鸡兔同笼

假设法和设元列方程的方法较常见常见

而且个中不同设法还有很多种不同的变化

现在来说说图解法和公式法

英国数学教育家贝克浩斯（Backhousl）在研究“问题解决”时首先提到的是中国古算题，其中包括鸡兔同笼问题、100个和尚买100个馒头问题等。解这些问题需要想象，解者在其情景中有明确的且力所能及的目的，但缺少现成的方法达到此目的，因此常常作为夜航船中或纳凉赏月时的一种试智比知式考问的备办学问，一代一代传下来，还传到世界各地，鸡兔问题传到日本叫龟鹤问题。明代作家张岱曾说：“天下学问，惟夜航船中最难对付”。又到纳凉的季节，老公公们要用这些问题来试试儿孙辈的学问怎样？有位小朋友听了老公公提出的问题，觉得难度不大，便满怀信心地对老公公说：慢点，让我打开灯，拿纸和笔。老公公讲不用笔就不可以算吗？这一下，许多小朋友都被难住了。显然老公公解这些难题的技巧肯定不同凡响，那么老公公是怎样解这些问题的呢？我们先举个例子说说。

一、鸡兔同笼问题

例1 笼中有若干只鸡和兔，它们共有50个头和140只脚，问鸡兔各有多少只？

解法2 图形法

图形见

http://forumcnoolnet/topic_showjspid=3441350&thesisid=407&flag=topic1

从图中看ACDF的面积＝4×50＝200（只脚）， 比实际多出 GHEF的面积＝200-140＝60（只脚）， AB=GH=60÷2=30（只鸡）， BC=AC-AB=50-30＝20（只兔）

解法2比解法1高级，算理是一样的。这里答案是图上算出的，显然这两种解法都要用纸和笔。不用纸和笔肯定是用口诀或易记的公式，这是老公公的传家宝。

解法3 公式法

老公公讲：只要用哨子一吹，并喊一声口令：“全体肃立”。这时每只鸡呈金鸡独立之状，每只兔呈玉兔拜月状，着地的脚数之和有（140÷2＝）70（只），其中鸡的头数与脚数相等，由于每只兔的脚比头数多1，因此兔的头数为（70－50＝）20（个），即兔有20只，则鸡有（50－20＝）30（只）。这个故事实际上老公公用了如下的公式。

脚数和÷2-头数和=兔子数。

小孙子们听了兴趣为之大增，纷纷叫老公公再出几道题。老公公又出了

（1）30个头，80只脚……。（兔10，鸡20）。

（2）100只脚，40个头……。（兔10，鸡30）。

（3）80个头，200只脚……。（兔20，鸡60）

小孙子们个个都愉快地答出来了。

这个公式简洁好用，它是祖代传下来的还是老公公想出来的呢？我们中华文化博大精深，这两种可能性都是有的。这个公式是碰巧做对还是符合算理的呢？这是十分重要的。数学家高斯说过：“数学中许多方法与定理是靠归纳发现的，证明只是补行的手续而已。”现在我们就来补行这个手续。

2鸡头=鸡脚。

4兔头=兔脚。

得：兔脚+鸡脚=2鸡头+4兔头

=2（鸡头+2兔头）。

这就证明了老公公归纳的公式。

说到鸡兔同笼问题，常常大家精神就紧张起来，以为是难题来了。现在掌握了规律其实不难，所以凡事都应去摸索规律，照规律办事。

鸡兔同笼问题在民间是当故事讲的，有没有实际价值呢？

或者解答思路是这样的：

假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12（只）。显然，鸡的只数就是35－12＝23（只）了。

这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。

《孙子算经》上的解法很巧妙，它是按公式：兔数 足数－头数来算的，具体计算是这样的：兔数 （只），鸡数＝头数－免数＝35－12＝23，并且书中还给出了公式的来历：把足数除以2以后，每只鸡只剩下一足，每只兔剩下两足了，减去头数，就相当于每只鸡兔再减去一只，鸡足减完了，剩下的每只兔只有一足了，此时所剩足数恰好等于兔子头数

鸡兔同笼的公式：

解法1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）

=鸡的只数

总只数－鸡的只数=兔的只数

解法2：（ 总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）

=兔的只数

总只数－兔的只数=鸡的只数

用假设法。

举个例子，鸡兔同笼，有17个头，42条腿，问鸡和兔分别有多少只？

假设全部都是鸡。那么脚就一共有2×17=34（条）

再算出本来的腿数，与现在算出来全是鸡的腿数的相差数，就是42-34=8（条）

这8条腿是属于被算成是两条腿的兔子，少的那几条腿。

最后用8÷（4-2）=4（只）这是算出兔子有多少的 再减一减，就算出了鸡。

所以，求鸡兔同笼问题的公式如下

2×总只数（代号为A） 总腿数-A（代号为B）

B÷（4-2）算出兔子有多少只

总只数-兔子只数=鸡的只数

不管你听没听懂，记住上面的公式，鸡兔同笼问题就很简单了

希望对你有帮助！

历史

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鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。 [1]  大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：

今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

这四句话的意思是：

有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。问笼中各有多少只鸡和兔？

算这个有个最简单的算法。

（总脚数-总头数×鸡的脚数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数

（94－35×2）÷2=12(兔子数) 总头数（35）－兔子数（12）=鸡数（23）

解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了总头数×2只，由于鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再÷2就是兔子数。

方法

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假设法

假设全是鸡：2×35=70（只）

鸡脚比总脚数少：94－70=24 （只）

兔子比鸡多的脚数：4-2=2（只）

兔子的只数：24÷2=12 （只）

鸡的只数：35－12=23（只）

假设全是兔子：4×35=140（只）

兔子脚比总数多：140-94=46（只）

兔子比鸡多的脚数：4-2=2（只）

鸡的只数：46÷2=23（只）

兔子的只数：35-23=12（只）

方程法

一元一次方程

解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。

解得

鸡：35-12=23(只）

解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。

解得

兔：35-23=12(只）

答：兔子有12只，鸡有23只。

注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。

二元一次方程组

解：设鸡有x只，兔有y只。

解得

答：兔子有12只，鸡有23只。

抬腿法

方法一

假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94÷2=47（只）脚。笼子里的兔就比鸡的脚数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。

方法二

假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×2=24只脚 ， 这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔子，就有35－12=23只鸡。

方法三

我们可以先让兔子都抬起2只脚，那么就有35×2=70只脚，脚数和原来差94-70=24只脚，这些都是每只兔子抬起2只脚，一共抬起24只脚，用24÷2得到兔子有12只，用35-12得到鸡有23只。

列表法

腿数

   

鸡（只数）

   

兔（只数）

   

88

   

26

   

9

   

90

   

25

   

10

   

92

   

24

   

11

   

94

   

23

   

12

   

公式

公式1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数

总只数－鸡的只数=兔的只数

公式2：（ 总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数

总只数－兔的只数=鸡的只数

公式3：总脚数÷2—总头数=兔的只数

总只数—兔的只数=鸡的只数

公式4：兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2 鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数

公式5：鸡的只数=(4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2 兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数

公式6 ：4×+2（总数－x）=总脚数 （x=兔，总数－x=鸡数，用于方程）

解题思路

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理解

中国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公元5世纪。这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题：

今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

题目中给出雉兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的 鸡。鸡兔总的脚数是35×2=70（只），比题中所说的94只要少94-70=24（只）。

松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2，2……，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：24÷2=12（只），从而鸡有35-12=23（只）。

我们来总结一下这道题的解题思路：如果先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地，也可以假设全是兔子。

思路

"鸡兔同笼"是一类有名的中国古算题。最早出现于《孙子算经》中。许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--"假设法"来求解。因此很有必要学会它的解法和思路。

例1： 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只

解：我们设想，每只鸡都是"金鸡独立"，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着，地面上出现脚的总数的一半，·也就是

244÷2=122（只）

在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数

122-88=34（只），

有34只兔子，当然鸡就有54只。

答：有兔子34只,鸡54只。

上面的计算，可以归结为下面算式：

总脚数÷2-总头数=兔子数 总头数-兔子数=鸡数

上面的解法是《孙子算经》中记载的。做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍可是，当其他问题转化成这类问题时，"脚数"就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通。因此，我们对这类问题给出一种一般解法

还说例1

如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了

88×4-244=108（只）

每只鸡比兔子少(4-2)只脚，所以共有鸡

(88×4-244)÷(4-2)= 54（只）

说明我们设想的88只"兔子"中，有54只不是兔子。而是鸡因此可以列出公式

鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）

当然，我们也可以设想88只都是"鸡"，那么共有脚2×88=176（只），比244只脚少了

244-176=68（只）

每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚，

68÷2=34（只）

说明设想中的"鸡",有34只是兔子，也可以列出公式

兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）

上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。

假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为"假设法"

拿一个具体问题来试试上面的公式。

例2 红铅笔每支019元，蓝铅笔每支011元，两种铅笔共买了16支，花了280元。问红，蓝铅笔各买几支？

解：以"分"作为钱的单位我们设想，一种"鸡"有11只脚，一种"兔子"有19只脚，它们共有16个头，280只脚。

已经把买铅笔问题，转化成"鸡兔同笼"问题了利用上面算兔数公式，就有

蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11)

=24÷8

=3（支）

红笔数=16-3=13（支）

答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。

对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性例2中的"脚数"19与11之和是30我们也可以设想16只中，8只是"兔子",8只是"鸡",根据这一设想，脚数是

8×(11+19)=240（支）。

比280少40

40÷(19-11)=5（支）。

就知道设想中的8只"鸡"应少5只，也就是"鸡"(蓝铅笔）数是3

30×8比19×16或11×16要容易计算些。利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算

实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例如，设想16只中，"兔数"为10,"鸡数"为6，就有脚数

19×10+11×6=256

比280少24

24÷(19-11)=3,

就知道设想6只"鸡",要少3只。

要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领

例题

例3 一份稿件，甲单独打字需6小时完成乙单独打字需10小时完成，甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。甲打字用了多少小时？

解：我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）

把甲打字的时间看成"兔"头数，乙打字的时间看成"鸡"头数，总头数是7"兔"的脚数是5,"鸡"的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了。

根据前面的公式

"兔"数=(30-3×7)÷(5-3)

=45,

"鸡"数=7-45

=25

也就是甲打字用了45小时，乙打字用了25小时。

答：甲打字用了4小时30分

例4 1998年时，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后(2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？

解：4年后，两人年龄和都要加8此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86。我们可以把兄的年龄看作"鸡"头数，弟的年龄看作"兔"头数。25是"总头数"，86是"总脚数"。根据公式，兄的年龄是

(25×4-86)÷(4-3)=14（岁）

1998年，兄年龄是

14-4=10（岁）

父年龄是

(25-14)×4+4=40（岁）

因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是

(40-10)÷(3-1)=15（岁）

这是2003年。

答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍

例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀每种小虫各几只？

解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成"8条腿"与"6条腿"两种。利用公式就可以算出8条腿的

蜘蛛数=(118-6×18)÷(8-6)

=5（只）

因此就知道6条腿的小虫共

18-5=13（只）

也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。再利用一次公式

蝉数=(13×2-20)÷(2-1)=6（只）

因此蜻蜓数是13-6=7（只）

答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。

例6 某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？

解：对2道，3道，4道题的人共有

52-7-6=39（人）

他们共做对

181-1×7-5×6=144（道）

由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对25道题的人（(2+3)÷2=25)这样

兔脚数=4，鸡脚数=25,

总脚数=144，总头数=39

对4道题的有

(144-25×39)÷(4-25)=31（人）

答：做对4道题的有31人。

以例1为例 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？

以简单的X方程计算的话，我们一般用设大数为X，那么也就是设兔为X，那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数，即（88-X）只。

解：设兔为X只。则鸡为（88-X）只。

4X+2×（88-X）=244

上列的方程解释为：兔子的脚数加上鸡的脚数，就是共有的脚数。4X就是兔子的脚数，2×（88-X）就是鸡的脚数。

4X+2×88-2X=244

2X+176=244

2X+176-176=244-176

2X=68

2X÷2=68÷2

X=34

即兔子为34只，总数是88只，则鸡：88-34=54只。

答：兔子有34只，鸡有54只。

1 孙子算经 鸡兔同笼古文,译文

《孙子算经》

约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不清楚。现在传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成“鹤龟算”。

书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？ 具有重大意义的是卷下第26题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：『二十三』”。

2 一个古代算术故事

一般人都知道我国有著名的《孙子兵法》，但不知道我国还有一部伟大的算术著作《孙子算经》在我国古代数学名著《九章算术》《孙子算经》书中都记载有一个著名的算术故事，就是流传广泛的“鸡兔同笼”，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成“鹤龟算”书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚求笼中各有几只鸡和兔？正确答案是：鸡12 兔23（现在看来解法有多种啊！但那时是古代没有现代数学的计算方法）。

3 鸡兔同笼算法

鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解 鸡兔问题公式 （1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少： （总脚数-每只鸡的脚数总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数。

或者是（每只兔脚数总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。 例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？” 解一 （100-236）÷（4-2）=14（只）………兔； 36-14=22（只）……………………………鸡。

解二 （436-100）÷（4-2）=22（只）………鸡； 36-22=14（只）…………………………兔。 （答 略） （2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式 （每只鸡脚数总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数 或（每只兔脚数总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。

（例略） （3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。 （每只鸡的脚数总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数。

或（每只兔的脚数总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。（例略） （4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式： （1只合格品得分数产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。

或者是总产品数-（每只不合格品扣分数总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。 例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。

每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？” 解一 （41000-3525）÷（4+15） =475÷19=25（个） 解二 1000-(151000+3525)÷（4+15） =1000-18525÷19 =1000-975=25（个）（答略） （“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本元……。

它的解法显然可套用上述公式。） （5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式： 〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数； 〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。

例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只。鸡兔各是多少只？” 解 〔（52+44）÷（4+2）+(52-44)÷（4-2）〕÷2 =20÷2=10（只）……………………………鸡 〔（52+44）÷（4+2）-(52-44)÷（4-2）〕÷2 =12÷2=6（只）…………………………兔（答略） 鸡兔同笼 目录 1总述 2假设法 3方程法 一元一次方程 二元一次方程 4抬腿法 5列表法 6详解 7详细解法 基本问题特殊算法习题 8鸡兔同笼公式 1总述 鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。

大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。

问笼中各有几只鸡和兔？ 算这个有个最简单的算法。 （总脚数-总头数鸡的脚数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数 （94-352）÷2=12（兔子数） 总头数（35）-兔子数（12）=鸡数（23） 解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数2只，由于鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以2就是兔子数。

虽然现实中没人鸡兔同笼。 2假设法 假设全是鸡：235=70（只） 鸡脚比总脚数少：94-70=24 （只） 兔：24÷（4-2）=12 （只） 鸡：35-12=23（只） 假设法（通俗） 假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚： 94-35=59（只） 然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24（只） 兔：24÷2=12（只） 鸡：35-12=23（只） 3方程法 一元一次方程 解：设兔有x只，则鸡有（35-x）只。

4x+2(35-x)=94 4x+70-2x=94 2x=94-70 2x=24 x=24÷2 x=12 35-12=23（只） 或解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。 2x+4(35-x)=94 2x+140-4x=94 2x=46 x=23 35-23=12（只） 答：兔子有12只，鸡有23只。

注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。 二元一次方程 解：设鸡有x只，兔有y只。

x+y=35 2x+4y=94 (x+y=35)2=2x+2y=70 (2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24) y=12 把y=12代入（x+y=35） x+12=35 x=35-12（只） x=23（只）。 答：兔子有12只，鸡有23只 4抬腿法 法一 假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94除以2=47只脚。

笼子里的兔就比鸡的头数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。 法二 假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94-352=24只脚，这时鸡是 坐在地。

二、想一想，填一填。

1、有鸡和兔共8只，有22只脚，鸡（ ）只，兔（ ）只。

2、芳芳家有羊和鸭若干只，从上面数有10个头，从下面数有28只

脚，羊有（ ）只，鸭有（ ）只。

3、停车场有三轮车和小轿车共7辆，总共有25个轮子。三轮车有

（ ）辆，小轿车有（ ）辆。

4、2元和5元的人民币共9张，合计33元。2元有（ ）张，5元有（ ）张。

5、一个长方形的长比宽长2cm，周长是20cm，则长方形的长为

（ ）cm，宽为（ ）cm，它的面积是（ ）cm2。

三、对号入座。

1、钢笔每支12元，圆珠笔每支7元，共买了6支，用了52元，钢笔买了（ ）支。

A、5 B、4 C、3 D、2

2、篮球比赛中,3分线外投中一球得3分,3分线内投中一球得2分在一场比赛中,王强总共投中9个球,得了20分,他投中( )个2分球。

A、2 B、4 C、5 D、7

3、妈妈买黄瓜和西红柿共6千克，花了10元钱。已知黄瓜每千克14元，西红柿每千克22元，妈妈买了（ ）千克黄瓜。

A、1 B、2 C、3 D、4

4、28名师生去公园划船，恰好坐满了大、小船共5只。大船每只坐6人，小船每只坐4人，租了（ ）只小船。

A、1 B、2 C、3 D、4

5、数学竞赛共20道选择题，答对1题得5分，答错或不答倒扣1分。

小王同学在竞赛中得了82分，他答对（ ）道题。

A、3 B、10 C、17 D、18

四、用简便方法计算。

711 ＋ 59 ＋ 49 ＋ 411 20 － 45 － 56 215 ×3＋1315 ÷13

34 × 78 ÷ 075 （25 －38 ）×40 27 － 916 × 27

五、按要求完成下面各题。

1、鸡兔同笼,有25个头,80条腿,鸡、兔各有多少只？（请你用假设法解答）

2、新年活动要挂彩汽球。六（1）班有13人参加了吹汽球小组。男同学每人吹8个，女同学每人吹7个，一共吹好100个汽球。

请你用列表法计算出男同学、女同学各多少人？

男同学(人)

女同学

(人)

气球(个)

3、体育课上，跳绳的每5人一组，扔沙包的每3人一组，共有42名学生参加活动。参加跳绳和扔沙包的各有多少人？

(请你用列方程的方法来解答)

4、综合知识抢答赛，答对一题加10分，答错1题扣4分。

①A学生共抢答了10道题，最后得分72分，他答对几道题？

②B学生共抢答了12道题，最后得分22分，他答错几道题？

※ 六、智慧屋。

搬运1000只玻璃瓶,规定搬一只可得搬运费3角,但打碎一只要赔5角如果运完以后共得到运费260元，问搬运中打碎了多少只玻璃瓶？

鸡兔同笼问题

例1 （古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

分析 如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。

解：①鸡有多少只？

（4×46-128）÷（4-2）

=（184-128）÷2

=56÷2

=28（只）

②免有多少只？

46-28=18（只）

答：鸡有28只，免有18只。

我们来总结一下这道题的解题思路：先假设它们全是兔于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看相差多少每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只鸡我们称这种解题方法为假设法概括起来，解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

鸡数=（每只兔脚数× 兔总数- 实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

兔数=鸡兔总数-鸡数

当然，也可以先假设全是鸡。

例2 鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

分析 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差这又如何解答呢？

假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）有鸡（100-20）=80（只）。

解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。

100-20=80（只）。

答：鸡与兔分别有80只和20只。

例3 红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三个班各有多少人？

分析1 我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班有多少人就很容易了由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多来分析求解。

结合下图可以想，假设二班、三班人数和一班人数相同，以一班为标准，则二班人数要比实际人数少5人三班人数要比实际人数多7-5=2（人）那么，请你算一算，假设二班、三班人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是多少？

解法1：

一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3

=44（人）

二班：44+5=49（人）

三班：49-7=42（人）

答：三年级一班、 二班、三班分别有44人、 49人和 42人。

分析2 假设一、三班人数和二班人数同样多，那么，一班人数比实际要多5人，而三班要比实际人数多7人这时的总人数又该是多少？

解法2：（135+ 5+ 7）÷3

=147÷3

=49（人）

49-5=44（人），49-7=42（人）

答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。

想一想：根据解法1、解法2的思路，还可以怎样假设？怎样求解？

例4 刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？

分析 我们分步来考虑：

①假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐 6×10= 60（人）。

②假设后的总人数比实际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。

③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。

解：[6×10-(41+1）÷（6-4）

= 18÷2=9（条）

10-9=1（条）

答：有9条小船，1条大船。

例5 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？

分析 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为 6×18=108（条），所差 118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少 20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）

解：①假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有多少条腿？

6×18=108（条）

②有蜘蛛多少只？

（118-108）÷（8-6）=5（只）

③蜻蜒、蝉共有多少只？

18-5=13（只）

④假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13（对）

⑤蜻蜒多少只？

（20-13）÷ 2-1）= 7（只）

答：蜻蜒有7只

鸡兔同笼

一、基本问题

“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题最早出现在《孙子算经》中许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--“假设法”来求解因此很有必要学会它的解法和思路

例1 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？

解：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着现在，地面上出现脚的总数的一半，·也就是

244÷2=122（只）

在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数

122-88=34，

有34只兔子当然鸡就有54只

答：有兔子34只，鸡54只

上面的计算，可以归结为下面算式：

总脚数÷2-总头数=兔子数

上面的解法是《孙子算经》中记载的做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通因此，我们对这类问题给出一种一般解法

还说例1

如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了

88×4-244=108（只）

每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡

（88×4-244）÷（4-2）= 54（只）

说明我们设想的88只“兔子”中，有54只不是兔子而是鸡因此可以列出公式

鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）

当然，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚2×88=176（只），比244只脚少了

244-176=68（只）

每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，

68÷2=34（只）

说明设想中的“鸡”，有34只是兔子，也可以列出公式

兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）

上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数

假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”

现在，拿一个具体问题来试试上面的公式

例2 红铅笔每支019元，蓝铅笔每支011元，两种铅笔共买了16支，花了280元问红、蓝铅笔各买几支？

解：以“分”作为钱的单位我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“兔子”有19只脚，它们共有16个头，280只脚

现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了利用上面算兔数公式，就有

蓝笔数=（19×16-280）÷（19-11）

=24÷8

=3（支）

红笔数=16-3=13（支）

答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔

对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性例2中的“脚数”19与11之和是30我们也可以设想16只中，8只是“兔子”，8只是“鸡”，根据这一设想，脚数是

8×（11+19）=240

比280少40

40÷（19-11）=5

就知道设想中的8只“鸡”应少5只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是3

30×8比19×16或11×16要容易计算些利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算

实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数例如，设想16只中，“兔数”为10，“鸡数”为6，就有脚数

19×10+11×6=256

比280少24

24÷（19-11）=3，

就知道设想6只“鸡”，要少3只

要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领

下面再举四个稍有难度的例子

例3 一份稿件，甲单独打字需6小时完成乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时甲打字用了多少小时？

解：我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）

现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是7“兔”的脚数是5，“鸡”的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了

根据前面的公式

“兔”数=（30-3×7）÷（5-3）

=45，

“鸡”数=7-45

=25，

也就是甲打字用了45小时，乙打字用了25小时

答：甲打字用了4小时30分

例4 今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？

解：4年后，两人年龄和都要加8此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数25是“总头数”86是“总脚数”根据公式，兄的年龄是

（25×4-86）÷（4-3）=14（岁）

1998年，兄年龄是

14-4=10（岁）

父年龄是

（25-14）×4-4=40（岁）

因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是

（40-10）÷（3-1）=15（岁）

这是2003年

答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍

以上我是很认真的,楼主记得选我啊!