热传导方程式的扩散方程

在粒子扩散的模性中，我们考虑的方程涉及

在大量粒子集体扩散的情况：粒子的体积浓度，记作c。 或者

在单一粒子的情况：单一粒子对位置的机率密度函数，记作P。 不同情况下的方程式：

或者

c与P都是位置与时间的函数。D是扩散系数，它控制扩散速度，通常以米/秒为单位。

如果扩散系数D依赖于浓度c（或第二种情况下的机率密度P），则我们得到非线性扩散方程。

单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动。

如果一个粒子在时间t= 0 时置于 ，则相应的机率密度函数具有以下形式：

它与机率密度函数的各分量Rx,RyandRz的关系是：

随机变量Rx,Ry,Rz服从平均数为 0、变异数为 的正态分布。在三维的情形，随机向量 服从平均数为 、变异数为 的正态分布。

在t=0时，上述 的表示式带有奇点。对应于粒子处在原点之初始条件，其机率密度函数是在原点的狄拉克δ函数，记为 （三维的推广是 ）；扩散方程对此初始值的解也称作格林函数。

格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解（数学家称之为扩散方程的基本解）。当粒子初始位置在原点 时，相应的格林函数记作 （t>0）；根据扩散方程对平移的对称性，对一般的已知初始位置，相应的格林函数是 。

对于一般的初始条件，扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函数的叠加。

举例来说，设t=0时有一大群粒子，根据浓度分布的初始值 分布于空间中。扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何随时间演化。

跟任何（广义）函数一样，浓度分布的初始值可以透过积分表为狄拉克δ函数的叠加：

扩散方程是线性的，因此在之后的任一时刻t，浓度分布变为：

在粒子扩散的情形，我们可以将狄拉克δ函数对应的初始条件理解为粒子落在一个已知位置。一般而言，任何扩散过程的解都有这种表法，包括热传导或动量的扩散；后者关系到流体的黏性现象。

一维格林函数解列表以下以简写 BC 代表边界条件，IC 代表初始条件。

<IMG class=tex alt=\begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & -\infty<x<\infty,\,0<t

<IMG class=tex alt=\begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & \, 0\le x<\infty, \, 0<t

上面采用的方法可以推广到许多不同方程。想法是：在适当的函数空间上，算子 可以用它的特征向量表示。这就自然地导向线性自伴算子的谱理论。

考虑线性算子Δu=ux x，以下函数序列

（n≥ 1）是 Δ 的特征向量。诚然：

此外，任何满足边界条件f(0)=f(L)=0 的 Δ 的特征向量都是某个en。令 L(0,L) 表 [0,L] 上全体平方可积函数的向量空间。这些函数en构成 L(0,L) 的一组正交基底。更明白地说：

最后，序列 {en}n∈N张出 L(0,L) 的一个稠密的线性子空间。这就表明我们实际上已将算子 Δ对角化。

一维热传导方程求解方程式

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用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散点(称为节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温度分布，将连续温度分布函数的求解问题转化为各节点温度值的求解问题，将导热微分方程的求解问题转化为节点温度代数方程的求解问题。

数值解法求解导热问题的基本步骤：11)对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的合理的简化，建立符合实际的物理模型；12)根据物理模型建立完整的数学模型，即给出导热微分方程(即导热控制方程)和单值性条件；13)求解域离散化：将导热问题所涉及的空间和时间区域按一定的要求划分成有限个子区域，将子区域的顶点作为需要确定其温度值的空间点或时间点(即节点)，每个节点就代表以它为中心的子区域，节点温度就代表子区域的温度；14)建立节点温度代数方程组；15)求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温度值；16)对计算结果进行分析，若计算结果不符合实际情况，则检查上述计算步骤，修正不合理之处，重复进行计算，直到结果满意为止。

热方程在许多现象的数学模型中出现，而且常在金融数学中作为期权的模型出现。著名的布莱克-斯科尔斯模型中的差分方程可以转成热方程，并从此导出较简单的解。许多简单期权的延伸模型没有解析解，因此必须以数值方法计算模型给出的定价。热方程可以用 Crank-Nicolson 法有效地求数值解，此方法也可用于许多无解析解的模型（详见文献 Wilmott，1995）。

热方程在流形上的推广是处理阿蒂亚-辛格指标定理的主要工具之一，由此也导向热方程在黎曼几何中的许多深入应用。

求出热传导方程的解之后热导率公式(thermal conductivity）：k = (Q/t) L/(AT）

k：热导率、Q：热量、 t：时间、L：长度、A：面积、T：温度差在SI单位。热导率的单位是 W/(mK)，在英制单位是Btu_ft/h_ft。

热导率，又称“导热系数”。[1]是物质导热能力的量度。符号为λ或K。

英文：coefficient of thermal conductivity是指当温度垂直向下梯度为1℃/m时，单位时间内通过单位水平截面积所传递的热量。其具体定义为：在物体内部垂直于导热方向取两个相距1米，面积为1平方米的平行平面，若两个平面的温度相差1K，则在1秒内从一个平面传导至另一个平面的热量就规定为该物质的热导率，其单位为瓦特·米-1·开-1（W·m-1·K-1）。如没有热能损失，对于一个对边平行的块形材料，则有

一般而言，热传导的研究奠基于以下几个原理。首先注意到热流是能量流的一种形式，因此可以谈论单位时间内流进空间中一块区域的热量。

单位时间内流入区域V的热量由一个依赖于时间的量qt(V) 给出。假设q有个密度Q(t,x)，于是 热流是个依赖于时间的向量函数H(x)，其刻划如下：单位时间内流经一个面积为dS而单位法向量为n的无穷小曲面元素的热量是 因此单位时间内进入V的热流量也由以下的面积分给出

其中n(x) 是在x点的向外单位法向量。

热传导定律说明温度对时间的梯度满足以下线性关系 其中A(x) 是个 3 × 3 实对称正定矩阵。 利用格林定理可将之前的面积分转成一个体积分

温度在x点对时间的改变率与流进无穷小体积元素的热量成比例，此比例常数与时间无关，而可能与空间有关，写作 κ (x)。 将以上所有等式合并，便获得支配热流的一般公式。

注记：

系数 κ(x) 是该材料在x点的比热×密度。 在等方向性介质的情况，矩阵A只是个标量，等于材料的导热率。 在非等向的情况，A不一定是标量，我们鲜少能明确写出热方程的解。然而通常可考虑相应的抽象柯西问题，证明它是适定的，并（或）导出若干定性结果（诸如初始值保持正性、无穷传播速度、收敛至平衡态或一些平滑化性质）。这些论证通常有赖于单参数半群理论：举例来说，如果A是个对称矩阵，那么由 定义的椭圆算子是自伴而且耗散的，因此由谱定理导出它生成一个单参数半群。