急求椭圆周长公式的推导？（运用积分法）求祥解过程。

椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = 4a sqrt(1-e^sin^t)的(0 - pi/2)积分, 其中a为椭圆长轴,e为离心率 椭圆面积公式S=∏(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长) 利用割圆术原理，推导出此椭圆周长近似公式： L=(a2-b2)/a180°/arctg((a-b)/a) （a＞b，b→a，b≥0 ） 当b→a时，L＝2aπ 当b=0时，L＝4a 周长没有公式表达式 最早由伯努利(那个不计得了)提出,欧拉发展 对这类问题的讨论引出一门数学分支－－椭圆积分(变分法)，现在仍然方兴未艾。 以下是几个比较简单得近似公式： 公式一～五为一般精度，满足简单计算需要； 公式六为高精度，满足比较专业一些得计算需要。 这些公式均符合椭圆得基本规律,当a＝b时，l＝2aπ， 希望这些公式能够给中学们带来快乐。 一、 l1=πqn/arctgn (b→a、q＝a b、n＝((a-b)/a)＾2、) 这是根据圆周长和割圆术原理推导得，精度一般。 二、 l2＝πθ/45°(a-c c/sinθ) (b→0, c＝√(a＾2-b＾2), θ＝arccos((a-b)/a)＾11、) 这是根据两对扇形组成椭圆得特点推导得，精度一般。 三、 l3＝πq(1 mn) (q＝a b、m＝4/π-1、n＝((a-b)/a)＾33 、) 这是根据圆周长公式推导得，精度一般。 四、 l4＝π√(2a＾2 2b＾2)(1 mn) (q＝a b、m＝2√2/π-1、n＝((a-b)/a)＾205、) 这是根据椭圆a＝b时得基本特点推导得，精度一般。 五、 l3＝√(4abπ＾2 15(a-b)＾2)(1 mn) ( m＝4/√15-1 、n＝((a-b)/a)＾9 ) 这是根据椭圆a＝b，b＝0时是特点推导得，精度较好。 六、 l4＝πq(1 3h/(10 √(4-3h))(1 mn) ( q＝a b、 h＝((a-b)/(a b))＾2 m＝22/7π-1、m＝((a-b)/a)＾33697 、) 这是根据椭圆标准公式提炼得，精度很高。

一般的理工科高等数学里面并没有讲，要到高等微积分这样的书里面才有，我也是上钢结构稳定听老师讲的，因为里面解一些方程需要用到椭圆积分，那个老师是香港理工的博士，力学和数学底子很好的。前面那个解答的同学他一定是把椭圆积分和两类曲线积分搞混淆了，他两是不一样的。

第二类完全椭圆积分e可以定义为

或者

它是第二类不完全椭圆积分的特殊情况：

它可以用幂级数表达

也就是

用高斯超几何函数表示的话，第二类完全椭圆积分可以写作

特殊值

第二类完全椭圆积分的导数

如有疑问，可追问！

没有差别，请看

>>k=sin60°=08660254

>>m=k^2

>> [K,E] = ellipke(m)

K =

21565 %φ =90°，θ=60°(第一类完全椭圆积分数值解与数学手册的椭圆积分表一致)

E=

12111 %φ =90°，θ=60°(第二类完全椭圆积分数值解与数学手册的椭圆积分表一致)

如何使用MATLAB画椭圆积分函数的图形，为了方便计算椭圆积分，假定λ=1；a=1;ε0=1，则该图形的绘制可以按照下列方法来实现。

1、为了方便调用椭圆积分函数，需创建一个自定义函数ellipticfun(x,z)，其内容为

K2=4ax/(x^2+a^2+z^2+2ax);

func=@(phi)1/sqrt(1-K2sin(phi)^2);

F=integral(func,0,pi/2);

2、创建x,z的网格数据，meshgrid(x,z)

3、使用双循环语句，求得Up值

4、使用mesh绘制三维曲面图，mesh(x0,z0,Up0)

5、标注坐标轴名称，xlabel('x'),ylabel('z'),zlabel('Up');

6、完善代码运行后可以得到如下Up(x,z)的图形。

1雅可比椭圆函数。

在有限复平面上亚纯的双周期函数。所谓双周期函数是指具有两个基本周期的单复变函数 ，即存在ω1，ω2两个非0复数，Image:椭圆函数1jpg，而对任意整数n，m，有f（z＋nω1＋mω2）＝f（z） ，于是｛nω1＋mω2｜n，m为整数｝构成f（z）的全部周期，在复平面上任取一点a，以a，a＋ω1，a＋ω1＋ω2 ，a＋ω2为顶点的平行四边行的内部 ，再加上两个相邻的边及其交点 ，这样构成的一个半开的区域称为f（z）的一个基本周期平行四边形，将它平行移动nω1＋mω2，当n，m取遍所有整数时，即得一覆盖整个复平面的周期平行四边形网，f（z） 在每一个周期平行四边形中的性质都和它在基本周期平行四边形中的一样。在基本周期平行四边形中，f（z）有以下性质：非常数椭圆函数一定有极点，且极点留数之和必为零 ，因而不可能只有一个一阶极点 ，有n个极点的椭圆函数称为n阶椭圆函数 ，它在基本周期平行四边形内取任一值n次，即对任意复数A，f（z）－A在基本周期平行四边形内有且仅有n个零点 ，且f（z） 的零点之和与极点之和的差必等于一个周期。

在以上性质的规范下 ，有两大类重要的椭圆函数 ：①魏尔斯特拉斯-δ函数 。它表作Image:椭圆函数2jpg，其中ω＝2nω1＋2mω2，∑'表n，m取遍全部整数之和 ，但要除去ω＝0的情形 。这是一个二阶椭圆函数 ，在周期平行四边形中 ，仅有一个ω是二阶极点 ，ω＝δ（z）满足微分方程（ω′）2＝4ω3－g2ω－g3，其中g2=60∑'Image:椭圆函数3jpgg3=140∑'Image:椭圆函数4jpg，由此可见ω＝δ（z）是Image:椭圆函数5jpg的反函数，右边的积分称为椭圆积分。可以证明，所有的椭圆函数都可以用δ（z）函数来表示 ，而每一个椭圆函数都一定满足一个常系数一阶的代数微分方程。②雅可比椭圆函数。它定义为椭圆积分Image:椭圆函数6jpg 的反函数 ，记作ω＝J（z），J（z）的基本周期平行四边形是一个矩形 ，其基本周期是4K与2iK′ ，此处Image:椭圆函数7jpg,Image:椭圆函数8jpg,其二阶极点为iK′，而k是一个实常数。

2雅可比椭圆函数。它定义为椭圆积分Image:椭圆函数6jpg 的反函数 ，记作ω＝J（z），J（z）的基本周期平行四边形是一个矩形 ，其基本周期是4K与2iK′ ，此处Image:椭圆函数7jpg,Image:椭圆函数8jpg,其二阶极点为iK′，而k是一个实常数。

考。

椭圆积分本身是计算椭圆的长度的，没有初等表达式，只有面积公式。

全国硕士研究生统一招生考试（UnifiedNationalGraduateEntranceExamination），简称“考研”，是应届本科毕业生、本科毕业及同等学历学生攻读高校硕士研究生的招生考试，类似于高中毕业生升读大学需参加的高考。由国家考试主管部门和招生单位组织的初试和复试组成。

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