩阵进行分块处理和进行LU分解； 作餐饮业，对于构造一份有营养的减肥食谱也需要解线性方程组；知道有限元方法吗？这个工程分析中十分有效的有限元方法，其基础就是求解线性方程组。知道马尔科夫链吗？这个 “链子”神通广大，在许多学科如生物学、商业、化学、工程学及物理学等领域中被用来做数学模型，实际上马尔科夫链是由一个随机变量矩阵所决定的一个概率向量序列，看看，矩阵、向量又出现了。

l 另外，矩阵的特征值和特征向量可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离散的动力系统中，甚至数学生态学家用以在预测原始森林遭到何种程度的砍伐会造成猫头鹰的种群灭亡；大名鼎鼎的最小二乘算法广泛应用在各个工程领域里被用来把实验中得到的大量测量数据来拟合到一个理想的直线或曲线上，最小二乘拟合算法实质就是超定线性方程组的求解；二次型常常出现在线性代数在工程（标准设计及优化）和信号处理（输出的噪声功率）的应用中，他们也常常出现在物理学（例如势能和动能）、微分几何（例如曲面的法曲率）、经济学（例如效用函数）和统计学（例如置信椭圆体）中，某些这类应用实例的数学背景很容易转化为对对称矩阵的研究。

嘿嘿（脸红），说实在的，我也没有足够经验讲清楚线代在各个工程领域中的应用，只能大概人云亦云地讲述以上线代的一些基本应用。

二次型的矩阵 A =

[ 1 1 0 -1]

[ 1 1 0 -1]

[ 0 0 1 1]

[-1 -1 1 1]

|λE - A| =

|λ-1 -1 0 1|

|-1 λ-1 0 1|

| 0 0 λ-1 -1|

| 1 1 -1 λ-1|

第 4 行 λ-1 倍加到第 3 行，得 |λE - A| =

|λ-1 -1 0 1|

|-1 λ-1 0 1|

| λ-1 λ-1 0 λ(λ-2)|

| 1 1 -1 λ-1|

得 |λE - A| =

|λ-1 -1 1|

|-1 λ-1 1|

| λ-1 λ-1 λ(λ-2)|

第 1 行 -1 倍加到第 2 行，得 |λE - A| =

|λ-1 -1 1|

| -λ λ 0|

| λ-1 λ-1 λ(λ-2)|

第 1 列 加到第 2 列，得 |λE - A| =

|λ-1 λ-2 1|

| -λ 0 0|

|λ-1 2λ-2 λ(λ-2)|

得 |λE - A| = λ

| λ-2 1|

| 2λ-2 λ(λ-2)|

得 |λE - A| = λ[λ(λ-2)^2-(2λ-2)] = λ(λ^3-4λ^2+2λ+2)

一个特征值为 0， 其它 3 个特征值不是有理数。

(a1,a2,a3,a4)=

2 3 1 4

1 -1 3 -3

3 2 4 1

-1 0 -2 1

r1+2r4,r2+r4,r3+3r4,r4(-1)

0 3 -3 6

0 -1 1 -2

0 2 -2 4

1 0 2 -1

r1+3r2,r3+2r2,r2(-1)

0 0 0 0

0 1 -1 2

0 0 0 0

1 0 2 -1

交换行

1 0 2 -1

0 1 -1 2

0 0 0 0

0 0 0 0

a1,a2 是一个极大无关组, a3 = 2a1-a2, a4 = -a1+2a2