小学数学在训练倒推法中如何培养学生的推理能力的案例？

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本文作者

宋少卫，青少年学习心理专家，清华大学心理学系学习科学实验室执行主任。

案例背景

在高三总复习阶段的一次统练中，鹏飞的物理卷子最后两道十几分的大题一个字都没有写。班主任问他原因，他说完全不会做。

这次考试严重打击了鹏飞的自信心，甚至让他产生了厌学心理，不想上物理课了。后来，经班主任介绍，鹏飞来到了我的工作室寻求帮助。

初诊接待

由于鹏飞的治疗目的和切入点都十分明确，我们彼此简单介绍后，便直奔主题。

鹏飞拿出这次的物理试卷，让我参考。 从整份卷子来看， 除了那两道空白题之外，其他题目的正确率还是比较高的。 我 先安抚了鹏飞的情绪，引导他用成长型思维来应对眼前的失败，“现在出现的所有问题都是来帮助我们更好地应对高考的！ ”希望他能够更加积极地看待这次考试。

接着，我和鹏飞一起回忆当时进行物理考试的过程。

图源：pexls

“前面的题我做得很顺利，本来越做越放松，还预感这次一定能考个不错的分数，甚至还稍稍走神，畅想了一下高考，觉得高考物理应该蛮有把握的。”

鹏飞低头看着左前方的桌面，回忆道。

“张小易跟我是邻桌，他是物理尖子。考试时他做得比我快一些。当他翻到背面大题时，我听到他叹了口气，当时心里就想大题估计很难。后来，等我做到这部分时，发现果然超级难，题都有点看不懂，脑子一下就懵了。”

“嗯。”我点点头，鼓励他继续说下去。

“我试着做了一下第一道大题，完全找不到思路，浪费了差不多有十多分钟吧，然后我决定放弃这道题，赶紧做下一道，结果也是不会。”鹏飞皱着眉说。

“鹏飞，你还记得做到后面大题的时候还剩多少时间吗？”

“差不多40分钟吧。”

“那这40分钟你都做了哪些努力呢？”

“就是在草稿纸上试着做题，我知道可能做不出来，所以没在试卷上写，先写在了草稿纸上。”

“怪不得试卷上是空白的，你尝试解题的过程都在草稿纸上？”

“是的。”

初步分析

鹏飞的物理基础问题不大。我猜他是被这两道看上去不知从何下手的题目吓住了。在紧张的考试中，有的同学把题读了一遍却理不出头绪，就迅速断定这道题目太难，自己做不出来，困在畏难情绪里。这种负面思维恰恰又会阻碍他们进一步正常思考，导致本来有机会解出的题目也轻易放弃。

当然，鹏飞在做这两道大题时没有思路，有很大可能是面对复杂难题时，对已知信息推理加工的能力不足。但就鹏飞的回忆和表述来看，他在价值决策上出现的问题也造成了很大的影响。由于当时畏难和不自信的情绪没有得到及时地调整，鹏飞在进行逻辑推理时受阻很大。同时，鹏飞演算的过程都写在了草稿纸上，导致卷面完全空白，解题的过程得分点一分也拿不到，这也体现出他应试策略上的不足。

图源：pexls

治疗过程

为了帮助鹏飞建立在面对难题时建构逻辑通道的意识和韧性，我决定在鹏飞的兴趣点上找个切入点，一起体验一番。

“鹏飞，我们先放下试卷，聊聊天吧。平时你有什么兴趣爱好呢？”

“嗯，我喜欢听歌、看**。”

“好啊，说说看，哪些**是你最喜欢的？”我也很喜欢**，而且**承载力巨大，可以是一个好的切入点。

“科幻类的吧！比如《哈利波特》系列，每一部**我都超喜欢，有几部反复看了好几次！”聊起喜欢的**，鹏飞皱着的眉头暂时舒展开来，眼睛也跟着亮了起来。

“在魔法世界里，你最喜欢哪个角色呢？”我接着追问道。

“里面好多角色我都很喜欢，比如哈利、斯内普教授、小天狼星。”

《哈利波特与魔法石》**海报

和鹏飞聊了几句**的情节，看到他的积极性已经被充分调动起来，我决定就在《哈利波特》中寻找一个合适的例子。

“霍格沃兹里发生了很多精彩的故事，比如《哈利波特与魔法石》里，斯内普教授的那堂魔法药水课就令我印象很深，你还记不记得这道药水的谜题？”我把从手机上搜到的这道题目的文字和，拿给鹏飞看。

“当然记得！但是当时看书时还真没有仔细地推敲。”鹏飞显得有些跃跃欲试，对着题目仔细地阅读起来。

中的桌子上有一排七个药水瓶，边上放着一纸卷轴，卷轴里写着有关这排药水的谜题：

危险在眼前，安全在后方

我们中间有两个是你的助手

把它们喝下去，一个引领你向前，另一个把你送回原来的地方

两个里面装的是荨麻酒

三瓶是毒药，他们是杀手，正排着队等候

选择吧！除非你希望就此耽搁：

第一，无论毒药怎样狡猾，其实他们都站在荨麻酒的左方；

第二，左右两端的瓶里的药水不同，如果你想前进，它们都不会对你产生作用；

第三，你会发现瓶子大小各不相等，在巨人和侏儒里面没有藏着死神；

第四，左边第二和右边第二，虽然模样不同，味道却是一样。

“那我们一起来推导一下，这七个瓶子里装的都是什么。鹏飞你现在有什么思路呢？”我趁热打铁道。

“宋老师，您就直接告诉我推理的方法吧！”鹏飞着急地说。

我笑了笑，看到鹏飞的积极性很高，显然领会到了我给他出这道题的用

意，于是引导说：“那我们就简单地分两步走，第一步把这七个瓶子从左至右依次标号①到⑦，第二步找寻已知之间的联系一步步向下推导。”

鹏飞边听着我的话，边在白纸上迅速地誊写推导起来。鹏飞每进行一步正确的推理，我都会在一旁微微点头或用眼神、话语表示肯定。这道题的背景信息较多，但条件之间的关系真正推导起来并不复杂，没几分钟，鹏飞就完成了这道趣味推理：

“Perfect!”鹏飞露出胜利的微笑，“这道题比起高中物理来说简单多了，一步步推就行嘛。”

“是吧，从已知条件到求解目标，原本是一个暗黑通道，但是只要我们梳理已知条件，找到关联性，并分步递进推理，就一定可以找到那条正确有效的逻辑通道。你说，一道复杂的物理题，背后的解题逻辑是不是也一样呢？”

“老师，我明白了。我马上再试一下难住我的这两道题。”鹏飞仿若顿悟，重新翻开物理卷子，标标画画起来，写着写着又踌躇停笔。

“有困难吗？”

“是的！考试的时候我做了40分钟也没做出来，根本不会！”

“如果我说你能做出来，你相信吗？”

“这样吧，你拿一张白纸，按我说的要求去做。我会问你一些问题，你直接回答我就行。”

接下来，我让鹏飞读完第一道大题的题干，把所有的已知条件列出来，然后根据这些已知条件去猜这道题的出题人可能要考什么原理。虽然有些茫然，但鹏飞还是在我的鼓励下将能想到的原理和公式一一列写了出来。接着我让鹏飞对比已知条件和原理公式，看看缺少哪些中间变量。最后再看题目求解目标，倒推只需知道哪些条件就可以得到结果。

鹏飞轻轻转动着手中的圆珠笔，再次进入思索和尝试，突然他喊道：“宋老师，我会了！”

我微笑着点点头，看着他先是逆推一步，而后正推了两步，最后终于打通了题目的逻辑通道，成功解出了这道大题。

“Perfect!”我欣慰地鼓励道。

回顾总结

考试中有许多表面上看起来很难的题目，其实只是在基本题型上做了一些变形，比如：把某个已知变成需要求解的未知，从而增加了一定难度，但内容上并没有超出知识大纲。如果解题时第一遍没有找到解题思路，那么正确的应对策略就应该是首先处理好自己的情绪变化，告诉自己这种情况属于考试中的正常现象，接着启动二次解题程序，进入规范解题步骤：列已知、猜原理、建逻辑通道。

其中，建立逻辑通道是解题的关键。如果学生在平时练习简单题时能够经常有意识地总结出常用的解题“逻辑通道”，在遇到难题时就可以灵活调用和嵌套这些“通道”储备，有目标地去搜寻所需条件、推理中间量，进而打通难题的“通道”，很多复杂问题都会迎刃而解。

鹏飞的物理基础其实并不差，之所以在两道大题上“空白甩题”，便是因为他缺乏进行二次解题的坚持意识和实用程序，而情绪又陷在第一次解题失败的苦恼中，价值决策没能帮助他做出正确的应对，以至于无法完成正确的逻辑通道建构。

因此，我结合他的看**兴趣，选择了一道哈利波特魔法主题的趣味推理，一方面调动鹏飞的积极性、放松他的心态，一方面让鹏飞跑一遍搭建“逻辑通道”的流程。这时，再回过头去看那两道他此前放弃的物理大题。

由于消极情绪得到了有效处理，鹏飞静下心来，按照建构逻辑通道的步骤要求，一步步理顺已知条件、原理公式和求解目标之间的关系，最终顺利完成了解题。

图源：pexls

其实，很多人误以为学霸是什么题都会做！

记得我当年高考的时候，经常遇到初看感觉很难的题目，但我不会放弃。因为我保持一种心理上的自我暗示，那就是这种处理难题的感觉又来了，上次我就是这样尝试，最终做出来的！

然后，我会规范列写已知条件（会做的题目就不必列写）；然后根据已知条件猜测可用原理，并罗列公式；再用原理公式将已知条件组合、串联起来，就能一步步搭建出解题的逻辑通道了。因此，做大题、难题觉得没有思路时，不要直接空着不做，而要按部就班列写已知条件、公式，并在此基础上完成逻辑通道建构过程。

当然，这背后还有一个重要的因素，那就是人脑的内存——工作记忆单元实际很少，只有7±2。因此，人脑很难在不动笔辅助的状态下，完成难题逻辑思考。

当我们把需要记住的已知信息和需要想着的公式原理列写出来后，就可以大大降低对大脑工作尤其是逻辑推理的强度要求，解题能力会得到大幅提升。即便最终没能求出正确答案，至少已经完成了很多步解题过程，可以获得相当一部分过程分，这本身也是一种正确的应试策略。

手记点睛

难题之难，关键在逻辑推理！每增加一个环节的推理过程，题目的难度就会增加甚至不止一分。要提高解决难题的能力，就要让学生学会由已知条件、原理公式和求解目标出发，来推导和建构逻辑通道的本领。

作者：宋少卫

文源：《学习治疗手记》

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编辑：张润昕

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来源：原点阅读

编辑：牧鱼

类比推理亦称“类推”。推理的一种形式。根据两个对象在某些属性上相同或相似，通过比较而推断出它们在其他属性上也相同的推理过程。它是从观察个别现象开始的，因而近似归纳推理。但它又不是由特殊到一般，而是由特殊到特殊，因而又不同于归纳推理。分完全类推和不完全类推两种形式。完全类推是两个或两类事物在进行比较的方面完全相同时的类推；不完全类推是两个或两类事物在进行比较的方面不完全相同时的类推。

题型一

第一种是最为常见的题型，也是类比推理最早出现的题型，就是给出两个词语，然后选出一组答案。

例如：（2007国考）

阳光：紫外线

A电脑：辐射 B海水：氯化钠C混合物：单质D微波炉：微波

就是根据阳光与紫外线、海水与氯化钠的关系都是整体与组成部分的关系，故选出答案为B。

题型二

第二种题型是给出三个词，然后选出一组答案。

例如：（2008陕西）

考试：学生：成绩

A往来：网民：电子邮件 B汽车：司机：驾驶执照

C工作：职员：工资待遇 D饭菜：厨师：色鲜味美

这道题给出了3个词语的组合，进而关系就更错综复杂，不仅需要考虑第一个词和第二个词的关系，还需要考虑第二个词和第三个词的关系，甚至有时还需要寻找第一个词和第三个词的关系来寻找“突破口”。比如上题中我们通过分析可以知道“学生通过考试获得成绩”，因此类比可得“职工通过工作获得工资待遇”，进而得出正确答案C。

题型三

第三种题型是将所要类比的四个词语都给出，但是中间挖空两个让考生来填。常见的形式是“XX对于（ ）相当于（ ）对于XX”。因为两组词之间的关系无法确定，这就大大增加了解题难度。

例如：（2009年国家）

杂志对于（ ）相当于（ ）对于农民

A．报纸 果农 B传媒 农业

C．书刊 农村 D编辑 菠菜

因为我们难以从题目中断定两词之间的关系，只能逐项代入，然后再类比两词之间的关系。通过代入我们发现“杂志对于编辑相当于菠菜对于农民”。两者间都是“产品和生产者”之间的关系，因此答案是D。

通过以上分析可以发现，这三种题型的难度是依次增加的，第二、第三种题型在近年来的考试中比重逐年增加，因此应该引起我们重视。

此外，就类比推理词组间涉及的关系来看，词组间的关系已经不仅仅是简单的并列、对立、包含等关系，很多词组间的关系很难进行概括，尤其特别值得注意的是，有些地方的考试中出现了类似作者和作品、名言和出处之类的关系，这样就将类比推理和常识考查结合了起来，因为2009年国考大纲中刚刚对常识部分进行了较大改革，因此将常识与类比推理相结合可能会作为今后类比推理题的一个发展方向。

类比推理的例子有如下：

一、由点到面的类比

比如，通过典型调研或抽样调研测算出某市彩电年销售率为40%(即销售数与百户居民数之比，也就是每百户居民中有4户购买)，就可以以此销售率来推算其他城市的销售率了。

二、以国外同类产品市场发展趋势来预测

这种推算方法是把所要预测的产品市场同国外同类产品市场的发展过程或变动趋向相比较，找出某些共同的或相类似的变化规律性，用来推测目标产品市场的未来变化趋向。

比如，可以参照国外某些产品更新换代过程的时间及条件来分析预测我国同类产品更新换代时间。

三、以国内相近产品类推新产品

这种对比类推往往用于新产品开发预测，以相近产品的发展变化情况，来类比预测某种新产品的发展方向和变化趋势。

可以举例加以说明：过去人们喜欢吃水果糖，日用化工厂生产了香型牙膏；在国外，前几年男女老幼都喜欢吃各式巧克力糖，因此，牙膏也制成巧克力香型，取名叫“爱的可乐”，结果销路很好，尤其是青年人喜欢使用。

类比法的作用

类比法的作用是“由此及彼”。如果把“此”看作是前提，“彼”看作是结论，那么类比思维的过程就是一个推理过程。

古典类比法认为，如果我们在比较过程中发现被比较的对象有越来越多的共同点，并且知道其中一个对象有某种情况而另一个对象还没有发现这个情况，这时候人们头脑就有理由进行类推，由此认定另一对象也应有这个情况。

现代类比法认为，类比之所以能够“由此及彼”，之间经过了一个归纳和演绎程序即：从已知的某个或某些对象具有某情况，经过归纳得出某类所有对象都具有这情况，然后再经过一个演绎得出另一个对象也具有这个情况。

弹道学中的正面问题是指:

已知发射体的初速度、射程和发射角度等参数,求得弹头的落点坐标位置。

举例说明如下:

假设有一发射体,初速度为v0=500 m/s,发射仰角为α=45°,不考虑空气阻力,求弹头的水平射程R。

根据弹道学基本公式:

R = (v0^2/g)sin2α

其中g为重力加速度,取98 m/s^2。

代入数据可得:

R = (500^2/98)sin^2(45°)

= 12500 m

即这发射体的水平射程约为12500米。

这就是一个典型的弹道学正面问题,根据已知的初速度、仰角等参数,应用弹道学公式推算出弹头的落点坐标位置。这类问题属于弹道学正面问题的标准应用实例。

这种题一般是中考题的压轴题，所以难度较大……

方法…因为这类题一般满足条件的点位置不止一个，所以不能用定理判断，只能假设存在，通过对应图形的性质来找点的坐标

其次，这类题一般都是问是否存在，存在求出来，不存在，说明理由。所有你只有假设存在才能继续下去

最后。但凡是在坐标系中讨论几何问题，都要把他的性质和坐标联系起来，就可以求出来，这种题多看你会发现是有规律的，整个初三就是那几大类问题

愿对你有帮助……