请写出椭圆的焦点、离心率、标准方程。

椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：

1）焦点在X轴时，标准方程为：x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)

2）焦点在Y轴时，标准方程为：y²/a²+x²/b²=1 (a>b>0)

椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹， 也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于1的常值的点之轨迹。它是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。 

基本性质：

1、范围：焦点在x轴上-a≤x≤a，-b≤y≤b；焦点在y轴上-b≤x≤b， -a≤y≤a

2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。

3、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）

4、离心率：e=c/a或 e=√（1-b^2/a²）

5、离心率范围：0<e<1

6、离心率越大椭圆就越扁，越小则越接近于圆。

7、焦点（当中心为原点时）：（-c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）

8、（m为实数）为离心率相同的椭圆。

9、P为椭圆上的一点，a-c≤PF1（或PF2)≤a+c。

10椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。

解：设P(m，n)，满足方程m²/a²+n²/b²=1；

PF₁=(-c-m，-n)； PF₂=(c-m，-n)；

故PF₁•PF₂=-(c+m)(c-m)+n²=-(c²-m²)+n²=-c²+m²+n²；

已知c²≦-c²+m²+n²≦3c²，于是得2c²≦m²+n²≦4c² ；其中m²+n²=ρ²，ρ为椭圆上的动点P到原点

的距离。ρmax=a，ρmin=b；故得a²=4c²，由此得mine²=1/4；即mine=1/2；b²=2c²，即a²-c²=2c²

由此得a²=3c²，maxe²=1/3，即maxe=1/√3=√3/3。

即离心率的范围为1/2≦e≦(√3)/3

设 P到 l 的距离为m，则p到又焦点的距离为 me,（根据椭圆第二定义r1/d1=e)

并且 PF1 = 2m

因为 PF1 + PF2 = 2a

所以 2m + me = 2a, m = 2a/(2 + e)

因为 a^2/c - b <= m <= a^2/c + b

所以 a^2/c - a <= 2a/(2 + e) <= a^2/c + a

所以 a/c - 1 <= 2/(2 + e) <= a/c + 1

1/e - 1 <= 2/(2+e) <= 1/e + 1

解得

(-3 + 根号17）/2 <= e < 1

另一短轴端点？

即到长轴端点小于2b

所以2b>√(a²+b²)

a²<3b²

b²/a²>1/3

1-b²/a²<2/3

即c²/a²<2/3

e=c/a

所以 0<e<√6/3

在椭圆中，e=c/a，而a^2-b^2=c^2，e越接近于1，则c越接近于a，从而b=√(a^2-c^2)越小，因此，椭圆越扁；反之，e越接近于0，c越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就接近于圆。

所以椭圆离心率越大，它越扁。

在双曲线中，e=c/a，而a^2+b^2=c^2，所以b/a=√（c^2-a^2)/a=√(c^2/a^2-1)=√(e^2-1)，所以e越大，b/a也越大，即渐近线y=±b/ax的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。

椭圆扁平程度的一种量度，离心率定义为椭圆两焦点间的距离和长轴长度的比值，用e表示，即e=c/a (c,半焦距；a,长半轴)

椭圆的离心率可以形象地理解为，在椭圆的长轴不变的前提下，两个焦点离开中心的程度。

扩展资料：

椭圆的离心率：e=c/a(0,1)（c,半焦距；a,半长轴(椭圆)/半实轴(双曲线) ）

抛物线的离心率：e=1

双曲线的离心率：e=c/a(1,+∞) （c,半焦距；a,半长轴(椭圆)/半实轴(双曲线) ）

在圆锥曲线统一定义中，圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为

ρ=ep/(1-e×cosθ)， 其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。

椭圆上任意一点到两焦点的距离等于a±ex。

平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（（e>1），即为双曲线的离心率）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。双曲线准线的方程为（焦点在x轴上）或（焦点在y轴上）。

圆锥曲线ρ=ε/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与x轴夹角。

令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角，即θ=arccos（1/e）

令θ=0，得出ρ=ε/（1-e），x=ρcosθ=ε/（1-e）

令θ=π，得出ρ=ε/（1+e），x=ρcosθ=-ε/（1+e）

这两个x是双曲线定点的横坐标。

——椭圆离心率

——双曲线

椭圆的离心率（偏心率）（eccentricity），是指动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比。

离心率统一定义是动点到左（右）焦点的距离和动点到左（右）准线的距离之比。

椭圆扁平程度的一种量度，离心率定义为椭圆两焦点间的距离和长轴长度的比值，用e表示，即e=c/a（c，半焦距；a，长半轴）。

椭圆的离心率可以形象地理解为，在椭圆的长轴不变的前提下，两个焦点离开中心的程度。

离心力公式汇总：

1、圆的离心率=0。

2、椭圆的离心率：e=c/a(0,1)（c，半焦距；a，半长轴（椭圆）/半实轴（双曲线））。

3、抛物线的离心率：e=1。

4、双曲线的离心率：e=c/a(1，+∞) （c，半焦距；a，半长轴（椭圆）/半实轴（双曲线））。

解法1：

6个不同交点，其中有两个在y轴上，即P点位短轴的2个端点，另外4个在第1、2、3、4象限个1个，且上下、左右对称，分2种情况：设长轴两个端点为A1（左）,A2,短轴两个端点为B1（下）,B2

（1）若PF2=F1F2，此时有|PF2|=2c只需满足|B2F2|<||PF2<|A1F2|，即a<2c<a+c，得到1/2<e<1,

(2)若|PF1||=|F1F2|，此时有|PF1|=2c,只需满足|A1F1|<|PF1|<|F1B2|,即a-c<2c<a,得到1/3<e<1/2

解法2：

只需以F2为圆心，2c为半径的圆与椭圆恰有2个交点即可，考虑圆的方程与椭圆方程联立，使用根系关系求解